3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Пусть кривая параметрически задана

Будем предполагать, что функция непрерывны и дифференцируемы на отрезке .Тогда по теореме Лагранжа можно записать

где лежит между .

Рассмотрим криволинейный интеграл:

В силу произвола выбора точки ее можно выбрать совпадающей с точкой с координатами Тогда для интегральной суммы получим:

В правой части полученного равенства стоит интегральная сумма для определенного интеграла по переменной на отрезке . Переходя к пределу при стремлении , получим:

.

Аналогичные формулы можно получить для интегралов:

Разобранный метод сведения криволинейного интеграла к определенному справедлив как для интегралов по пространственной, так и по плоской кривой.

Если уравнение плоской кривой задано в явном виде ,то этот случай можно свести к предыдущему представив заданное уравнение как параметрическое с параметром

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки .

1. По прямой .

2. По дуге параболы

3. По дуге эллипса .

Решение.

1. Используя уравнение линии интегрирования : преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной :

2. Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у:

3. Перейдем в уравнении эллипса к параметрическому заданию:

тогда:

Пример2. Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки

1. По прямой

2. По дуге астроида

Решение.

1. Составим уравнение прямой по координатам заданных точек

Найдём

Выразим заданный криволинейный интеграл через определенный интеграл с переменной :

2. Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t и вычислим

Пример3. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль линии заданной уравнениями

Решение.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль кривой

Решение.

Пример 5.

Даны точки ,

Вычислить криволинейный интеграл

1. По прямолинейному отрезку ;

2. По дуге окружности, заданной уравнениями

Решение.

1. Составляем уравнения прямой по заданным координатам точек

: ,

приравнивая эти отношения параметру , преобразуем полученные канонические уравнения прямой к параметрическим

отсюда

Перейдём в криволинейном интеграле к параметру

(значения и можно определить из условия от до )

2. Преобразуем данное уравнение окружности к параметрическому виду. Полагая , получим (из второго уравнения), (из первого уравнения). Далее

.

.

(первые два интеграла в силу нечетности подинтегральных функций и симметричности интервала интегрирование равно нулю).

Следовательно,