Философская проблема

1. ФИЛОСОФСКАЯ ПРОБЛЕМА

Вполне вероятно, первым, и законным, вопросом читателя будет желание узнать, что такое философия математики. Достаточно часто ее определяют непосредственно как ответ на специфический вопрос – что такое математика.

Ответов на этот вопрос в истории западной мысли встречается великое множество и, чем ближе мы к нашему времени, тем больше вариантов, видимо, потому, что математика становится наукой все более сложной и значимой. Оставим пока в стороне ответы таких классиков, как Платон или Кант1, и приведем ниже далеко не полный обзор высказываний философов и математиков по данной проблеме2.

Р. ДЕКАРТ (1628)

Должна существовать всеобщая наука, которая объяснила бы все то, что возможно знать о порядке и мере, взятых независимо от их применения к какой-либо конкретной ситуации… и, действительно, такая наука существует и имеет собственное, освященное длительным периодом ее эффективного использования, имя – математика.

Д.В. МЕЛЛОУ (1902)

Высшая математика есть искусство рассуждения о численных отношениях среди природных явлений.

1Некоторые воспоминания о философии этих мыслителей должны непременно остаться у каждого читателя после всего предыдущего образования. Чтобы освежить память, можно обратиться к книгам S. Shapiro и M. Potter, уже упомянутым выше, или же к книге Les philosophes et les mathematiques под ред. E. Barbin и M. Caveing, Paris, Ellipses, 1996.

2Большинство из этих высказываний, а также другие, можно найти, к

примеру, в R.E. Moritz, Memorabilia Mathematica, Washington D.C., Mathematical Association of America, 1914.

47

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Дж.Дж. СИЛЬВЕСТР (1844)

Число, место и комбинация – три особые и самостоятельные, но, в то же время, перекрывающие одна другую и пересекающиеся сферы рассуждения, к которым все идеи математики, так или иначе, могут быть отнесены… три важнейших понятия – Количество, Пространство и Порядок.

Э. ПАППЕРИЦ (1891)

Предмет чистой математики заключается в связях и отношениях, которые могут быть концептуально установлены между совершенно произвольными элементами в предположении только о том, что они входят в состав

некоторой упорядоченной множественности.

Г. КРИСТАЛ (Брит. энциклоп., 9 изд.)

Каждая концепция, которая может быть полностью и окончательно определена посредством конечного числа уточнений, например, заданием конечного числа элементов, представляет собой математическое понятие. Функция математики состоит в том, чтобы выявлять неявные следствия, присутствующие в описании группы математических понятий.

Ф. КЛЕЙН (1902)

Математика в общем представляет собой в основном науку об очевидных вещах.

Г.Д. ФИТЧ (1910)

Чистая математика представляет собой набор гипотетических дедуктивных теорий, базирующихся на четкой системе простейших, но не определенных, понятий и символов, а также простейших непротиворечивых, но не доказанных утверждений (обычно называемых аксиомами) совместно со следствиями, логически выводимыми из них при помощи строго дедуктивных методов без единого обращения к интуиции.

Б. РАССЕЛ (1901)

Чистая математика состоит всего-навсего из утверждений типа «если высказывание такое-то верно при каких-нибудь условиях, тогда высказывание сякое-то верно при тех же самых условиях».

Б. ПИРС (1850)

Математика – это наука, которая выводит необходимые заключения.

48

Философская проблема

А. УАЙТХЕД (1898)

Вся математика заключается в организации ряда поддержек воображению в процессе размышления.

НОВАЛИС (1901)

Чистая математика не имеет дела с величинами. Она представляет собой лишь доктрину записи мыслительных операций, между собой упорядоченных и доведенных до механического использования.

Ч.С. ПИРС (1881)

[Математика] есть изучение идеальных построений (часто применимых к реальным проблемам) и выявление посредством этого отношений, прежде скрытых, между частями этих конструкций.

Дж.Ф. ГЕРБАРТ (1890)

Все то, чего самые великие умы человечества достигли в постижении форм посредством понятий, заключено в великой науке, которая называется математикой.

Э.В. ГОБСОН (1910)

Возможно, наименее неудовлетворительное описание (я не назвал бы это определением) основной цели современной чистой математики может быть сформулировано следующим образом. Математика занимается формой в наиболее широком и общем смысле этого термина.

Прочитав эти определения, сразу хочется сказать огромное спасибо всем уважаемым мыслителям, однако несколько позже все эти описания осознаются как нагромождение, напоминающее Вавилонскую башню. Даже без больших познаний не трудно понять, что каждое определение было сформулировано под влиянием как культуры в целом, так и состояния математики того времени, которые в девятнадцатом веке претерпели существенные и стремительные изменения. Каждый тезис использует понятия, которые отсылают к проблемам, не во всем очевидным и требующим пояснений. Каждое утверждение является скорее концентрированной

49

Философия математики: наследие двадцатого столетия

формулой, чем анализом, вероятно, уже заключением проведенного, но скрытого, философского анализа. Не ясно к тому же, была ли целью этого философского анализа формулировка выводов, заключённых подобными тезисами, или же они являлись предпосылками для этого самого анализа, к которому сейчас самое время обратиться.

50