1.Неопределенный интеграл

Опр. F(x) наз-ся первообразной для f(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выполняется F`(х)=f(х)

Пример: f(х) = х² ; F(х) = ; F`(х) === х² = f(х); – первообразная для х².

F₁(х)=+ С.F₁`(х)=+ С)`= х²+C

Теорема

F₁(х) и F₂(х) некоторые первообразы для ф-ии f(х) на промежутке X, найдется такая постоянная С, что F₂(х)= F₁(х) +С

Опр. Неопределенным интегралом от ф-ии f(х) наз-ся совокупность всех первообразных для ф-ии f(х) на промежутке Х.

Обозначается .знак интеграла,f(х) – подынтегральная ф-ия, f(х)dx – подынтегральное выражение, dx- дифференциал независимой переменной .=F(x)+С , где F(x) – некоторая первообразная для ф-ии f, C- произвольная постоянная.

Св-ва неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Таблица основных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Методы вычисления интегралов

Метод разложения

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5 неопр. интеграла наз-ся методом разложения(4)5) )

Пример:)²dx=

(sin+cos)²=sin² +2sin cos+ cos² = 1+sinx

=

Метод замены переменной(метод подстановки)

. =

Пример:

.== -= -ln|t|+C

Теорема

Если =F(x)+C , то

Пример:

dx=

dx=+C=+C

=*+C= -+C

Интегрирование по частям ф-ла интегрирования по частям

1. u=

2. dv=

3. 

1.ln x dx

2.dx

3.dx u=dv=dx

arctg x dx

arcctg x dx

Пример:

1.dx = x-dx= x-+C

Интегрирование рациональных дробей

Pn(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n многочлен степени n

Qm(x)= b₀x^m+ b₁x^m-1+…+ b_m-1x+b_m многочлен степени m

–рациональная дробь

n<m правильная дробь

n≥m неправильная дробь

правильная рациональная дробь

неправильная дробь

x²+7x+3

Т.о интеграл от неправильной дроби сводится к сумме интегралов от целой части(многочлена) и интеграла от правильной дроби

Теорема

= =+ … +++…++…

Пример: =++++

Метод неопределенных коэффициентов

dx

D=25-24=1

X1=3 ; x2=2

==+

Сравниваем числители слева и справа

4x+3= A(x-2)+B(x-3)

X=3; А=15

Х=2; В= - 11

А=15, В= -11

dx=)dx=15- 11=15ln|x-3|-11|ln|x-2|+C

2.Определение

Пусть предел интегральной суммы

при стремлении max к нулю существует, конечен и не зависит от разбиения отрезка [a;b] и выбора промежуточных точек E …E , тогда этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]

=

Число a-нижний предел, b- верхний предел, f(x)dx – подынтегральное выражение

семейство первообразных

f(Ei)– определенное число

f(x)≥0

S=

Опр. Определенный интеграл от неотрицательной ф-ии на отрезке [a;b] численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком ф-ии y=f(x), осью Ox, прямыми x=a, x=b

Св-ва определенного интеграла

1. 

2)

3)для ∀ a, b, c :

4)

5)=

6) Если ∀ х∈ [a;b] f(x)≤g(x) , то ≤

7) Если ∀ х∈ [a;b] ∃m, M-const ; m≤f(x)≤M, то

m(b-a) ≤≤ M(b-a)

Геометрический смысл определённого интеграла.

Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

вычисление площади плоской фигуры

f(x) ≥0 , ∀ х∈ [a;b]

S=

3. 3. Несобственный интеграл

определение несобственного интеграла

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

несобственные интегралы первого и второго рода;

несобственный интеграл 1го рода (несобственный интеграл с бесконечными пределами

Опр. =. Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся к этому пределу, в противном случае интеграл наз-ся расходящимся

2 задачи для несобственных интегралов

1)исследование вопроса о сходимости данного несобственного интеграла

2)вычисление значения интеграла в случае, если он сходится

Пример

=) =– 1)= - (0- 1)=1. Данный интеграл сходится к числу 1.

Несобственный интеграл 2го рода

Пусть ф-ия f(x) непрерывна и неограниченна на интервале [а;b)

=, если предел справа сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся в противном случае наз-ся расходящимся

Если ф-ия f(x) неограниченна при х=с, то

Интеграл слева будет сходящимся, если сходятся оба интеграла справа.

Если справа хотя бы один интеграл расходится, то интеграл слева будет расходящимся.

Пример:

Вычислить

Ф-ия неограничена в точке х=0.

= =)=2=2

Интеграл сходится к числу 2.

4.Случайные события. Операции над случайными событиями.

- понятие случайного события;

- операции над случайными событиями;

- пространство элементарных событий;

понятие случайного события;

Опр. Объектом теории вероятностей яв-ся измерение степени возможности различных случайных результатов

Опр. Испытание или опыт – это комплекс условий в которых могут осуществиться или не осуществиться рассматриваемые события

Опр. Исход опыта – это неопределяемое интуитивное понятие

Опр. Случайное событие это событие, которое может произойти или не произойти в рез-те данного опыта

Случ. События А,В,С

Опр. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Опр. Достоверное событие – это событие, которое обязательно осущ-ся при данных условиях

Опр. Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет при данных условиях

Полной группой событий наз-ся несколько таких событий, что в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них

Нескольк событий в данном опыте наз-ся равновозможными если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным,чем любое другое.

Пример: 1 игр.кубик

Ак={выпадет r очков}

r=1,…,6

A1,…,A6 -равновозможные

операции над случайными событиями

Событие Ᾱ (не А) считается противоположным к А, если оно состоит в том, что А не происходит

Если несколько событий :

-образуют полную группу

-несовместны

-равновозможны,

То они наз-ся элементарными событиями.

Свойства

1)А+В=В+А

2)А+(В+С)=(А+В)+С

3)АВ=ВА

4)А(ВС)=(АВ)С

5)А(В+С)=АВ+АС

пространство элементарных событий

-это множество всевозможных взаимоисключающих исходов опыта(Ѡ)

Случайное событие А- это некоторое подмножество пространства элементарных исходов

Опр. Произведение событий А и В это событие С, которое состоит в том, что А и В происходит одновременно (С=А*В)

Опр. Суммой событий А и В наз-ся событие D, состоящее в том, что происходит или А, или В, или оба вместе (D=А+В)

Опр. Разностью событий А и В наз-ся событие С, состоящее из элементов А, которые не входят в В. С=А/В

Свойства

1)А+В=В+А

2)А+(В+С)=(А+В)+С

3)АВ=ВА

4)А(ВС)=(АВ)С

5)А(В+С)=АВ+АС

5. Вероятность случайного события

- аксиоматическое определение вероятности случайного события;

- классическое определение вероятности случайного события;

- статистическое определение вероятности случайного события;

- геометрическое определение вероятности случайного события;

аксиоматическое определение вероятности случайного события

1)Каждому случайному событию а, ставится в соответствии число р(а)

Из отрезка [0;1] которое наз-ся вероятностью события А.

2) Если И-достоверное событие, то Р(И)=1

3) Если А и В, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствия

1)Вероятность противоположного события

Р(Ᾱ)=1-P(A)

P(A)=1-P(Ᾱ)

2)Если V-невозможное событие, то P(V)=0

3)Пусть А1,А2,…,Аn –попарно несовместные события

Ai*Aj= Ø

i=1,…n

j=1,…n

тогда P()=

4)Для любых событий А и В,

Р(A+В)=P(A)+Р(В) -Р(АВ)

классическое определение вероятности случайного события

Пусть Ѡ={w1,…, wn} –пространство элементарных событий

n-общее число равновозможных и несовместных событий

A={wi1,…,wim}

m-число благоприятных событий

P(A)=m/n

При таком определении вероятности ограничивается сфера его практического применения, только такими событиями, которые допускают различие дискретных случаев .

Пример

1 монета

Ѡ={г;р}

Р(г)=1/2=Р(р)

2 монеты

Ѡ={гг;гр;рг;рр}

А={хотя бы одна решка}

Р(А)=3/4

статистическое определение вероятности случайного события

Пусть в рез-те большого числа опытов установлено,что частота случайного события приближается к некоторому числу.

Тогда это число в силу закона больших чисел принимают за численное значение вероятности данного события

Установление вероятности опытным путем носит несколько определенный характер

n=100

m1=53 –решка

m2=49

m3=51

р=0,50

геометрическое определение вероятности случайного события

это вероятность в экспериментах с бесконечным числом исходов

Исход опыта понимается как выбор на удачу точки, из некоторого множества

Множество имеет некоторую геометрическую форму.

Случайные события здесь : выбранная точка принадлежащая заданной части фигуры.

Вероятность такого события определяется как основание меры части фигуры к мере всей фигуры

6. Условная вероятность случайного события

- определение условной вероятности случайного события; - независимые случайные события;

- теоремы умножения случайных событий;

- теоремы сложения случайных событий;

определение условной вероятности случайного события;

- независимые случайные события;

Опр. События А и В наз-ся независимыми, если вероятность одного из них не меняется в зависимости от того, произошло 2ое или нет

Опр. События А и В наз-ся зависимыми если вероятность одного из них меняется в зависимости от того, произошло 2ое или нет

P(A|B)-это условная вероятность события А при условии, что событие В состоялось

Р(А) – безусловная вероятность

Пример:

27 годных и 3 бракованные детали. Вытаскиваем одну делать

В={1й раз годная деталь}

A={2 ой раз годная деталь}

Р(A|В)=26/29

Р(A|В)=27/29

Вероятность А меняется в зависимости от того, произошло В или нет. Следовательно события А и В – зависимы

теоремы умножения случайных событий

1.Для 2х событий

Р(АВ)=

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению одного из них на условную вер-ть второго при условии, что первое событие состоялось

Следствие 1.

Любые 2 несовместные события, имеющие ненулевые вероятности

Р(А) ≠0

Р(В) ≠0

Всегда зависимы

Р(АВ)=0 – условие несовместности

Следствие 2.

Р(А|В)=P(АВ)/Р(В), Р(В) ≠0 формула условной вероятрности

Условная вероятность события А при условии В,

Р(A|B) равна отношению вероятности совместного появления событий А и В к безусловной вероятности события В(P|B),если Р(В) ≠0