8 Координаты вектора в базисе
Вектор а пространства Vect 3, е1,е2,е3 это базис. Это линейн зависим систем.
η1е1+η2е2+η3е3+η4а=0 η4≠0
выразим вектор а
=…
а=x1a1+x2a2+x3a3
x1 x2 x3 координаты вектора а в базисе е1 е2 е3
а1=х1е1+х2е3+х3е3 а2=у1е1+… а1-а2=(х1-у1)е1+… х1-у1=0 х1=у1
9 проекция вектора. Скаляр произвед.
Ом-проекция
вектора а
алгебр проекция
+ если сонаправлены
А)
б)сумма векторов
в)
Скалярное произведение- произвед длин векторов на cosL между ними (а,b)
А)
б) аb=0
когда
в)
г)(а+b,c)=(a,c)+(b,c)
д)(Ха,b)=X(a,b)
е) а={a1,a2,a3}
b=…
(a,b)=a1b1+a2b2+…
ж)
10 Направляющие cos
Направление вектора a определяется в пространстве углами
L=(a,Ox) B=(a, Oy) Z=(a,Oz)
Cos L, cosB cosZ направл косинусы вектора а
11 Векторное произведение [a,b]
[a,b] называет вектор с определенный 3 условиями
1) |c|=|a||b|sinL
2)
3)положит
ориентирован
если определитель из координат >0
1) [a,b]=|e1 e2 e3 a1 a2 …| 2)a,b,c=|a1 a2 a3 …|
Св-ва
1)[a.b]=0 при
a||b 2)[Xa,b]=X[a,b] 3)[a+b,c]=[a,b]+[b,c] 4)антикоммутативность
[a,b]=-[b,a] 5)
12) смешанное произведение ([a,b],c)=(a,b,c)
1)(a,b,c)=|a1
a2
a3
…| 2)при перестановке 2ух сомножителей
знак меняется 3)
4)(a,b,c)=0
компланарны
13 координаты точек и расстояние
Аффинная сист координат – это начало координат + базис
М лежит на плоскости ОМ=х1е1+х2е2={х1,х2} М(х1,х2)
Если базис ортонормирован то это прямоуг или декартовая сист координат
Расстояние
АВ=|AB|=|OB-OA|
14 полярные сист координат
положение
точки М в полярной сист определя-я
растояниет от О до М
и углом между векторами. Пример М(2;п/2)
Связь между полярной
и декартовой сист корд
М принадлежит
M(x;y) в Декарт сис коор М(r;f) в полярной.
Рассмотрим треуг
ОММ1 , т к
15 параметрическое
уравнение
прямой
а-направляющий вектор прямой l, a||l F-фиксирован тчк М-произвол тчк O,е1,е2,е3 аффин сист коор
ОМ=OF+OM векторн уравнен прямой l снаправ вектором а и базис тчк F: OM=ta+OF
F(x0;y0;z0) a(M;N;P) M(x;y;z)
Рассмотрим векторн уравнение
X=tm+x0, Y=…, Z=… при t параметр
16 уравнение
прямой
F(x0;y0)
x=mt+x0
y=nt+y0
выразим t
x-x0/m=y-yo/n
при
Через 2 тчк.
М1 базис тчк М1М2||l
направл вектор
Каноническ уравнен l: x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
В отрезках
М(а;0) N(0;b)
в аффин сист координ. Применем уравн
прямой через 2 тчк. x-a/-a=y-0/b
-x/a+1=y/b
x/a+y/b=1
17 общее уравн прямой
Всякая прямая
может быть задана на плоскости лин
уравнением относительно х и y.
Ах+Вy+С=0
при
Любая прямая может быть задана уравнением х-х0/м=y-y0/n n(x-x0)-m(y-yo)=nx-my+my0-nx0x при n=a m=b my0-nx0=c
Прамая с уравнением как выше. Это уравнение определяет прямую на плоскости, для этого надо найти базис тчк и направл вектор. Разделим уравнение на А. X+C/A=-B/A (X+(C/A))/B=Y/-A F(-C/A;0) это базис тчк {B;-A}направл вектор. Прямая l существует
18 Уравнение с угловым коэффициентом. Угол между прямыми.
Угловой коэффициент
только вдекартовой сист координ.
Tgl=k M(x;y) произвол тчк
Рассмотрим треуг PMK. y-b/x=tg l=k y=kx-b
Прямые.
l1:A1x+B2y+CI=o l2:A2x+…=0
a1={B1;-A1}||l1 a2={B1;-A2}||l2
прямые
с
угл
коэффиц.
l1: y=k1x+b1 l2:… L=L2-L1 k1=tgL1 k2=…
tgL=tg(L2-L1)=(tgL2-tgL1)/1+tgL2tgL1=k2-k1/1-k2k1
знаменат должен быть равен 0. L1 перпен L2, то tg п/2, а он не сущест. k1k2=-1
k1=-1/k2