Бородавкин В.А., Петрова И.Л. ТАУ дискретных систем / 13 Лекция

6

Лекция 13.

Оценка качества и синтез дискретных САУ

Покажем определение коэффициентов ошибок на следующем примере

Пример 3

Определить коэффициенты ошибок, если

1. дана передаточная функция разомкнутой цепи импульсной системы:

(50)

2. внешнее воздействие имеет вид:

Найдем передаточную функцию замкнутой системы для ошибки

Для деления числителя на знаменатель здесь удобно ввести замену . После выкладок получаем

Деление многочленов по обычному правилу алгебры дает результат

Отсюда следуют значения коэффициентов ошибок

Внешнее воздействие нам задано в виде (48) при значениях Тогда по формуле (49) с найденными здесь коэффициентами c_i определяем ошибку

Здесь отсутствует статическая ошибка (с₀=0), т.к. передаточная функция разомкнутой цепи (50) имеет полюс z=1 (астатическая система). В целом ошибка включает постоянную составляющую (-7) по скорости, пропорциональную времени (3n) по ускорению изменения внешнего воздействия.

Ошибки импульсной системы при гармоническом воздействии.

Внешне синусоидальное воздействие преобразуется на входе в решетчатую функцию .

При этом установившаяся ошибка в замкнутой системе будет

где

(51)

Используем логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи получаемые с применением w-преобразования (26) и (29), в виде

.

Учитывая, что обычно на рабочей частоте , получим в соответствии с формулой (41) следующее выражение:

Как было установлено ранее в низкочастотной области (в которой и лежит значение ) приближенно выполняется равенство

(52)

т.е. имеется совпадение псевдочастоты с частотой передаточной функции приведенной непрерывной части импульсной системы. Поэтому для определения ошибки в этой области можно пользоваться непосредственно обычной логарифмической частотной характеристикой приведенной непрерывной части, а именно считать, что

Следовательно, в первом приближении установившаяся ошибка импульсной системы при гармоническом воздействии (низкочастотном) может быть вычислена как установившаяся ошибка обычной непрерывной системы, получаемой замыканием отрицательной обратной связью приведенной непрерывной части этой системы.

Оценка точности дискретной системы в вынужденном режиме.

Оценка точности работы дискретной системы в вынужденном режиме выполняется аналогично методу коэффициентов ошибок для непрерывных систем. При этом коэффициенты ошибок определяются разложением передаточной функции для ошибки в ряд Тейлора по степеням (z-1) вблизи точки z=1.

13.1 Влияние расположения полюсов замкнутой дискретной системы на характер переходного процесса.

Характер переходного процесса, т.е. монотонность или колебательность зависит от расположения полюсов функции Ф(z) внутри круга единичного радиуса (рис.1).

Im y[n]

z₁ Re T 2T nT

a)

Im y[n]

z₁

z₂ Re T 2T nT

б)

Im y[n]

z₁ Re T 2T nT

в) Рис.1

Доминирующий полюс – расположенный ближе всего к окружности.

• а) Если доминирующий полюс лежит на положительной полуоси плоскости z, то имеет место монотонный переходный процесс.

• б) В случае двух доминирующих комплексно-сопряженных полюсов, лежащих в правой полуплоскости z, имеет место затухающий колебательный процесс.

• в) Если доминирующий полюс лежит на отрицательной полуоси, то наблюдается перемена знака у дискрет в каждый момент замыкания ключа.

13.2 Частотные методы оценки качества

Частотные методы оценки качества дискретных систем аналогичны методам анализа и синтеза непрерывных систем. Качество дискретных систем можно оценивать с помощью следующих показателей:

• колебательности М;

• запаса устойчивости по фазе ;

• запаса устойчивости по амплитуде L;

• частоты среза _с.

Особенно удобно при определении запасов устойчивости и показателей колебательности пользоваться логарифмическими частотными характеристиками в функции псевдочастоты.

Для оценки качества дискретной системы частотными методами необходимы частотные характеристики, которые могут быть получены на основании известной структурной схемы и передаточных функций системы, причем исследования могут производиться в плоскости комплексных переменных p, z, w.

13.3 Коррекция импульсных систем.

Улучшение качества процессов управления возможно за счет:

• изменения параметров и структуры непрерывной части;

• характера процессов прерывания в импульсном элементе.

Изменение структуры непрерывной части осуществляется за счет введения последовательных, параллельных звеньев и дополнительных обратных связей. Это позволяет деформировать частотные характеристики непрерывной части требуемым образом.

Введение в систему корректирующих устройств бывает необходимо чтобы в результате этого система удовлетворяла заданным требованиям по точности и по качеству процессов управления, в том числе переходных процессов.

Для изменения характера прерывания сигнала в импульсных системах можно использовать специальные импульсные корректирующие устройства, например, импульсные фильтры. Наиболее простым способом коррекции в этом случае является введение последовательной цепи в канал управления в виде импульсного элемента и непрерывной части, что позволяет изменить закон модуляции основной последовательности импульсов. В зависимости от указанных способов в импульсных системах различают непрерывную и дискретную коррекции.

Дискретная коррекция осуществляется включением в контур системы импульсного фильтра. Он преобразует входной сигнал в последовательность импульсов. Эти импульсы на выходе фильтра образуются путем амплитудно-импульсной модуляции входного сигнала x[n], но с необходимыми для коррекции системы преобразователями, а именно

где k[n] – весовая функция приведенной непрерывной части импульсного фильтра.

В области изображений уравнение импульсного фильтра будет

где

есть передаточная функция корректирующего импульсного фильтра, которая представляется в виде

Определение передаточной функции импульсного фильтра в форме, необходимой для реализации его непрерывной части,

части оказывается сложной задачей. В связи с этим прибегают к реализации импульсного фильтра с помощью специальных комбинаций непрерывных элементов. В частности, с использованием суммирующих усилителей и элементов задержки можно смоделировать разностное уравнение, описывающее проектируемый импульсный фильтр.

Импульсные фильтры могут применяться в качестве как последовательных, так и параллельных корректирующих устройств. Применяется также и импульсная коррекция по внешнему воздействию.

Синтез непрерывных корректирующих устройств удобнее всего производить с помощью логарифмических частотных характеристик. При этом следует учитывать, что в наиболее существенном диапазоне частот значения абсолютной псевдочастоты _с совпадают со значениями действительной частоты . ()

Поэтому, при синтезе, в качестве желаемых можно брать характеристики, соответствующие частотным передаточным функциям непрерывной части. Передаточные функции корректирующих устройств определяются так же, как и при синтезе систем непрерывного действия. Импульсный характер систем сказывается на виде характеристик при высоких частотах, что в большинстве практических случаев приводит к несущественному влиянию на качество системы.

Теорема Котельникова.

Если функция не содержит частот, превышающих , то она полностью определяется своими значениями в дискретные моменты времени, отстоящими друг от друга на время (рис.2).

Спектр

функции



Спектральное разложение функции дано на конечном интервале.

Рис.2.

Однако, повышение качества процесса управления с помощью импульсных и цифровых фильтров может быть более всесторонним, не ограничивающимся коррекцией частотных характеристик системы.

Цифровые корректирующие фильтры осуществляются как дифференцирующие и интегрирующие.