Черноруцкий. Методы принятия решений

52 Часть I. Методы принятия решений

Теорема 2.2. Пусть ае А. Тогда решение задачи

тт

И, следовательно, х^не максимизирует функционал F]. Полученное про­ тиворечие доказывает, что точки х' со сформулированными выше свой­ ствами не существуют и поэтому х^ — эффективный вектор. Теорема доказана.

Замечание 2.2

Обратное утверждение без дополнительных предположений неверно. Су­ ществуют эффективные векторы, не являющиеся решениями задачи (2.18). Для доказательства этого утверждения достаточно привести хотя бы один опровергающий пример, что и будет сделано далее.

Таким образом, согласно доказанной теореме

UX(a)QP(D),

аеА

Здесь

^ ( а ) = Arg max F^ (х, а).

Обратимся снова к геометрическим иллюстрациям для т = 2.В этом случае

Набор коэффициентов а = (ai, а^ считается фиксированным (неизмен­ ным в процессе всего рассмотрения). Графики прямых (2.19) для различ­ ных констант в правой части и различных весовых коэффициентов пока­ заны на рис. 2.4.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 53

f2

Рис. 2.4. Линии уровня функции Oi

Угловой коэффициент наклона прямой L определяется числами а,, а2 и равен (-а| / а^). При увеличении константы в правой части уравнения (2.19) прямая перемещается вверх параллельно L (занимая положение L). Таким образом, мы имеем целое семейство линий уровня, и максимум функции Ф], а вместе с ней и F], достигается в точках плоскости (/1,/2), со­ ответствующих точкам касания (но не пересечения) самой "верхней" линии уровня и множества достижимости/(/)). На рис. 2.4 точка b с координата­ ми (/"Д fi) реализует найденную рассмотренным методом эффективную оценку. Легко видеть, что ни одна из точек интервалов [а, Ь), (с, d\, соот­ ветствующих слабо эффективным, но не эффективным решениям, не может являться точкой касания f(D) и какой-либо линии уровня функции Ф| (угловой коэффициент (-ai / а2) не может равняться нулю или бесконечно­ сти, т. к. все а, > О и их величина ограничена сверху единицей).

На рис. 2.4 показана точка q, являющаяся решением задачи (2.18) при другом наборе а весовых коэффициентов. Перебирая различные а, мож­ но (как и в случае максиминной свертки) получить достаточно точную аппроксимацию множеств P(f) и P(D).

Ситуация, связанная с существованием эффективных решений, не яв­ ляющихся решениями задачи (2.18) ни при каких а, проиллюстрирована на рис. 2.5.

Все точки дуги а, b являются эффективными оценками, но ни одна из них (кроме самих точек а и Ь) HQ может являться точкой касания линий уров­ ня функции Oi к множеству/(£)) ни при каком наборе коэффициентов а. Таким образом, ясно, что отсутствие выпуклости множества/(D) приво-

дит к принципиальным затруднениям при применении метода линейной свертки. Аналогично, наличие строго прямолинейных участков "северо­ восточной" границы множества/(/)) может приводить к похожим труд­ ностям из-за приближенного характера вычислений (точки внутри таких прямолинейных участков оказываются "неустойчивыми" решениями за­ дачи (2.18)).

Рис. 2.5. Случай невыпуклой границы множества достижимости

Замечание 2.3

Весьма часто при эвристическом выборе весовых коэффициентов в методе линейной свертки пытаются сразу определить желаемую эффективную точку, исходя из заданных оценок критериев/i, ...,/„, по "важности". Так, например, полагая, что критерий/2 существенно "важнее" чем критерий/i, мы бы желали в качестве единственного решения многокритериальной за­ дачи получить эффективную точку а на рис. 2.6. Однако мы не знаем при этом, на сколько коэффициент аг должен превышать значение ai, чтобы была получена именно искомая точка. На рис. 2.6 показана ситуация, ко­ гда а2 > ai и в то же время найденной точке b соответствуют значения

f>f2\

Мы здесь везде надеемся, что читатель понимает иллюстративный харак­ тер приводимых рисунков и графиков. На самом деле, при решении мно­ гокритериальных задач графическая информация полностью отсутствует, и мы имеем дело с чисто аналитическими постановками соответствую­ щих оптимизационных задач.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 55

•

4

-

^^^**«*»

Щ1 " • • ^ ^

1т ^^,, , -- ^ ^ . ^

Рис. 2.6. Эвристический выбор весовых коэффициентов

Метод главного критерия также можно проинтерпретировать с помощью понятия слабо эффективного решения.

не пустое, есть слабо эффективный вектор.

Доказательство. Пусть х^ есть решение задачи (2.20) и существует х'е D, такой,что

такой номер i = io, для которого Д (х') < г^, что противоречит предполо­ жению (2.21). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Любой эффективный вектор может быть получен как реше­ ние задачи (2.20) при некоторых //, / = 2,..., т .

/ ( х ) > Л А/ = 2,...,т.

Если предположить, 4TO/I(X) >/I(X^), ТО ЭТО будет противоречить свой­ ству эффективности вектора х^, следовательно,/i(x) </i(x^), что эквива­ лентно (2.22). Теорема доказана.

Из доказанных теорем следует, что в качестве "главного" критерия мо­ жет быть выбран любой из частных критериев. Независимо от этого вы­ бора произвольное эффективное решение может быть получено как ре­ шение задачи (2.19) при соответствующем задании /,.

Метод главного критерия допускает простую графическую иллюстрацию. Рис. 2.7 отражает предположение, что в качестве "главного" выбран кри­ терий/,, а на значения функционала/2 наложено ограничение/>/2- Образ/(Z)) множества D'точек из D, удовлетворяющих указанному до­ полнительному ограничению, соответствует незаштрихованнои части множестваД/)).

Рис. 2.7. Метод главного критерия

Максимизация критерия/] на множестве D\ очевидно, приводит к по­ строению отрезка [а, Ь] на рис. 2.7. Как видно из рис. 2.7, задавая различ­ ные /2, можно получить аппроксимацию "северо-восточной" и "восточ­ ной" частей границы множества/(£)), куда входят все эффективные реше­ ния задачи.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 57

При выборе в качестве "главного" критерия/2 мы аналогично построим "северную" и "северо-восточную" части границы.

Пусть известен диапазон изменения функционала/:

г </;</«, 1 = 2,...,т.

Тогда из доказательства последней теоремы следует, что соответствую­ щие ti (при работе с критерием/] как с "главным") должны меняться в тех же пределах, пробегая выбранную сетку значений (аналогично построе­ нию аппроксимаций множеств эффективных и слабо эффективных реше­ ний в методах максиминной и линейной сверток).

Лексикографическая оптимизация. Как мы видели, методом максимин­ ной свертки могут быть получены все слабо эффективные решения, если вектор а = («1,..., а,,,) пробегает все множество векторов А. Напротив, по методу линейной свертки можно получить только эффективные решения, но не все. А. Джоффриону (А. М. Geoffrion) принадлежит идея выделе­ ния эффективных точек из множества S(D), построенного методом мак­ симинной свертки, с помощью процедуры максимизации линейной свертки. В результате будут построены все эффективные и только эффек­ тивные решения.

Теорема 2.5. Пусть а^ > О, / = 1,..., т . Тогда решение задачи

есть эффективный вектор. Наоборот, любой эффективный вектор х^ мо­ жет быть получен как решение задачи (2.23) при некоторых а^ > О и ti<fi(x\i= l,...,m.

Доказывать теорему не будем. Обсудим ее смысл и дадим геометриче­ скую иллюстрацию.

Множество Та при фиксированном наборе коэффициентов а получают методом максиминной свертки. Можно доказать, что, если Та— непус­ тое множество, то оно обязательно наряду со слабо эффективными ре­ шениями содержит хотя бы один эффективный вектор.

Упражнение 2.1. Докажите последнее утверждение.

Далее, максимизируя линейную свертку частных критериев (2.23) на множестве Та, мы получаем в результате эффективное решение. Совер­ шенно очевидно, что если Та состоит из одного элемента, то он же и бу­ дет эффективным решением и необходимость в максимизации (2.23), по существу, отпадает.

На рис. 2.8 показано множество Та, найденное при определенном наборе коэффициентов а, и выделенная из него эффективная оценка е.

Рис. 2.8. Лексикографическая оптимизация

При другом наборе коэффициентов а' множество Та' (см. рис. 2.8) являет­ ся одноэлементным: Та'= {е}. Точка ^'также оказывается эффективной оценкой.

Термин "лексикографическая оптимизация" здесь использован в сле­ дующем смысле. Речь идет о так называемом лексикографическом упо­ рядочении двух критериев — максиминного и линейного: вначале "сра­ батывает" максиминная свертка, и если в результате получен неодно­ значный результат (множество Та содержит более одного элемента), то выбираются тот или те из полученных элементов, которые максимизи­ руют линейную свертку (2.23), т. е. только тогда "срабатывает" второй критерий. Данный процесс аналогичен поиску слова в словаре: сначала мы работаем с первой буквой, затем — со второй и т. д. (этим и опреде­ ляется название).

Задача многокритериальной оптимизации (2.23) часто записывается в следующем компактном виде:

mina,(/-/.), £y;(x)[-^max

xeD

/=i

Выводы. Ни один из методов, представленных выше, не позволяет выде­ лить единственное оптимальное решение. Решения, соответствующие различным наборам весовых коэффициентов, являются равноправными элементами множеств эффективных и слабо эффективных решений, ко-

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 59

торые согласно общей постановке задачи ПР реализуют ядра соответст­ вующих бинарных отношений (отношений Парето и отношений Слейтера), т. е. и являются искомыми решениями. Однако с практической точки зрения, например, в задачах выбора вариантов (при покупке или заказе товаров, при выборе партнеров по бизнесу, при выборе вариантов про­ граммных средств и т. д.), а также в системах автоматизированного про­ ектирования часто требуется выбрать единственное решение (проект). Для этого должна привлекаться некоторая дополнительная информация о предпочтениях лица, принимающего решения. Принцип Парето в этом смысле позволяет лишь сузить класс возможных претендентов на реше­ ние и исключить из рассмотрения заведомо неконкурентоспособные ва­ рианты.

Методы выбора единственного решения многокритериальной задачи существуют и связаны с использованием моделей и процедур, предназна­ ченных для структуризации и количественного описания субъективного мнения лица, принимающего решения. В главе 5 эти вопросы будут рас­ смотрены более подробно.

Глава 3

Принятие решений в условиях неопределенности

Мы ограничимся здесь обсуждением нескольких стандартных ситуаций неопределенности обстановки в процессе принятия решений.

По-прежнему считаем, что задано множество альтернатив Хн множество возможных исходов Y, При рассмотрении задачи ПР в условиях опреде­ ленности, когда каждому решению х е X соответствовал единственный исход у е Y, было безразлично, на каком множестве X или Y задавать бинарное отношение предпочтения R. Ранее мы обычно задавали это отношение на множестве решений X. При этом на самом деле неявно за­ давалось и соответствующее отношение на множестве исходов У. Дейст­ вительно, пусть существует однозначная зависимость у = (р(х), позво­ ляющая по решению х определить единственный исход у. Альтернативы х' и х'\ по существу, сравнивались по значениям оценок соответствую­ щих исходов у' и у'\ Иначе говоря, имели

х'ух''^/у/\

где использованы обозначения х' ^ х" <^ {х\ хО е /?л,

/^/'^(y\ylGRy.

Таким образом, общая модель принятия решений <А, R> могла быть сформулирована в виде <Х, Rx> либо <У, /?у>. Суть дела от этого не ме­ нялась. В таком случае говорят, что отображение (р: Х-^ Y является го­ моморфизмом модели <Х, Rx> в модель <7, /?у>, т.е. для всяких х\ х" G Z из xRxx" следует i^{x)Ry^(x"),

При наличии неопределенных факторов ситуация усложняется. Теперь мы уже не можем гарантировать наступление определенного исхода у при выборе решения х.

Будем считать, что наша система предпочтений связана с оценкой "полезностей" исходов у. Выбор х осуществляется с единственной це­ лью — получить "хороший" исход у, принадлежащий ядру — множеству максимальных элементов из Y по заданному отношению Ry. В данном случае модель ПР имеет вид <Y, Ry>. В частности, отношение Ry может быть задано, хотя это не единственный способ, как и раньше, с помощью однокритериальной или многокритериальной системы оценок исходов,

т.е. на критериальном языке описания выбора.

3.1.Основные понятия

вслучае, когда множества альтернатив X и исходов Y конечны, ситуа­ цию выбора альтернативы в условиях неопределенности можно предста­ вить с помощью матрицы, называемой матрицей решений (табл. 3.1).

Таблица 3.1. Матрица решений

неопределенность обстановки и также предполагается конечным. По су­ ществу, имеется функция двух аргументов:;; = F{x, z),F: XxZ-^ У.

Заданная матрица интерпретируется следующим образом. Если мы вы­ брали решение Хр то могут реализоваться различные исходы из соответ­ ствующей строки матрицы: j^^,, ..., ур„. Какой именно исход реализуется, зависит от значения параметра неопределенности z, который может иметь различный содержательный смысл.