3.3. Теоремы Эйлера и Ферма

Теорема Эйлера При т > 1 и (а,т)=1 имеем

Действительно, если х пробегает приведенную систему вычетов

составленную из наименьших неотрицательных вычетов, то наименьшие неотрицательные вычеты чисел ах будут пробегать ту же систему, но расположенную, вообще говоря, в ином порядке. Перемножая почленно сравнения

получим

откуда, деля обе части на произведение , получим

a^c 1 (mod m).

Теорема Ферма При р простом и a, не делящемся на р, имеем

или .

3.4 Сравнения первой степени

Будем изучать сравнения такого общего вида:

(1.3.5)

Если а не делится на т, то п называется степенью сравнения.

Решить сравнение — значит найти все значения x, ему удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения х, называются равносильными.

Если сравнению (1.3.5) удовлетворяет какое-либо х=х₁, то тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с x_l по модулю т: . Весь этот класс чисел считается за одно решение. При таком соглашении сравнение (1.3.5) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет.

Пример 1.3.3. Сравнению

среди чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 полной системы вычетов по модулю 7 удовлетворяют два числа: х = 2 и x = 4. Поэтому указанное сравнение имеет два решения:

Сравнение первой степени перенесением свободною члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

(1.3.6)

Наложим условие (а,m)=1.

Cравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда х пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах пробегает полную систему вычетов. Следовательно, при одном и только одном значении х, взятом из полной системы, ах будет сравнимо с b. Итак, при (а, т) = 1 сравнение (1.3.6) имеет одно решение.

Пусть теперь (а, т) = d > 1. Тогда, чтобы сравнение (3.6) имело решения, необходимо, чтобы b делилось на d, иначе сравнение (3.6) невозможно ни при каком целом x. Предполагая поэтому b кратным d, положим a = a₁d, b=b₁d, m=m₁d. Тогда сравнение (3.6) будет равносильно такому (по сокращении на d): , в котором уже (a_1,m₁) = 1, и потому оно будет иметь одно решение по модулю т₁. Пусть x_l — наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю т₁, тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в виде

(1.3.7)

По модулю же т числа (1.3.7) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (1.3.7) найдется в ряде 0, 1, 2, ..., т—1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю т. Но сюда попадут следующие числа (1.3.7):