Черноруцкий. Методы принятия решений
.pdf42 |
I |
Часть I. Методы принятия решений |
терпя и его анализу с позиций оптимальности по Парето. Здесь же отме тим, что применение этого метода на интуитивном уровне обычно на талкивается на трудности, связанные с возможным наличием нескольких "главных" критериев, находящихся в противоречии друг с другом. Кроме того, не всегда ясен алгоритм выбора нижних границ /,. Их необоснован ное задание может привести, в частности, к пустому множеству D',
Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод "скаляризации" (свертки) задачи (2.1), позволяющий заменить векторный критерий оптимальности/= (/j, ...,/„) на скалярный J: D-^ R. Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов/], ...,/„ в один:
т |
|
т |
;t^l |
'^^' |
Т^\ |
Весовые коэффициенты а, могут при этом рассматриваться как показате ли относительной значимости отдельных критериальных функционалов / . Чем большее значение мы придаем критерию/, тем больший вклад в сумму (2.3) он должен давать и, следовательно, тем большее значение о, должно быть выбрано. При наличии существенно разнохарактерных ча стных критериев обычно бывает достаточно сложно указать оконча тельный набор коэффициентов а,, исходя из неформальных соображе ний, связанных, как правило, с результатами экспертного анализа. Позже мы покажем, что, вообще говоря, априори неясно, в каком отно шении должны находиться весовые коэффициенты а, и а,, если известно желательное соотношение между/ и / в оптимальной точке (например, мы можем требовать, чтобы/ = О, 1/).
Метод максиминной свертки. Обычно применяется в форме
J{x) = min / {х) —> max.
Здесь, в отличие от метода линейной свертки, на целевой функционал J(x) оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке х соответствует наименьшее значение соответ ствующей функции/(х). И если в случае (2.3), вообще говоря, возможны "плохие" значения некоторых / за счет достаточно "хороших" значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет "на наихудший случай", и мы по значению J{x) мо жем определить гарантированную нижнюю оценку для всех функциона лов/(х). Этот факт расценивается как преимущество максиминного кри терия перед методом линейной свертки.
Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 43
При необходимости нормировки отдельных частных целевых функцио налов, т. е. приведения во взаимное соответствие масштабов измерения значений отдельных/(х), используется "взвешенная" форма максиминного критерия:
J(x) = min a.f.(х) —> max , |
(2.4) |
где весовые коэффициенты а, удовлетворяют требованиям (2.3).
Подбирая различные значения а,, можно определенным образом воздей ствовать на процесс оптимизации, используя имеющуюся априорную информацию. Приведем характерный пример.
Пример 2.1 (решение системы неравенств). Весьма часто в задачах опти мального выбора параметров реальных систем (в так называемых зада чах оптимального проектирования) технические, экономические и другие требования к проектируемой системе выражаются в виде "условий рабо тоспособности", имеющих форму неравенств вида
yi(x)<ti, i= l,...,m. |
(2.5) |
Здесь функции y^ix) интерпретируются как частные показатели качества функционирования системы; х = (xi, ..., х,) — вектор параметров, подле жащих выбору; // — допустимые верхние границы для заданных показа телей качества (так называемые контрольные показатели). К форме (2.5) очевидным образом приводятся и обратные неравенства z,Xx) > s,,. Для этого достаточно положить у/, = -г,,, t,, = -s,,.
Для решения системы неравенств (2.5) методами теории оптимизации поступают следующим образом. Вводят так называемые запасы fj, отра жающие степень выполнения каждого из неравенств (2.5). Простейшая форма запаса имеет вид
Ях)^1,-Уг(х). (2.6)
Имеем, следовательно, многокритериальную задачу максимизации всех запасов:
/(х)—>тах, /= 1, ...,т.
XED
Максиминная свертка (максимизируется минимальный из запасов) при водит к следующей однокритериальной задаче:
J{x) = min(//-;^/(x)) -^ max, х е D.
44 Часть I. Методы принятия решений
При наличии весовых коэффициентов имеем задачу |
|
J(x) = min а^ (/. - у. (х)) -^ niax. |
(2.7) |
xeD |
|
Весовые коэффициенты а, в функционале (2.7) выполняют функцию нор мирования частных критериев по значению. Это можно реализовать, на пример, следующим образом. Для каждого из ограничений (2.5) задают ся характерные значения 5^ > О, определяющие эквивалентные (с точки зрения лица, принимающего решения) приращения критериев / . Иначе говоря, утверждается, что увеличение критерия/ на 6, так же "хорошо", как и увеличением^ на 5у. В результате вместо задачи (2.7) будем иметь
J(x) = min |
->max. |
(2.8) |
5. |
xeD |
|
Таким образом, каждая разность /,->'/ "измеряется" в специальных еди ницах, определяемых 5, > 0. В качестве 6, для нормировки иногда исполь зуются значения /(х^) в заданной начальной точке х^, какие-либо иные "характерные" значения/(х) или сами значения //, если они не равны ну лю. (Подобные соображения могут быть использованы и при выборе ве совых коэффициентов в методе линейной свертки.)
Достаточно типичным для задач параметрической оптимизации, сфор мулированных в форме (2.5), можно считать случай, когда по условию задачи нежелательно делать некоторые из показателей, например у\{х), намного меньше, чем /,. Требуется выполнение соответствующего нера венства (2.5), но с небольшим запасом. (Например, в транзисторных уст ройствах для правильного функционирования схемы может требоваться выполнение заданной степени насыщения транзистора, но значительное ее превышение нежелательно из-за увеличения времени переключения). В таких случаях можно воспользоваться регулирующими свойствами ве совых коэффициентов. Именно, вместо задачи (2.8) решаем задачу
J{x) = min а.^h-уМ^ —> max, |
(2.9) |
XGD
J
причем выбираем а^ много большим, чем а^, / = 2, ..., т. Выбор доста точно большого весового коэффициента а, приводит к тому, что, с од
ной стороны, при нарушении первого неравенства |
|
ydx)<t, |
(2.10) |
Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 45
мы имеем существенное ухудшение целевого функционала (2.9), т. к. раз ность ti -у\(х) < о, будучи умноженной на а\, дает большое по абсолют ной величине отрицательное число, определяющее значение
J(x) = a. |
§. |
|
С другой стороны, уже при незначительных положительных значениях запаса/i = t^ -У](х) он будет сравним с запасами работоспособности по
остальным показателям качества. Следовательно, увеличение а^ вносит
некоторый стабилизирующий фактор. В результате соответствующее ус ловие работоспособности с высокой вероятностью будет выполнено, с наличием в то же время небольшого положительного запаса в оптималь ной точке.
2.2. Максиминные стратегии
Вернемся к введенным в разд. 1.3 понятиям эффективного и слабо эффек тивного решения многокритериальной задачи
/;(х)-^тах, / = 1,..., т; DQR".
Напомним, что в словесной формулировке эффективность решения х^ е D означает, что оно не может быть улучшено по какому-либо показателю/ без ухудшения ситуации по оставшимся показателям. Следовательно, если х^ — эффективно (Парето-оптимально), то не существует других решений х' G D, для которых справедливо:
/ ( У ) > / ( А / = 1 , . . . , т , |
(2.11) |
где хотя бы одно из неравенств (2.11) — строгое. И аналогично под сла бо эффективным решением мы понимаем решение, которое не может быть улучшено одновременно по всем показателям. На рис. 2.1 слабо эффективным решениям соответствуют "северная, северо-восточная и восточная части границы" множества достижимости/(D) (f(D) — это об раз множества D для векторного отображения/= (/1, ...,/„)).
Иначе говоря, в данном примере множество слабо эффективных оценок S(f) совпадает с множеством [а, Ь] и [Ь, с] и [с, d\. Множество P(J) эффек тивных оценок равно [Ь, с] и совпадает с "северо-восточной границей" множества/(1)).
46 |
Часть I. Методы принятия решений |
f2 4
Щ
Рис. 2.1. Множество достижимости многокритериальной задачи
Основная задача данного и следующего разделов заключается в выясне нии тех вычислительных средств, которые можно было бы использовать для построения аппроксимации множеств эффективных и слабо эффек тивных решений и оценок.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть заданы произвольные числа ау > О, / = 1, ..., т . Тогда решение задачи
min а^ ( / - /^) ~> max |
(2.12) |
при любых фиксированных /, есть слабо эффективный вектор. Наоборот, любой слабо эффективный вектор х^ может быть получен как решение задачи (2.12) при некоторых а, > О и ti <fi{x^), / = 1,..., ni.
Доказательство. Прямое утверждение теоремы докажем от противного. Пусть х^ есть решение задачи (2.12) и существует вектор X'G D, для кото рого
Ях)>Дх\ /=1,...,т,
что эквивалентно предположению о том, что вектор х^ не является слабо эффективным. Тогда для любых наборов {ау>0}, {/,} будем иметь (докажите это!)
OLiifiix) - /,) > а,(/;(х') - //), / = 1,..., т
и, следовательно,
mina,(/;.(/)~r,)>mina,(/;.(x^)-r,),
Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 47
а это противоречит предположению о том, что х^ есть решение задачи (2.12). Прямое утверждение теоремы доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть х^— слабо эффективный вектор:
x^G S{D). Это означает, что не существует другого вектора х\ для кото рого
V/:y;(xO>y;(x') |
(2.13) |
(V/ —для всех номеров/= 1,..., m).
По условию теоремы заданы такие {/,}, что V/:/(x^)-/. >0. Введем числа
а ; = — I — > о
и покажем, что
max mina;(/(x)-/,) = min < ( / ( / ) - / , ) = !, |
(2.14) |
|
XG.D i |
i |
|
Т. е. что при выбранных коэффициентах а", максимум реализуется на век торе jc^. Этим самым теорема будет доказана.
Из (2.13) следует, что для любого вектора х\ отличного от х^, будет су ществовать такой номер / = /о, для которого
у;дх')</,:(х'') |
(2.15) |
(это прямое следствие слабой эффективности векторах^). Из (2.15) полу чаем:
(напоминаем, что неравенства можно умножать на положительные числа tt; ). Но тогда и
miTia;(/;.(/)-r,)<l.
Таким образом, доказано, что для любого х\ отличного от х^,
i |
i |
а значит, и максимум по х левой части последнего неравенства также не будет превышать единицы. Соотношение (2.14), а вместе с ним и теорема, доказаны.
48 |
Часть I. Методы принятия решений |
Замечание 2,1
Если слабо эффективное решение х^ получено как решение задачи (2.12) при каком-то наборе коэффициентов ai, ..., а,„: а, > О, то, очевидно, это же решение будет достигаться при любом наборе /:а,, ..., /:а„„ где к — произ вольное положительное число. Поэтому можно считать, что всегда вы полнено условие нормировки:
£ а , = 1 . |
(2.16) |
/= 1
Впротивном случае вместо коэффициентов а, мы будем рассматривать другие коэффициенты:
а. а, = —'—.
В силу приведенного замечания будем далее предполагать, что условие (2.16) всегда выполнено.
Из доказанной теоремы следуют важные выводы. Будем для простоты считать, что все функционалы/i, ...,/„ исходно положительны, т. е. при нимают во всех точках допустимого множества D строго положительные значения: VXG D: /j(х) > О, / = 1, ..., w. Тогда для любого х^ G S{D) будет
выполнено условие/> // при ?^ = 0. Поэтому далее вместо задачи (2.12) будем рассматривать задачу
F(x, а) = min а . / (х) -^ max;
/ |
XED |
(2.17) |
а = (а,, ..., а^), х = (Хр ..., x j .
Обозначим множество решений задачи (2.17) при фиксированном наборе коэффициентов а через
Х{а) - Arg max F(x, а).
Согласно доказанной теореме, множество
иX(si\
^= Ja = (ap...,a^) а,>0, £а,=1
/=1
совпадает с множеством слабо эффективных решений: f/X(a) = 5'(Z)).
Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 49
Дадим геометрическую иллюстрацию доказанному утверждению для случая двух целевых функционалов/,,/2. Имеем
F(x, а) = min{a/b а/2}.
Если рассматривать указанную зависимость в пространстве критериев, то получим функцию
ФС/'ьЛ) = minja/,, а / } .
Построим линии уровня (линии постоянного значения) функции Ф на плоскости (/'ь/2). Для этого рассмотрим прямую L, заданную уравнением
a / i = а/2
ос при некотором фиксированном наборе {а,, а2}. График прямой /^ =—^/,
показан на рис. 2.2.
а'
|
|
|
|
\^' |
|
|
у |
у |
\ |
|
|
b |
V |
|
1 |
а |
|
||
|
|
|||
И" |
|
а" |
||
Г |
1\ |
|
|
|
1 |
|
1 |
К
Рис. 2.2. Линии уровня функции минимума
В любой точке этой прямой, например, в точке а = {f^^ ,/2), будем иметь a/i" = а/2". При смещении из точки а вправо параллельно оси/ получим a/i > а/2". Аналогичная ситуация наблюдается и при перемещении вверх из точки а параллельно оси ординат: будем иметь а2/2 >a^f". Поэтому, согласно определению функции Ф, ее линия уровня, соответствующая
значению Ф = a^f^"" = a2f2 ? будет совпадать с "уголком" (а'а а') с верши-
50 |
Часть I. Методы принятия решений |
ной в точке а, показанным на рис. 2.2 (естественно, данную линию уров ня целесообразно рассматривать только в пределах множества достижи мости/(Z))). Следовательно, во всех точках отрезков [а\ а] и [а, а'] функ ция Ф будет иметь одно и то же значение, совпадающее с ее значением в вершине "уголка", равным по построению а,/,'' =a2f2 -
Легко видеть, что любой "уголок" подобного типа с вершиной, располо женной на прямой L, также будет линией уровня, соответствующей сво ему значению функции Ф. Причем при удалении вдоль прямой L от на чала координат на "северо-восток" мы будем получать линии уровня, отвечающие большим значениям Ф. Например, на рис. 2.2 показана ли ния уровня (b'bb'), где Ф(Ь) > Ф(а).
Таким образом, для каждого фиксированного набора весовых коэффи циентов {aj, аг} мы получаем целое семейство "уголковых" линий уровня функции Ф.
Ясно, что решению основной задачи (2.17) будет соответствовать наибо лее удаленное от начала координат положение "уголка" (в пределах множества достижимости f(D)), которому соответствует максимальное возможное значение функции Ф, а значит, и F. На рис. 2.3 показано множество слабо эффективных оценок (отрезок [с, d\), полученных в результате решения задачи (2.17). На этом же рисунке показано решение [с', d], полученное при другом наборе весовых коэффициентов, соответ ствующих прямой L\
к |
/ |
/// |
/L' |
с' / |
^' |
|
у |
/ |
/ у |
|
|
г |
^^ |
\ |
L |
|
|
// |
|
1 ^ |
—— |
/ |
/ |
1/ |
|
б\ |
|
|
—'^'^'^л |
|
|||
|
|
|
W |
||
. ^ - - J |
|
|
|||
|
|
-—--^-^^- |
|
|
^ |
Рис. 2.3. Решения для разных наборов весов
Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 51
Продолжая такие построения, легко убедиться, что, перебирая всевоз можные ае А, можно получить "северную", "северо-восточную" и "вос точную" части границы множества достижимости/(£)):
S(/) = [a,d]u[d\c]u[c,b],
Это и отвечает основному содержанию сформулированной теоремы.
Здесь важно отметить, что задачи оптимизации типа (2.17) могут иметь не единственное решение. Так, для значения а, отвечающего прямой L, мы в качестве решения получим целое множество [с, d] слабо эффектив ных оценок и соответствующих им слабо эффективных решений исход ной многокритериальной задачи. Каждое из этих решений, вообще гово ря, должно быть найдено.
Построенные на основе максиминной свертки вычислительные процеду ры обычно подразумевают задание некоторой сетки в пространстве ве совых коэффициентов А. Далее для полученного конечного множества наборов весовых коэффициентов
а^=(ар...,а)„);
а-=(аГ,...,а:)
решается множество соответствующих однокритериальных задач (2.17) или (2.12). В результате приходим к построению требуемой аппроксима ции множеств S(D) и S(f). Пользователь соответствующей программной системы обычно имеет возможность влиять на указанный процесс, управляя в той или иной мере выбором весовых коэффициентов. По следнее позволяет, в частности, получать более точные аппроксимации отдельных участков границ, представляющих наибольший интерес.
2.3. Метод линейной свертки и главного критерия.
Лексикографическая оптимизация
Метод линейной свертки мы уже рассматривали на эвристическом уров не (так же, как и метод максиминной свертки). Здесь мы дадим более точные утверждения, касающиеся свойств получаемых решений.