Лекция 5. Определение необходимого объема выборки

План лекции:

1 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки.

2 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок

3 Формулы приближенной оценки статистических показателей

Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки

При всем разнообразии методов исследовательской работы задача планирования эксперимента сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах. Планирование эксперимента основывается на установленной надежности, которая обеспечивается за счет увеличения количества измерений и уменьшения их погрешностей. Представленные в литературе формулы оценки оптимального числа измерений имеют значительные численные расхождения [6, 7, 11]. Очевидно, что данные расхождения объясняются допущениями, вводимыми авторами в ходе вывода конечных формул. Количественная взаимосвязь представленных параметров выражена в предлагаемых формулах.

Оптимальная схема исследования основана на проведении минимального количества измерений при обязательном условии получения достоверного результата. Необходимая численность выборки - n, отвечающая точности получения среднего результата, зависит от величины ошибки выборочной средней и выводится из формулы вычисления средней квадратической ошибки среднего арифметического т формулы (6) [1, 2, 3].

(6а),

где  - среднее квадратическое отклонение, откуда домножив и разделив данное выражение, приведенное в скобках, на среднюю величину - М и критерий Стьюдента - t, произвели замену второго сомножителя на р^-1, и третьего сомножителя на коэффициент вариации - С_v.

(12).

Для уровня надёжности Р=0,95 и величины критерия Стьюдента t=2, соответствующего достоверной выборке (n30), значение формулы упрощается:

n=0.16 (12а).

Значения численности выборки, основанной на нормальном законе распределения признаков и имеющей количественную градацию в зависимости от коэффициента вариации при уровне надёжности Р=0,95, представлены в таблице 5.

Таблица 5. Значение минимального объема выборки n в зависимости от коэффициента вариации для количественного анализа при P=0,95

Cv,%	5	10	15	20	25	30	40	50	100
n	4	16	32	64	100	144	256	400	1600

Пример. В случае если величина среднеквадратического отклонения исследуемого нами признака равна пяти (=5), а среднее арифметическое двадцати (М=20), коэффициент вариации для данной выборки составляет двадцать пять процентов (С_v=(5/20)100=25%). Тогда минимальное количество измерений, обеспечивающее достоверный результат с уровнем надежности 0,95, равно сто (n=0.1625² =100). Относительная погрешность измерения соответствует поставленному критерию надежности.

При альтернативной группировке данных, основанных на биномиальном распределении признаков и не имеющих количественных градаций, когда численность выборочных групп выражается в долях единицы, планируемый объем наблюдений определяется следующим образом:

(12б),

где W-вероятность, величина, определяемая как отношение числа случаев N₀, при которых это событие произошло, к общему числу наблюдений N:

, и [3, 7], тогда:

(12в).

Для выборки, основанной на биномиальном законе распределения признаков и не имеющей количественной градации, при уровне надёжности 0.95, оптимальное количество измерений представлено в таблице 6.

Таблица 6. Значение минимального объема выборки n в зависимости от средней вероятности W, для качественного анализа при Р=0.95.

W (%)	99	95	90	85	80	75	70	60
n	16	89	178	285	400	533	686	1067

Пример. В случае если вероятность изучаемого нами признака составляет восемьдесят пять процентов (W=85%), то величина среднеквадратического отклонения для данной выборки составит около тридцати шести измеряемых единиц (=35,7). Таким образом, необходимо провести не менее двухсот восьмидесяти пяти измерений, чтобы получить достоверный результат с заданным уровнем надёжности (n=1600(15/85)=285).

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующее заключение: для уменьшения ошибки выборочной средней в К раз нужно увеличить объем выборки в К² раз. Если величина количества измерений, обеспечивающего требуемую достоверность значения, настолько велика, что её невозможно реализовать на практике, то в отдельных случаях следует планировать опыт, основываясь на оценке достоверности различия средних значений контроля и эксперимента.

Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок.

Минимальное количество измерений, обеспечивающих достоверный результат, зависит от выбора метода проведения статистического анализа и от способа проверки полученного результата. Если полученный результат планируется сравнивать с данными, полученными в контроле при выполнении данного эксперимента, то необходимое количество измерений (n_) в каждой выборке можно определить из следующей формулы ф(17):

, ,,

, ,n_= 2 (t С_V /)² (13),

где: С_V – коэффициент вариации выборки,  - относительный показатель расхождения средних величин сравниваемых выборок, t – критерий Стьюдента 1,00 1,66 1,98 2,63 для уровней надежности Р0,68 0,90 0,95 0,99 при допустимых величинах погрешности вычисления р0,32 0,10 0,05 0,01, соответственно. Данная формула ф(13) позволяет установить минимальное количество измерений по каждой из сравниваемых выборок.

Значимая вариация биологических параметров (С_V10%) приводит к необходимости проведения большого количества повторов измерений (n) с целью получения достоверного результата (рис. 1). Если для количественного метода статистического анализа, как правило, достаточно малой выборки (n30 для С_V1015%), то для качественного (метод альтернативного варьирования) количество повторов необходимо значимо больше (n100 для С_V35300%, при вероятности полученного результата М90(10)50%, соответственно) (рис. 2).

Рис. 1. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от соотношения показателей коэффициента вариации (С_V) и относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок () при различных допустимых величинах погрешности вычисления (р).

Рис. 2. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок () при различной вероятности реализуемого события (М) (метод альтернативного варьирования при уровне надежности 0,95).

При общепринятом в биологии уровне надежности (Р0,95), когда допустимая величина погрешности вычисления не должна превышать пять процентов (р=5%) формулы упрощаются:

n_= 8(С_V /)² (13а), n = 0,16C_V² (13б).

Это условие особенно важно соблюдать, в случае если различие между сравниваемыми выборками составляет больше семи процентов (7, n_n).

Поскольку среднеквадратическое отклонение () при использовании метода альтернативного варьирования зависит от средней величины (М), то необходимое количество измерений связано с данным параметром, который может изменяться от 0 до 100% (рис 3).

Рис. 3. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок (М) при различной вероятности реализуемого события (М) (метод альтернативного варьирования при уровне надежности 0,95).

Формулы приближенной оценки статистических показателей