- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
3.2. Скорость точки
Пусть в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент радиусом-вектором . Вектор
будем называть вектором перемещения точки за время (рис. 3.7).
Рис. 3.7. |
Отношение вектора к промежутку времени М называется средней скоростью точки за промежуток времени . Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора |
перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремится к нулю, т.е.
. (3.9)
Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 3.7 показаны средняя скорость и скорость точки М. Как следует из общей теории, скорость точки – этор вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.
3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т.е. пусть заданы координаты точки как функции времени
, , .
Согласно выражению (3.6) имеем .
Так как единичные векторы выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (3.9) получаем
.
Рис. 3.8. |
На рис. 3.8 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы Oxyz. Таким образом, проекции скорости , , на координатные оси будут , , . |
т.е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.
Модуль скорости определяется формулой
, (3.10)
а направление скорости – направляющими косинусами
(3.11)
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.
Полярные координаты
Введем в рассмотрение единичные векторы: , направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания , и , повернутый относительно на угол в сторону возрастания угла (рис. 3.9). Единичные векторы и могут быть представлены через единичные векторы координатных осей:
,
.
Рис.3.9. |
Рис. 3.10. |
Производные по времени от единичных векторов , определяются соотношениями
, (3.12)
. (3.13)
Радиус-вектор , определяющий положение точки, может быть представлен в виде (рис. 3.9). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора , следовательно, и , и являются функциями времени. На основании равенства (3.9) имеем
.
Используя соотношение (3.12), будем иметь
.
Полученная формула дает разложение вектора скорости на две взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную и поперечную (рис. 3.10).
Проекции скорости на радиальное и поперечное направления
и (3.14)
называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле
. (3.15)
3.2.2. Скорость точки при естественном способе задания движения. Пусть точка М движется по какой-либо кривой (рис. 3.11). За промежуток времени точка переместится по кривой из положения М в положение М1. Дуга , если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 3.11 а), и , если движение происходит в противоположную сторону (рис. 3.11 б). На основании (3.9) имеем .
Перепишем это равенство в виде
.
Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю единице, а предельное положение секущей ММ1 совпадает с направлением касательной к кривой в точке М, то
,
где – единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.
Рис. 3.11. |
Действительно, если , то вектор направлен в сторону (см. рис. 3.11 а), а при вектор направлен в сторону, противоположную (см. рис. 3.11 б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел , направлены в сторону возрастания дуги (на рис. 3.11 положительное направление отсчета дуги выбрано вправо от начала отсчета М0).
Учитывая, что ,
имеем . (3.16)
Обозначая , получим
. (3.17)
Из формулы (3.17) следует, что . Очевидно, что , если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и , если движение происходит в противоположную сторону.
Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути
и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле
.