- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Уфимский государственный нефтяной технический университет
- •Обработка выборки.
- •1. Ранжируем статистический ряд
- •2. Выполняем точечную статистическую оценку выборки с использованием свойств математического ожидания и дисперсии
- •3. Проверка однородности наблюдений ( –критерий)
- •4. Построение вариационных рядов.
- •5. Проверка основной гипотезы о нормальности распределения.
- •7. Окончательные результаты.
4. Построение вариационных рядов.
а) в виде таблицы
б) в виде графиков
1) кумулятивная кривая ;
2) полигон .
Т.к. вариационный ряд дискретный то гистограмму не строим.
– частота интервала;
- частость интервала;
- накопленная частость интервала.
Таблица 3
Дискретный вариационный ряд
|
|
|
|
|
1 |
0,88 |
1 |
0.053 |
0.053 |
2 |
0,89 |
2 |
0.106 |
0.159 |
3 |
0,96 |
1 |
0.053 |
0.212 |
4 |
0,97 |
2 |
0.106 |
0.318 |
5 |
0,99 |
1 |
0.053 |
0,371 |
6 |
1,03 |
2 |
0,106 |
0.477 |
7 |
1,04 |
2 |
0.106 |
0.583 |
8 |
1,05 |
1 |
0.053 |
0.636 |
9 |
1,07 |
2 |
0.106 |
0.742 |
10 |
1,08 |
1 |
0.053 |
0.795 |
11 |
1,09 |
1 |
0.053 |
0.848 |
12 |
1,13 |
1 |
0.053 |
0.901 |
13 |
1,15 |
1 |
0.053 |
0.954 |
14 |
1,25 |
1 |
0.053 |
1 |
Кумулятивная кривая и полигон показаны в приложении на рисунках 1 и 2 соответственно.
На основании полученных кривых выносим основную гипотезу о нормальном законе распределения выборки.
Рисунок 1. Полигон
Рисунок 2. Кумулятивная кривая
5. Проверка основной гипотезы о нормальности распределения.
5.1 Алгебраические критерии согласия:
где – асимметрия,
– эксцесс,
Т.к. оба критерия выполняются, то закон распределения выборки принимается нормальным.
5.2. Графический критерий согласия:
где – интеграл Лапласа
а) Строится таблица
Таблица 4
Значения аргумента для
|
|
|
|
0,88 |
0.053 |
-0.447 |
-1,62 |
0,89 |
0.159 |
-0.341 |
-1 |
0,96 |
0.212 |
-0.288 |
-0,8 |
0,97 |
0.318 |
-0.182 |
-0,47 |
0,99 |
0.371 |
-0.129 |
-0,33 |
1,03 |
0.477 |
-0.023 |
-0,06 |
1,04 |
0.583 |
0.083 |
0,21 |
1,05 |
0.636 |
0.136 |
0,35 |
1,07 |
0.742 |
0.242 |
0,65 |
1,08 |
0.795 |
0.295 |
0,82 |
1,09 |
0.848 |
0.348 |
1,03 |
1,13 |
0.901 |
0.401 |
1,29 |
1,15 |
0.954 |
0.454 |
1,69 |
1,25 |
1 |
0.5 |
5 |
б) Строится график (Рисунок 3).
Рисунок 3. Z = f(x)
Т.к. точки на графике располагаются вдоль одной прямой, то гипотеза о нормальном законе выборки принимается.
5.3. Графический критерий согласия на основе эмпирического распределения:
На графике статистической функции распределения эмпирической функции (кумулятивных кривых) строится график функции нормального распределения (теоретическая функция) (Рисунок 4).
,
где – функция Лапласа.
Таблица 5
Расчетные данные для
|
|
|
|
0,88 |
-1.59 |
-0.4441 |
0,0559 |
0,89 |
-1.48 |
-0.4306 |
0,0694 |
0,96 |
-0.75 |
-0.2734 |
0,2266 |
0,97 |
-0.64 |
-0.2389 |
0,2611 |
0,99 |
-0.43 |
-0.1664 |
0,3336 |
1,03 |
-0.01 |
-0.004 |
0,496 |
1,04 |
0.09 |
0.0359 |
0,5359 |
1,05 |
0.20 |
0.0793 |
0,5793 |
1,07 |
0.41 |
0.1591 |
0,6591 |
1,08 |
0.52 |
0.1985 |
0,6985 |
1,09 |
0.62 |
0.2324 |
0,7324 |
1,13 |
1.04 |
0.3508 |
0,8508 |
1,15 |
1.25 |
0.3944 |
0,8944 |
1,25 |
2.31 |
0.4896 |
0,9896 |
Визуально определяя расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения делаем вывод, что оно невелико, следовательно, принимаем гипотезу о нормальном законе распределения.
Рисунок 4. Кумулятивные кривые – эмпирическая функция распределения и теоретическая функция распределения (промаркированы крестиками – Fn(x), ромбиками - F(x))
5.4. Критерий согласия Колмогорова.
Используется для надежной количественной оценки основной гипотезы:
где
– объем выборки,
– статистическая функция распределения,
– квантиль Колмогорова ( ).
Таблица 6
Расчетные данные для
|
|
|
|
|
|
0.88 |
0.053 |
-1.59 |
-0.4441 |
0.0559 |
0.0029 |
0.89 |
0.159 |
-1.48 |
-0.4306 |
0.0694 |
0.0896 |
0.96 |
0.212 |
-0.75 |
-0.2734 |
0.2266 |
0.0146 |
0.97 |
0.318 |
-0.64 |
-0.2389 |
0.2611 |
0.0569 |
0.99 |
0.371 |
-0.43 |
-0.1664 |
0.3336 |
0.0374 |
1.03 |
0.477 |
-0.01 |
-0.004 |
0.496 |
0.019 |
1.04 |
0.583 |
0.09 |
0.0359 |
0.5359 |
0.0471 |
1.05 |
0.636 |
0.20 |
0.0793 |
0.5793 |
0.0567 |
1.07 |
0.742 |
0.41 |
0.1591 |
0.6591 |
0.0829 |
1.08 |
0.795 |
0.52 |
0.1985 |
0.6985 |
0.0965 |
1.09 |
0.848 |
0.62 |
0.2324 |
0.7324 |
0.1156 |
1.13 |
0.901 |
1.04 |
0.3508 |
0.8508 |
0.0502 |
1.15 |
0.954 |
1.25 |
0.3944 |
0.8944 |
0.0596 |
1.25 |
1 |
2.31 |
0.4896 |
0.9896 |
0.0104 |
Критерий Колмогорова не выполняется, значит, основная гипотеза принимается, закон распределения нормальный.
6. Интервальная (квантильная) оценка выборки.
а) генерального среднего “a”:
,
где – квантиль стандартного нормального распределения ( ).
б) Генеральной дисперсии “σ”:
,
где – число степеней свободы выборки;
– квантили Пирсона ( ).