Бородавкин В.А., Петрова И.Л. ТАУ дискретных систем / 12 Лекция

6

Лекция 12.

Оценка качества и синтез дискретных САУ

Основные определения, характеризующие качество процессов в непрерывных САУ, справедливы и для дискретных систем.

Показатели качества по переходной функции:

• Установившееся значение h_уст;

• Время регулирования t_п;

• Перерегулирование ;

• Число перерегулирований за время t_п.

Показатели качества характеризуют точность, быстродействие и запас устойчивости системы. В дискретных системах также возможны прямые и косвенные методы оценки качества.

12.1 Прямой метод оценки качества по переходному процессу.

Определение переходного процесса возможно непосредственно по z-изображению выходной координаты Y(z), применяя метод степенных рядов для z-преобразования.

(1)

где при k=0,1,2,3,… определяет ординаты переходного процесса в дискретные моменты времени.

В общем случае по аналогии с непрерывными системами переходной процесс в устойчивой дискретной системе протекает неограниченно долго.

Однако существует определенный класс дискретных систем, у которых переходной процесс характеризуется конечной длительностью. Это свойство присуще только дискретным системам.

Пример 1.

Дискретная передаточная функция имеет вид

то функция веса ДАС определяется как обратное z-преобразование Ф(z). Деление числителя функции Ф(z) на знаменатель дает

Т.о. только первые n-значений переходного процесса не равны нулю. Система имеет конечное время установления переходного процесса.

Пример 2.

Определить переходной процесс в одноосном гиростабилизаторе (рис.1) при различных значениях коэффициента k.

ФИ

g x y

Рис.1

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы

Дискретная передаточная функция замкнутой системы

Определим переходную функцию

Исследуем устойчивость с помощью критерия Гурвица.

0 2 kT

Примем kT=1, тогда

Результаты сведем в таблицу

n	0	1	2	3	4	……………	N
y[nT]	0	1	1	1	1	…………..	1

При kT=1 переходной процесс полностью затухает за один период.

На рис.2 приведены переходные процессы для трех значений kT.

y[nT]

2 kT=2

1 kT=1

kT<1

0

T₀ 2T 3T 4T 5T

Рис.2

Прямой метод оценки качества дает наиболее подробную и точную информацию о динамических свойствах исследуемой системы – однако, при сложной структуре непрерывной части метод неприемлем из-за трудоемких расчетов.

12.2 Оценка точности при типовых воздействиях

Как и для непрерывных систем, введем здесь определение статической ошибки, астатизма и коэффициентов ошибок, а также ошибок при гармоническом воздействии.

Имея ввиду, что передаточная функция замкнутой системы для ошибки равна:

(41)

установившуюся ошибку при постоянной величине внешнего воздействия , используя теорему о конечном значении можно вычислить по формуле:

(42)

или в общем виде:

где , G(z) – z-изображение входного сигнала.

Эта ошибка называется статической ошибкой или ошибкой положения.

Аналогично с непрерывными системами определяются статическая ошибка, ошибка по скорости и ускорению.

Астатической импульсной системой будет такая, у которой передаточная функция разомкнутой цепи имеет полюс z=1 (q=0), т.е.

где не имеет полюсов в точке z=1.

Т.е Простым признаком астатизма дискретной системы является наличие в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы W(z) соотношения вида (z-1).

Определим коэффициенты ошибок для импульсной системы аналогично тому, как это делалось для непрерывных систем.

Разложим в ряд Тейлора передаточную функцию замкнутой импульсной системы для ошибки в окрестности точки z=1:

где

(45)

Здесь при m=n есть весовая функция системы по ошибке. Так определяются коэффициенты ошибок с₀, с₁, с₂, … . При этом, например, первые три коэффициента имеют вид

Передаточная функция импульсной системы имеет вид отношения многочленов

Поэтому вместо разложения в ряд Фурье те же коэффициенты c_k можно получить путем деления многочлена числителя на знаменатель. Этот способ и рекомендуется использовать как более простой для практических расчетов.

Чтобы определить выражение для ошибки с использованием этих коэффициентов, обратимся к формуле , записав ее в виде

(46)

Фигурирующую здесь решетчатую функцию g[n-m] выразим через ее разности соответствующего порядка для разных значений m:

………………………………………………………..

Подставив их в выражение (46), после выкладок получаем

(47)

где c_k определяется формулой (45).

Например, если

(48)

то соответствующие разности будут

далее при всех . С этими значениями разностей формула (47) дает

(49)

Покажем определение коэффициентов ошибок на следующем примере

Пример 3

Определить коэффициенты ошибок, если

1. дана передаточная функция разомкнутой цепи импульсной системы:

(50)

2. внешнее воздействие имеет вид:

Найдем передаточную функцию замкнутой системы для ошибки

Для деления числителя на знаменатель здесь удобно ввести замену . После выкладок получаем

Деление многочленов по обычному правилу алгебры дает результат

Отсюда следуют значения коэффициентов ошибок

Внешнее воздействие нам задано в виде (48) при значениях Тогда по формуле (49) с найденными здесь коэффициентами c_i определяем ошибку

Здесь отсутствует статическая ошибка (с₀=0), т.к. передаточная функция разомкнутой цепи (50) имеет полюс z=1 (астатическая система). В целом ошибка включает постоянную составляющую (-7) по скорости, пропорциональную времени (3n) по ускорению изменения внешнего воздействия.

Ошибки импульсной системы при гармоническом воздействии.

Внешне синусоидальное воздействие преобразуется на входе в решетчатую функцию .

При этом установившаяся ошибка в замкнутой системе будет

где

(51)

Используем логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи получаемые с применением w-преобразования (26) и (29), в виде

.

Учитывая, что обычно на рабочей частоте , получим в соответствии с формулой (41) следующее выражение:

Как было установлено ранее в низкочастотной области (в которой и лежит значение ) приближенно выполняется равенство

(52)

т.е. имеется совпадение псевдочастоты с частотой передаточной функции приведенной непрерывной части импульсной системы. Поэтому для определения ошибки в этой области можно пользоваться непосредственно обычной логарифмической частотной характеристикой приведенной непрерывной части, а именно считать, что

Следовательно, в первом приближении установившаяся ошибка импульсной системы при гармоническом воздействии (низкочастотном) может быть вычислена как установившаяся ошибка обычной непрерывной системы, получаемой замыканием отрицательной обратной связью приведенной непрерывной части этой системы.

Оценка точности дискретной системы в вынужденном режиме выполняется аналогично методу коэффициентов ошибок для непрерывных систем. При этом коэффициенты ошибок определяются разложением передаточной функции для ошибки в ряд Тейлора по степеням (z-1) вблизи точки z=1.