Задание и исходные данные.

1.1 Задание.

По представленным данным выполнить анализ статических (установившихся ошибок) и динамических (показатели качества переходных процессов) режимов работы системы с исходными параметрами. Статические ошибки вычисляются аналитически вручную и с помощью КМС (компьютерной математической системы). Анализ качества переходных процессов выполняется по результатам моделирования на компьютере в среде КМС.

1.2 Исходные данные.

Задана система автоматического управления (рис.1), состоящая из 4-х элементов (рис.2, i=1,2,3,4), где приняты следующие обозначения: x - задающее воздействие; у -управляемая величина; z - возмущающее воздействие; x_l- входное воздействие i-ro элемента; y_l - выходная величина i -ro элемента.

W_i(s)

x

САУ

Y x_i Y_i

Рис.1 Рис.2

Элемент i =1 является объектом управления. Остальные элементы относятся к управляющей части САУ.

Динамические свойства элементов в общем случае описываются дифференциальными уравнениями: (1)-(4)

(1)

(2)

(3)

(4)

Уравнения связей:

x₁ =y₂ –z;

x₂ = y₄;

x₃ = x – y;

x₄ = y₃ – y₄

где: x – задающее воздействие;

y – управляемая величина;

z – возмущающее воздействие.

Исходные значения параметров элементов:

1) k₁ = 0,8; ₁ = 1; T₁ = 1,2; k₀₁ = 0

2) k₂ = 0,4; ₂ = 0; T₂ = 0; k₀₂ = 1,0

3) k₃ = 0,9; T₃ = 0;

4) k₄ = 0,9; ₄ = 0,7; T₄ = 0,5;

где k – коэффициент передачи звена;

Т – постоянная времени;

 - время запаздывания.

I. Анализ исходной системы

1. Конкретизировал выражения уравнений (1) - (4), подставив в них из табл.2 соответствующие варианту значения коэффициентов k_0l, k₀₂ и равные нулю постоянные времени T_l, _l.

Полученные дифференциальные уравнения записал в операторной форме. При наличии общего множителя в виде оператора дифференцирования в левой и правой частях этих уравнений произвел сокращение. По полученным дифференциальным уравнениям записал выражения передаточных функций и для наглядности вписал их в символы элементов на структурной схеме.(Рис. 4)

Решение: Используя оператор s получим:

1. T₁ s² Y₁(s) + s Y(s) = k₁ ( ₁s x₁(s) + k₀₁ x₁(s) )

Y₁(s) (T₁s² +s) = k₁ x₁(s)( ₁s + k₀₁ )

2. T₂ s² Y₂(s) + s Y₂(s) = k₂ ( ₂s x₂(s) + k₀₂ x₂(s) )

Y₂(s) (T₂s² +s) = k₂ x₂(s)( ₂s + k₀₂)

3. T₃ s Y₃(s) + Y₃(s) = k₃ x₃

Y₃(s) (T₃ s + 1) = k₃ x₃(s)

4. T₄ s Y₄(s) + Y₄(s) = k₄ ( ₄s x₄(s) + x₄(s) )

Y₄(s) (T₄s + 1) = k₄ x₄(s)( ₄s + 1)

Используя уравнения связей из табл.1, где для каждого элемента определены входные воздействие в виде комбинации выходных величин других элементов, построил структурную схему (Рис.3).

z

W₄(s)

W₂(s)

W₁(s)

W₃(s)

x x y₃ x₄ x₂ y₂ x₁

y₄ Y₁

y

Рис.3 Исходная структурная схема САУ

Расчет передаточной функции с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

Вывод: результат, полученный вручную, совпадает с результатом, который был получен средствами КМС (компьютерной математической системы).

W2(s) W1(s)

0,9

W3(s)

x

Апериодическое 1-го порядка

усилительное

интегрирующее

W4(s)

Усилительное звено и два апериодических 1-го порядка

Рис. 4 Структурная схема с вписанными значениями передаточных функций

Передаточная функция четвертого звена W₄(s) (см рис.4), охваченного обратной связью будет равна:

-Расчет передаточной функцииW₄(s) с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

При последовательном соединении звеньев W3(s), W4(s), W2(s) общая передаточная функция их будет равна:

Расчет передаточной функции W₂₃₄(s) с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

Рис.5 Упрощенная структурная схема САУ

2. Преобразовал пошагово исходную структурную схему САУ к одноконтурной (Рис.5) и определил передаточную функцию разомкнутой системы Wpaз(s), выделив в ней коэффициент передачи разомкнутой системы k_paз

W₂₄(s)

W₁(s)

z

x x₁ Y₁

Рис.6 Одноконтурная разомкнутая структурная схема САУ

Передаточная функция разомкнутой САУ расчитывается так:

Расчет передаточной функции W_раз(s) с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

3.Определил передаточные функции а)замкнутой системы; б) по задающему Wg(s); в) по возмущающему Wz(s) воздействиям, записал уравнения замкнутой системы в операторном и дифференциальном виде.

а) расчет передаточной функции замкнутой системы

W₂₃₄(s)

z

W₁(s)

x x₁ Y₁

y

Рис.7 Замкнутая структурная схема САУ

Передаточная функция замкнутой САУ рассчитывается так:

Расчет передаточной функции W_зам(s) с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

Отсюда, k_раз= 0.72 -коэффициент передачи разомкнутой системы.

б) Расчет передаточной функции по задающему воздействию g(s)

g(s)X(s)

z

W₁(s)

W₄₃₂(s)

Рис. 8 Структурная схема САУ по задающему воздействию.

Расчет передаточной функции по задающему воздействию производится по следующей формуле:

Теперь подставим в эту формулу значение передаточной функции разомкнутой системы W_раз(s):

- передаточная функция ошибки по задающему воздействию в операторном виде.

- передаточная функция ошибки по задающему воздействию в дифференциальном виде.

Расчет передаточной функции с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

в) Расчет передаточной функции по возмущающему воздействию z(t)

z(t)Y(s)

W₁(s)

W₄₃₂(s)

Рис. 9 Структурная схема САУ по возмущающему воздействию.

Расчет передаточной функции по возмущающему воздействию производится по следующей формуле:

-передаточная функция по возмущающему воздействию.

Теперь подставим в эту формулу значения уравнений передаточных функций W_раз(s) иW₁(s):

- передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию в операторном виде.

- передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию в дифференциальном виде.

Расчет передаточной функции с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

4. Определил передаточные функции по ошибке, вызванной задающим и возмущающим воздействиям.

а) По ошибке, вызванной задающим воздействием

g(s)E_z (s)

W₁(s)

W₂₃₄(s)

z

Рис 10 Структурная схема САУ по ошибке, вызванной задающим воздействием.

б) По ошибке, вызванной возмущающим воздействием

Ex

Z

W₁(s)

(-)

W₂₃₄(s)

Рис 11. Структурная схема САУ по ошибке, вызванной возмущающим воздействием.

Расчет передаточной функции по ошибке, вызванной возмущающимвоздействием, производится по следующей формуле:

Теперь подставим в эту формулу значения уравнений передаточных функций W_раз(s) иW₁(s):

Расчет передаточной функции с помощью средств КМС (компьютерной математической системы):

5. Пользуясь теоремой о конечном значении, вычислил установившиеся (статические) ошибки по задающему и возмущающему воздействиям, приняв для задающего и для возмущающего воздействия - только ступенчатую функцию. Статические ошибки определил в процентном отношении к модулю ступенчатого воздействия и скорости изменения линейного воздействия. На основе результатов расчета статических ошибок установил тип САУ.

На основе теоремы о конечном значении нетрудно вычислить установившееся значение:

1. Статическая ошибка по возмущающему воздействию:

Рассчитаем ошибку по положению. Для этого воспользуемся формулой.

Зная что ступенчатая функция в операторной форме : (t) = > 1/s и

_{- передаточная функция по возмущающему воздействию}

Найдем ошибку:

Рассчитаем ошибку по скорости. Для этого воспользуемся формулой: (t) = > 1/s²

где (s) – передаточная функция по ошибке, вызванной возмущающим воздействием.

Вывод: ошибка системы по скорости не равна нулю, поэтому система – астатическая первого порядка.

2) Статическая ошибка по задающему воздействию:

Зная что ступенчатая функция в операторной форме : (t) = > 1/s и

_{- передаточная функция по задающему воздействию}

Найдем ошибку:

Рассчитаем ошибку по скорости. Для этого воспользуемся формулой: (t) = > 1/s²

где (s) – передаточная функция по ошибке, вызванной задающим воздействием.

Вывод: ошибка системы по скорости не равна нулю, поэтому система – астатическая первого порядка.