Показательная регрессия

Уравнение регрессии, будем искать в виде:

y=a*b^x

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путём логарифмирования обеих частей уравнения:

lg_y=lg_a+x*lg_b;

Y=A+B*x,

Где Y= lg_y, B=lg_b, A= lg_a.

Где параметры a и b рассчитываем:

b=(Y*x)_ср.-Y_ср.*x_ср./(x²)_ср.-(x_ср.)²

a=Y_ср.* (x²) _ср-(Y*x) _ср*x_ср/(x²)_ср.-(x_ср.)²

Для расчётов используем данные таблицы.

Рассчитаем параметры a и b:

a=(2,916613288*741090-2510,438552*860,72)/(741090-860,72²)=8602,076866

b=(2510,438552-860,72*2,916613288)/(741090-860,72²)=0,000203768

Получим линейное уравнение:Ŷ=8602,076866+0,000203768*x

Полученный коэффициент регрессии b=0,000203768 показывает, что при увеличении фактора x на 1 единицу от своего среднего уровня, результативный показатель y увеличится на 0,000203768 от своего среднего уровня.

Другими словами, при увеличении денежных расходов на душу населения на 1 единицу от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,000203768 единиц от своего среднего уровня.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_x*y=b*σ_x/σ_y=0,000203768*1584555/0,007919=0,407709564

Связь умеренная, прямая.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчётные) значения Ŷ_x.

Найдём величину средней ошибки аппроксимации A:

A=1/n*∑A_i=1*∑│y- Ŷ │/у*100%=73710,48373*100%=294841,9349

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 294841,9349%.

Рассчитаем F-критерий: F_факт.=(r²*(n-2))/(1- r²)

F_факт.=(0,407709564 ²*(25-2))/(1-0,407703564²)=4,585448858

F_табл.=4,24

Полученное значениеF_{фактич.}>F_табл.

Значит, модель считается статистически значимой.

Рассчитаем коэффициент эластичности:

Э=b*x_ср./y_ср.

Э= 0,000203768 * 860,72 /2,916613288=0,060133846

Полученное значение коэффициента эластичности Э=0,060133846% показывает, что при увеличении фактора x на 1% от своего среднего значения, результативный показатель y увеличится на 0,060133846% от своего среднего значения.

Другими словами при увеличении денежных расходов на душу населения на 1% от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,060133846% от своего среднего уровня.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,407709564
R-квадрат	0,166227089
Нормированный R-квадрат	0,129976093
Стандартная ошибка	0,007539151
Наблюдения	25
Дисперсионный анализ
	df	SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	1	0,000260631		0,000260631		4,585448858		0,043067434
Остаток	23	0,001307292		5,68388E-05
Итого	24	0,001567924
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение		Нижние 95%
Y-пересечение	2,741226113	0,081918216		33,4629614		5,17321E-21		2,571765371
Переменная X 1	0,000203768	9,51579E-05		2,14136612		0,043067434		6,91879E-06