1.2.10 Предваренная нормальная форма

Для удобства анализа сложной формулы рекомендуется преобразовывать её к нормальной форме. Если в алгебре высказываний приняты две нормальные формы ДНФ и КНФ, то в алгебре предикатов ‑ кроме ДНФ и КНФ есть предварённая нормальная форма (ПНФ), суть которой сводится к разделению формулы на две части: префикс и матрицу.

Для этого все кванторы выносят влево по правилам логики предикатов, формируя префикс, а логические связки соединяют предикаты формулы, формируя матрицу. В результате будет получена формула: , где - префикс формулы при , а – матрица формулы. Затем матрицу формулы преобразуют к виду КНФ для определения истинности заключения.

Алгоритм приведения формулы к виду ПНФ:

1. Исключить логические связки и с помощью формул

, .

2. Перенести инверсии на элементарные формулы, использовать законы

, , ,

, .

3. Провести стандартизацию переменных. В пределах действия квантора имя переменной, по которой проводится квантификация, можно заменить на любое другое, не совпадающее с переменными, находящимися в этих пределах. Провести переименование переменных так, чтобы каждая связанная переменная имела уникальное имя (т.е. чтобы никакая переменная не имела бы одновременно свободных и связанных вхождений).

.

4. Вынести кванторы новых связанных переменных влево, не нарушая их последовательности.

5. Преобразовать бескванторную матрицу к виду КНФ, т. е. , где .

Пример 1. Привести формулу к виду ПНФ.

Решение. . Следовательно, предваренная нормальная форма формулы ‑ это . Матрица ПНФ содержит один элементарный дизъюнкт: .

Пример 2. Привести формулу к виду ПНФ.

Решение.

.

ПНФ ‑ это . Матрица ПНФ содержит три элементарных дизъюнкта: .

Пример 3. Привести формулу к виду ПНФ.

Решение.

.

Переименовываем связную переменную левого квантора :

.

ПНФ ‑ это . Матрица ПНФ содержит два элементарных дизъюнкта: .

Замечание. Одна формула может допускать много эквивалентных ПНФ. Вид результата зависит от порядка применения правил, а также от произвола при переименовании переменных.

1.2.11 Сколемовская стандартная форма.

Наличие разноименных кванторов в префиксе не позволяет осуществлять вывод заключения, опираясь только на матрицу. Однако есть эффективный алгоритм Сколема, удаляющий из префиксной части кванторы существования и преобразующий формулу к виду . В этом случае вывод заключения возможен только по формуле матрицы. Для устранения в префиксе кванторов существования вводится сколемовская функция от предметных переменных кванторов всеобщности, которая замещает в матрице связанную квантором существования предметную переменную.

Алгоритм приведения формулы к виду ССФ:

Шаг 1. Представить формулу в виде ПНФ, т. е. , где , а .

Шаг 2: Найти в префиксе самый левый квантор существования и заменить его по правилу:

А. «Если квантор существования находится на первом месте префикса, то вместо переменной, связанной этим квантором, подставить в матрице всюду предметную постоянную a, отличную от встречающихся постоянных, а квантор существования удалить».

Например, в формуле переменную заменим константой , получим . Такие константы называют сколемовскими константами.

Б. «Если квантор существования находится на i-м месте префикса, т.е. , то выбрать -местную функцию , отличную от функций матрицы М и выполнить замену предметной переменной , связанной квантором существования, на функцию и квантор существования из префикса удалить».

Например, . Переменная находится в области действия кванторов и . Заменим на функцию , где символ для функции выбираем произвольный, но такой, чтобы он был уникален, получим: . Такие функции называют сколемовскими функциями.

Шаг 3: найти в префиксе следующий слева квантор существования и перейти к исполнению шага 2, иначе конец.

Формулу ПНФ, полученную в результате введения сколемовских функций называют сколемовской стандартной формой (ССФ).

Преобразованная таким образом матрица может быть допущена к анализу истинности суждения по принципу резолюции.

Пример 1. Дано . Преобразовать формулу к виду ССФ.

Решение.

Принять и удалить :

.

Принять и удалить :

Принять и удалить :

Матрица ССФ содержит два дизъюнкта:

.

Пример 2. Дано

.

Преобразовать формулу к виду ССФ.

Решение.

Принять и удалить :

Принять и удалить :

Множество дизъюнктов матрицы:

.

Контрольные задания.