- •Предмет курса. Основные понятия. Общая схема решения задач. Производственная задача.
- •Графический метод.
- •Каноническая задача. Базисный план. Формула приращений
- •Формула приращений целевой функции
- •Критерий оптимальности.
- •Достаточное условие неограниченности. Алгоритм обратной м-цы.
- •Итерация. Симплекс-метод (алгоритм).
- •Конечность. Геометрическая интерпретация.
- •Двухфазный симплекс-метод.
- •Выводы и следствия двухфазного симплекс-метода.
- •Приведение задач к канонической форме. Табличная реализация симплекс-метода.
- •Двойственная задача. Взаимодвойственность.
- •Соотношения двойственности 1,2.
- •Соотношения двойственности 3,4.
- •Соотношения двойственности 5,6. Следствия соотношения 6
- •Теоремы Фаркаша.
- •Двойственный симплекс-метод. Определения. Формула приращений.
- •Критерий оптимальности. Условие пустоты.
- •Итерация. Задача о диете.
- •Транспортная задача. Условие общего баланса. Условия дефицита и перепроизводства.
- •Особенности. Транспортная задача. Лемма 1. Следствия.
- •Лемма 2. Базисный план перевозок.
- •Базисный план. Метод минимального элемента.
- •Метод потенциалов транспортной задачи.
Графический метод.
Метод применим к задачам линейного программирования с двумя переменными:
(1)
(2)
Алгоритм:
В декартовой системе координат на плоскости строим множество планов задачи, как пересечение -полуплоскостей, задаваемых линейными ограничениями системы (2).
При этом возможен один из случаев:
а) – пустое множество;
б) – выпуклый многоугольник;
в) – выпуклая неограниченная многоугольная область.
Если а), то задача не имеет решения; б) или в) – переходим к пункту 2.
По целевой функции строим вектор градиента , через начало координат проводим прямую (линию нулевого уровня целевой функции): .
При решении задачи максимизации (минимизации) прямую перемещаем параллельно в направлении вектора (вектора - ) в наиболее отдалённую точку А (точку В) множества плана . Координаты точки А (точки В) и составляют оптимальный план задачи максимизации (минимизации) функции на множестве .
Если множество – ограничено, то задача всегда имеет решение. Если же – неограниченная многоугольная область, то задача может не иметь решения в случае, когда не существует наиболее удалённой точки, то есть целевая функция неограниченно возрастает (убывает) на .
Если задача имеет оптимальный план, то он достигается либо в одной из вершин границы множества , либо на одной из её сторон (альтернативный оптимум).
Замечание. Некоторые задачи линейного программирования с числом переменных могут быть сведены к эквивалентным линейным задачам с двумя переменными. Для этого систему ограничений-равенств исходной задачи приводим к единичному базису. Определяем из неё базисные переменные (эти выражения называют уравнениями связи). Подставляем их в целевую функцию и ограничения-неравенства задачи. После решения полученной эквивалентной задачи с двумя переменными, решение исходной задачи (базисные переменные) находим из уравнений связи.
Каноническая задача. Базисный план. Формула приращений
Симплекс-метод разработан для канонической задачи линейного программирования
(1)
Её особенность: целевая функция максимизируется; все основные ограничения имеют вид равенств; на все переменные наложены прямые ограничения неотрицательности.
Введём обозначения: индексное множество номеров переменных.
индексное множество номеров основных ограничений.
ый столбец матрицы А.
Определение. Пусть дан некоторый план . Его будем называть базисным планом, если компоненты можно разбить на две группы: базисные или и небазисные и выполняются два условия:
а) небазисные компоненты плана нулевые ;
б) базисным компонентам соответствуют линейно-независимые столбцы матрицы А, то есть .
Формула приращений целевой функции
Будем рассматривать задачу вида:
(1)
Предположим, что известен базисный план , характеризующийся индексным множеством . Рассмотрим произвольный другой план и подсчитаем, как изменится целевая функция при переходе .
Обозначим через – вектор приращения базисного плана, поскольку – планы задачи (1).
(3)
где вектор оценок, – вектор потенциалов.
(3) – искомая формула приращения целевой функции при переходе от базисного плана к произвольному плану . Её можно переписать
(3)