Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Черноруцкий. Методы принятия решений

.pdf
Скачиваний:
918
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
14.93 Mб
Скачать

42

I

Часть I. Методы принятия решений

терпя и его анализу с позиций оптимальности по Парето. Здесь же отме­ тим, что применение этого метода на интуитивном уровне обычно на­ талкивается на трудности, связанные с возможным наличием нескольких "главных" критериев, находящихся в противоречии друг с другом. Кроме того, не всегда ясен алгоритм выбора нижних границ /,. Их необоснован­ ное задание может привести, в частности, к пустому множеству D',

Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод "скаляризации" (свертки) задачи (2.1), позволяющий заменить векторный критерий оптимальности/= (/j, ...,/„) на скалярный J: D-^ R. Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов/], ...,/„ в один:

т

 

т

;t^l

'^^'

Т^\

Весовые коэффициенты а, могут при этом рассматриваться как показате­ ли относительной значимости отдельных критериальных функционалов / . Чем большее значение мы придаем критерию/, тем больший вклад в сумму (2.3) он должен давать и, следовательно, тем большее значение о, должно быть выбрано. При наличии существенно разнохарактерных ча­ стных критериев обычно бывает достаточно сложно указать оконча­ тельный набор коэффициентов а,, исходя из неформальных соображе­ ний, связанных, как правило, с результатами экспертного анализа. Позже мы покажем, что, вообще говоря, априори неясно, в каком отно­ шении должны находиться весовые коэффициенты а, и а,, если известно желательное соотношение между/ и / в оптимальной точке (например, мы можем требовать, чтобы/ = О, 1/).

Метод максиминной свертки. Обычно применяется в форме

J{x) = min / {х) —> max.

Здесь, в отличие от метода линейной свертки, на целевой функционал J(x) оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке х соответствует наименьшее значение соответ­ ствующей функции/(х). И если в случае (2.3), вообще говоря, возможны "плохие" значения некоторых / за счет достаточно "хороших" значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет "на наихудший случай", и мы по значению J{x) мо­ жем определить гарантированную нижнюю оценку для всех функциона­ лов/(х). Этот факт расценивается как преимущество максиминного кри­ терия перед методом линейной свертки.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 43

При необходимости нормировки отдельных частных целевых функцио­ налов, т. е. приведения во взаимное соответствие масштабов измерения значений отдельных/(х), используется "взвешенная" форма максиминного критерия:

J(x) = min a.f.(х) —> max ,

(2.4)

где весовые коэффициенты а, удовлетворяют требованиям (2.3).

Подбирая различные значения а,, можно определенным образом воздей­ ствовать на процесс оптимизации, используя имеющуюся априорную информацию. Приведем характерный пример.

Пример 2.1 (решение системы неравенств). Весьма часто в задачах опти­ мального выбора параметров реальных систем (в так называемых зада­ чах оптимального проектирования) технические, экономические и другие требования к проектируемой системе выражаются в виде "условий рабо­ тоспособности", имеющих форму неравенств вида

yi(x)<ti, i= l,...,m.

(2.5)

Здесь функции y^ix) интерпретируются как частные показатели качества функционирования системы; х = (xi, ..., х,) — вектор параметров, подле­ жащих выбору; // — допустимые верхние границы для заданных показа­ телей качества (так называемые контрольные показатели). К форме (2.5) очевидным образом приводятся и обратные неравенства z,Xx) > s,,. Для этого достаточно положить у/, = -г,,, t,, = -s,,.

Для решения системы неравенств (2.5) методами теории оптимизации поступают следующим образом. Вводят так называемые запасы fj, отра­ жающие степень выполнения каждого из неравенств (2.5). Простейшая форма запаса имеет вид

Ях)^1,-Уг(х). (2.6)

Имеем, следовательно, многокритериальную задачу максимизации всех запасов:

/(х)—>тах, /= 1, ...,т.

XED

Максиминная свертка (максимизируется минимальный из запасов) при­ водит к следующей однокритериальной задаче:

J{x) = min(//-;^/(x)) -^ max, х е D.

44 Часть I. Методы принятия решений

При наличии весовых коэффициентов имеем задачу

 

J(x) = min а^ (/. - у. (х)) -^ niax.

(2.7)

xeD

 

Весовые коэффициенты а, в функционале (2.7) выполняют функцию нор­ мирования частных критериев по значению. Это можно реализовать, на­ пример, следующим образом. Для каждого из ограничений (2.5) задают­ ся характерные значения 5^ > О, определяющие эквивалентные (с точки зрения лица, принимающего решения) приращения критериев / . Иначе говоря, утверждается, что увеличение критерия/ на 6, так же "хорошо", как и увеличением^ на 5у. В результате вместо задачи (2.7) будем иметь

J(x) = min

->max.

(2.8)

5.

xeD

 

Таким образом, каждая разность /,->'/ "измеряется" в специальных еди­ ницах, определяемых 5, > 0. В качестве 6, для нормировки иногда исполь­ зуются значения /(х^) в заданной начальной точке х^, какие-либо иные "характерные" значения/(х) или сами значения //, если они не равны ну­ лю. (Подобные соображения могут быть использованы и при выборе ве­ совых коэффициентов в методе линейной свертки.)

Достаточно типичным для задач параметрической оптимизации, сфор­ мулированных в форме (2.5), можно считать случай, когда по условию задачи нежелательно делать некоторые из показателей, например у\{х), намного меньше, чем /,. Требуется выполнение соответствующего нера­ венства (2.5), но с небольшим запасом. (Например, в транзисторных уст­ ройствах для правильного функционирования схемы может требоваться выполнение заданной степени насыщения транзистора, но значительное ее превышение нежелательно из-за увеличения времени переключения). В таких случаях можно воспользоваться регулирующими свойствами ве­ совых коэффициентов. Именно, вместо задачи (2.8) решаем задачу

J{x) = min а.^h-уМ^ —> max,

(2.9)

XGD

J

причем выбираем а^ много большим, чем а^, / = 2, ..., т. Выбор доста­ точно большого весового коэффициента а, приводит к тому, что, с од­

ной стороны, при нарушении первого неравенства

 

ydx)<t,

(2.10)

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 45

мы имеем существенное ухудшение целевого функционала (2.9), т. к. раз­ ность ti -у\(х) < о, будучи умноженной на а\, дает большое по абсолют­ ной величине отрицательное число, определяющее значение

J(x) = a.

§.

 

С другой стороны, уже при незначительных положительных значениях запаса/i = t^ -У](х) он будет сравним с запасами работоспособности по

остальным показателям качества. Следовательно, увеличение а^ вносит

некоторый стабилизирующий фактор. В результате соответствующее ус­ ловие работоспособности с высокой вероятностью будет выполнено, с наличием в то же время небольшого положительного запаса в оптималь­ ной точке.

2.2. Максиминные стратегии

Вернемся к введенным в разд. 1.3 понятиям эффективного и слабо эффек­ тивного решения многокритериальной задачи

/;(х)-^тах, / = 1,..., т; DQR".

Напомним, что в словесной формулировке эффективность решения х^ е D означает, что оно не может быть улучшено по какому-либо показателю/ без ухудшения ситуации по оставшимся показателям. Следовательно, если х^ — эффективно (Парето-оптимально), то не существует других решений х' G D, для которых справедливо:

/ ( У ) > / ( А / = 1 , . . . , т ,

(2.11)

где хотя бы одно из неравенств (2.11) — строгое. И аналогично под сла­ бо эффективным решением мы понимаем решение, которое не может быть улучшено одновременно по всем показателям. На рис. 2.1 слабо эффективным решениям соответствуют "северная, северо-восточная и восточная части границы" множества достижимости/(D) (f(D) — это об­ раз множества D для векторного отображения/= (/1, ...,/„)).

Иначе говоря, в данном примере множество слабо эффективных оценок S(f) совпадает с множеством [а, Ь] и [Ь, с] и [с, d\. Множество P(J) эффек­ тивных оценок равно [Ь, с] и совпадает с "северо-восточной границей" множества/(1)).

46

Часть I. Методы принятия решений

f2 4

Щ

Рис. 2.1. Множество достижимости многокритериальной задачи

Основная задача данного и следующего разделов заключается в выясне­ нии тех вычислительных средств, которые можно было бы использовать для построения аппроксимации множеств эффективных и слабо эффек­ тивных решений и оценок.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть заданы произвольные числа ау > О, / = 1, ..., т . Тогда решение задачи

min а^ ( / - /^) ~> max

(2.12)

при любых фиксированных /, есть слабо эффективный вектор. Наоборот, любой слабо эффективный вектор х^ может быть получен как решение задачи (2.12) при некоторых а, > О и ti <fi{x^), / = 1,..., ni.

Доказательство. Прямое утверждение теоремы докажем от противного. Пусть х^ есть решение задачи (2.12) и существует вектор X'G D, для кото­ рого

Ях)>Дх\ /=1,...,т,

что эквивалентно предположению о том, что вектор х^ не является слабо эффективным. Тогда для любых наборов {ау>0}, {/,} будем иметь (докажите это!)

OLiifiix) - /,) > а,(/;(х') - //), / = 1,..., т

и, следовательно,

mina,(/;.(/)~r,)>mina,(/;.(x^)-r,),

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 47

а это противоречит предположению о том, что х^ есть решение задачи (2.12). Прямое утверждение теоремы доказано.

Докажем обратное утверждение. Пусть х^— слабо эффективный вектор:

x^G S{D). Это означает, что не существует другого вектора х\ для кото­ рого

V/:y;(xO>y;(x')

(2.13)

(V/ —для всех номеров/= 1,..., m).

По условию теоремы заданы такие {/,}, что V/:/(x^)-/. >0. Введем числа

а ; = — I — > о

и покажем, что

max mina;(/(x)-/,) = min < ( / ( / ) - / , ) = !,

(2.14)

XG.D i

i

 

Т. е. что при выбранных коэффициентах а", максимум реализуется на век­ торе jc^. Этим самым теорема будет доказана.

Из (2.13) следует, что для любого вектора х\ отличного от х^, будет су­ ществовать такой номер / = /о, для которого

у;дх')</,:(х'')

(2.15)

(это прямое следствие слабой эффективности векторах^). Из (2.15) полу­ чаем:

(напоминаем, что неравенства можно умножать на положительные числа tt; ). Но тогда и

miTia;(/;.(/)-r,)<l.

Таким образом, доказано, что для любого х\ отличного от х^,

i

i

а значит, и максимум по х левой части последнего неравенства также не будет превышать единицы. Соотношение (2.14), а вместе с ним и теорема, доказаны.

48

Часть I. Методы принятия решений

Замечание 2,1

Если слабо эффективное решение х^ получено как решение задачи (2.12) при каком-то наборе коэффициентов ai, ..., а,„: а, > О, то, очевидно, это же решение будет достигаться при любом наборе /:а,, ..., /:а„„ где к — произ­ вольное положительное число. Поэтому можно считать, что всегда вы­ полнено условие нормировки:

£ а , = 1 .

(2.16)

/= 1

Впротивном случае вместо коэффициентов а, мы будем рассматривать другие коэффициенты:

а. а, = —'—.

В силу приведенного замечания будем далее предполагать, что условие (2.16) всегда выполнено.

Из доказанной теоремы следуют важные выводы. Будем для простоты считать, что все функционалы/i, ...,/„ исходно положительны, т. е. при­ нимают во всех точках допустимого множества D строго положительные значения: VXG D: /j(х) > О, / = 1, ..., w. Тогда для любого х^ G S{D) будет

выполнено условие/> // при ?^ = 0. Поэтому далее вместо задачи (2.12) будем рассматривать задачу

F(x, а) = min а . / (х) -^ max;

/

XED

(2.17)

а = (а,, ..., а^), х = (Хр ..., x j .

Обозначим множество решений задачи (2.17) при фиксированном наборе коэффициентов а через

Х{а) - Arg max F(x, а).

Согласно доказанной теореме, множество

иX(si\

^= Ja = (ap...,a^) а,>0, £а,=1

/=1

совпадает с множеством слабо эффективных решений: f/X(a) = 5'(Z)).

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 49

Дадим геометрическую иллюстрацию доказанному утверждению для случая двух целевых функционалов/,,/2. Имеем

F(x, а) = min{a/b а/2}.

Если рассматривать указанную зависимость в пространстве критериев, то получим функцию

ФС/'ьЛ) = minja/,, а / } .

Построим линии уровня (линии постоянного значения) функции Ф на плоскости (/'ь/2). Для этого рассмотрим прямую L, заданную уравнением

a / i = а/2

ос при некотором фиксированном наборе {а,, а2}. График прямой /^ =—^/,

показан на рис. 2.2.

а'

 

 

 

 

\^'

 

 

у

у

\

 

 

b

V

1

а

 

 

 

И"

 

а"

Г

1\

 

 

1

 

1

К

Рис. 2.2. Линии уровня функции минимума

В любой точке этой прямой, например, в точке а = {f^^ ,/2), будем иметь a/i" = а/2". При смещении из точки а вправо параллельно оси/ получим a/i > а/2". Аналогичная ситуация наблюдается и при перемещении вверх из точки а параллельно оси ординат: будем иметь а2/2 >a^f". Поэтому, согласно определению функции Ф, ее линия уровня, соответствующая

значению Ф = a^f^"" = a2f2 ? будет совпадать с "уголком" (а'а а') с верши-

50

Часть I. Методы принятия решений

ной в точке а, показанным на рис. 2.2 (естественно, данную линию уров­ ня целесообразно рассматривать только в пределах множества достижи­ мости/(Z))). Следовательно, во всех точках отрезков [а\ а] и [а, а'] функ­ ция Ф будет иметь одно и то же значение, совпадающее с ее значением в вершине "уголка", равным по построению а,/,'' =a2f2 -

Легко видеть, что любой "уголок" подобного типа с вершиной, располо­ женной на прямой L, также будет линией уровня, соответствующей сво­ ему значению функции Ф. Причем при удалении вдоль прямой L от на­ чала координат на "северо-восток" мы будем получать линии уровня, отвечающие большим значениям Ф. Например, на рис. 2.2 показана ли­ ния уровня (b'bb'), где Ф(Ь) > Ф(а).

Таким образом, для каждого фиксированного набора весовых коэффи­ циентов {aj, аг} мы получаем целое семейство "уголковых" линий уровня функции Ф.

Ясно, что решению основной задачи (2.17) будет соответствовать наибо­ лее удаленное от начала координат положение "уголка" (в пределах множества достижимости f(D)), которому соответствует максимальное возможное значение функции Ф, а значит, и F. На рис. 2.3 показано множество слабо эффективных оценок (отрезок [с, d\), полученных в результате решения задачи (2.17). На этом же рисунке показано решение [с', d], полученное при другом наборе весовых коэффициентов, соответ­ ствующих прямой L\

к

/

///

/L'

с' /

^'

 

у

/

/ у

 

 

г

^^

\

L

 

 

//

 

1 ^

——

/

/

1/

 

б\

 

 

'^'^'^л

 

 

 

 

W

. ^ - - J

 

 

 

 

-—--^-^^-

 

 

^

Рис. 2.3. Решения для разных наборов весов

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 51

Продолжая такие построения, легко убедиться, что, перебирая всевоз­ можные ае А, можно получить "северную", "северо-восточную" и "вос­ точную" части границы множества достижимости/(£)):

S(/) = [a,d]u[d\c]u[c,b],

Это и отвечает основному содержанию сформулированной теоремы.

Здесь важно отметить, что задачи оптимизации типа (2.17) могут иметь не единственное решение. Так, для значения а, отвечающего прямой L, мы в качестве решения получим целое множество [с, d] слабо эффектив­ ных оценок и соответствующих им слабо эффективных решений исход­ ной многокритериальной задачи. Каждое из этих решений, вообще гово­ ря, должно быть найдено.

Построенные на основе максиминной свертки вычислительные процеду­ ры обычно подразумевают задание некоторой сетки в пространстве ве­ совых коэффициентов А. Далее для полученного конечного множества наборов весовых коэффициентов

а^=(ар...,а)„);

а-=(аГ,...,а:)

решается множество соответствующих однокритериальных задач (2.17) или (2.12). В результате приходим к построению требуемой аппроксима­ ции множеств S(D) и S(f). Пользователь соответствующей программной системы обычно имеет возможность влиять на указанный процесс, управляя в той или иной мере выбором весовых коэффициентов. По­ следнее позволяет, в частности, получать более точные аппроксимации отдельных участков границ, представляющих наибольший интерес.

2.3. Метод линейной свертки и главного критерия.

Лексикографическая оптимизация

Метод линейной свертки мы уже рассматривали на эвристическом уров­ не (так же, как и метод максиминной свертки). Здесь мы дадим более точные утверждения, касающиеся свойств получаемых решений.