Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Черноруцкий. Методы принятия решений

.pdf
Скачиваний:
750
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
14.93 Mб
Скачать

32

Часть I. Методы принятия решений

Здесь/ = (/i,/2, . . , / J . Отношение доминирования R^ называется отноше­ нием Парето, а Rs отношением Слейтера. Употребляется также запись

{y.,y.)eR.^y.^y.,

t = P,S,

Определение 1.5

Если для некоторой точки у^ е F не существует более предпочтительной по Парето точки, т. е. такой точки ;;, что (у, у^) е R^,, то тогда точка у^ на­

зывается эффективным или Парето-оптимальным решением многокритери­ альной задачиf!,()') —> max, /: = 1, 2,..., m; j^ е Y.

Множество, включающее в себя все эффективные элементы множества У, обозначается Р/(¥) или просто Р(У) (если ясно, о каком векторном кри­ терии/идет речь) и называется множ:еством Парето для векторного от­ ношения

Очевидно, P(Y) с Y. Образ множества P(Y)B пространстве критериев R'"

обозначается P(f). Множество P(f) =f(P(Y)) называется мноэн:еством эффективных оценок. Множество эффективных оценок называется также

мнолсеством Парето в пространстве критериев.

Смысл введенного понятия эффективного решения состоит в том, что оптимальный исход следует искать только среди элементов множества недоминируемых элементов P{Y) (принцип Парето). В противном случае всегда найдется точка y^Y, оказывающаяся более предпочтительной с учетом всех частных целевых функций/(у).

Ясно, что бинарное отношение 7?^ является антирефлексивным, т. к. Vj; Е Y'. (у, у) Rp. Кроме того, легко установить, что

(0„ у) е Rp) А (О,, >Vc) е Rp) -^ (Уь л ) е J^p-

Таким образом, отношение R^ транзитивно. Отсюда следует, что R^ — частичный строгий порядок на Y.

Обычно цель решения многокритериальной задачи /Дз;) - >тах

СОСТОИТ в выделении множества Парето P{Y). При отсутствии дополни­ тельной информации о системе предпочтений пользователя большего сделать нельзя.

Обратимся теперь к отношению Rs.

Глава 1. Задача принятия решений

33

Определение 1.6

Точка у' е Y называется слабо эффективным решением многокритериаль­ ной задачи, или решением, оптимальным по Слейтеру, если не сущест­

вует более предпочтительной по Слейтеру точки, т. е. такой точки у, что

(y.y)eRs.

Иначе говоря, исход "j^" называется слабо эффективным, если он не мо­ жет быть улучшен сразу по всем т критериям, задаваемым с помощью частных целевых функций/(у), / = 1, 2, ..., т. Множество слабо эффек­ тивных элементов обозначается через SfiY) или просто S(Y). Очевидно, S(Y) QY, P(Y) Q S(Y). Аналогично предыдущему случаю вводим обозна­ чение 5(/) =/(5( У)).

Введение понятия слабо эффективного решения вызвано, в частности, тем, что в результате многокритериальной оптимизации часто получа­ ются именно эти решения, представляющие, вообще говоря, меньший интерес, чем эффективные решения.

Точно так же, как и в однокритериальных задачах выбора, цель решения многокритериальной задачи может быть сформулирована как задача по­ строения ядра отношения доминирования R^ (отношения Парето). Легко доказать непосредственно, что в этом случае

Р(Г) = Мах,,7

с выполнением свойства внешней устойчивости множества Парето.

Таким образом, мы видим, что задание целевых функций для оценки ка­ чества исходов, как в однокритериальном, так и многокритериальном случае, может порождать различные системы предпочтений, выраженные на языке бинарных отношений. При этом задача построения ядра оказы­ вается эквивалентной либо задаче построения множества максимизаторов скалярной целевой функции, либо задаче построения множества Па­ рето для векторной целевой функции.

Пример 1.1. Пусть задана векторная целевая функция/^ (/'ь/г) на множе­ стве У = {у\, ..., ys}, причем частные целевые функции/ требуется макси­ мизировать. Образы точек yi в пространстве критериев (fx.fi) обозначим соответствующими числами (рис. 1.8).

Используя определение доминирования по Парето, можно для этой за­ дачи построить само отношение R^ и его граф (рис. 1.9).

Используя определение ядра, с помощью непосредственного рассмотре­ ния графа получаем:

Мах F = {>;2'-V3}-

34

Часть I. Методы принятия решений

I

1

 

I

 

 

 

j

 

 

 

 

I

\

I

5

4

II

^

Рис. 1.8. Двухкритериальная задача

^ку2^У,)ЛУ,.У^)ЛУ2>Уе)\

[(У4.У5).(Уз./5)'(Уз'П)]

У4 0 "

;о^^

 

Рис. 1.9. Отношение Парето и его граф

На рис, 1.9 ядро выделено штриховкой. Можно заметить, что наилучшие элементы (см. определение 1.1) в данном случае отсутствуют, а понятие максимального элемента позволяет в полной мере формализовать мно­ гокритериальную задачу выбора как задачу построения множества не­ доминируемых по Парето элементов.

С помощью аналогичных рассмотрений устанавливаем, что отношение Слейтера Rs (так же, как и отношение R^) является строгим порядком и

Глава 1. Задача принятия решений

35

может быть представлено графически (рис. 1.10). Ядро выделено штри­ ховкой.

Рис. 1.10. Отношение Слейтера

Видно, что, во-первых, Rs с R^, а во-вторых,

р Ь "

Эти включения выполняются и в общем случае.

Замечание L1

Отношение Парето Rj, порождает соответствующее отношение несравни­ мости Л//!

(yi, yi) е RH<^ [(y\,yi) ^ Ri] А [(у2, >^i) € Rp].

Для последнего примера имеем, в частности, Rf^ = {(у4, yi), (yi, уз), (yi, у4),

CF4,J^I), ... }.

Важно отметить, что, например, (у4,у2) е R^^, (у2,уз) е R„, но (у4,;^з) € RH-

Таким образом, отношение несравнимости в многокритериальных зада­ чах, являясь симметричным ((yj, yj) Е Rf^-^ (ур yi) е R„), не является тран­ зитивным.

36

Часть I. Методы принятия решений

1.4. Функции выбора

Наряду с критериальными языками описания выбора и языком бинар­ ных отношений существует еще более общий подход. Он основан на по­ нятии функции выбора. Основная идея заключается не в оценке каждой альтернативы с помощью одного или нескольких числовых критериев и не в попарном сравнении альтернатив по предпочтительности, а в выде­ лении из некоторого множества альтернатив подмножества "лучших" вариантов.

Перейдем к более точным определениям.

Пусть X — множество (может быть и бесконечное) всех возможных аль­ тернатив. Тогда через 2^ обозначается множество всех подмножеств X. Среди всех подмножеств X выделяется класс XD допустимых предъявле­ ний [4]:

XD с l"".

Введем следующее определение.

Определение 1,7

Функцией выбора на классе допустимых предъявлений XD называется фун

C'.XD-^ l""

такая, что для любого множества Ле XD С(Л)сЛ.

Таким образом, функция выбора ставит в соответствие каждому множе­ ству альтернатив (из класса допустимых предъявлений) некоторое его подмножество. В результате происходит сужение предъявляемого мно­ жества альтернатив, что и моделирует процесс выбора нужных ("луч­ ших") вариантов.

С помощью понятия функции выбора можно описывать и ранее рас­ смотренные варианты выбора, сформулированные на критериальном языке или языке бинарных отношений. Однако основное достоинство нового языка состоит в возможности моделирования более сложных принципов выбора. Например, может ставиться задача выбора из задан­ ного множества альтернатив "среднего" или "типичного" варианта. Воз­ можность описания такого выбора, скажем, на языке бинарных отноше­ ний представляется весьма сомнительной, если вообще не лишенной смысла.

Глава 1. Задача принятия решений

37

Приведем пример функции выбора, осуществляющей выбор эффектив­ ных (Парето-оптимальных) точек в многокритериальной задаче

/Да)—>max, Ac:R\

Такая функция выбора может быть задана следующим образом:

С,,{А)ЦаЕА\\/уЕА, уФа\31, у,<а,].

Здесь точка а из А выбирается тогда и только тогда, когда любая другая точка из А будет "хуже" (в данном случае — меньше) хотя бы по одному из частных критериев/,.

Типичные ситуации выбора описываются функциями выбора, удовле­ творяющими некоторым специальным ограничениям, что позволяет строить и изучать различные классы функций выбора. Наиболее часто на функции выбора накладываются ограничения, сводящиеся к выполне­ нию свойств (аксиом), представленных далее.

П1 Наследование (Н-свойство). Это свойство подразумевает, что вари­ ант, выбираемый из некоторого множества, будет также выбран, ес­ ли предъявить для выбора любое подмножество, содержащее этот вариант:

yY'QYeYD-^ С(У) п У' с С{У'),

Смысл этой записи состоит в следующем. С(У) — это выбранные эле­ менты из У. Если какие-то из них будут предъявлены в составе под­ множества У\ т.е. пересечение С(У)пУ' не пусто, то они также должны войти в выбор С(7).

Легко видеть, что аксиома наследования автоматически не выполня­ ется для любого "разумного" выбора. Действительно, если снова вер­ нуться к примеру выбора альтернативы со "средними" характеристи­ ками, то среднее во множестве У может не совпадать со средним в более узком множестве У\ У' с У.

аОтбрасывание (О-свойство). Это свойство называется также условием независимости от отвергнутых альтернатив. Оно означает, что если удалить из предъявляемого множества какие-то (вообще говоря, не все) невыбранные альтернативы, то выбор на оставшемся множестве не изменится:

V r с F G КО, С(Г) с Г -^ С{Г) = С(У).

Иначе говоря, если подмножество У включает в себя все выбранные из 7 варианты: С(У) с У', то выбор на У совпадает с выбором на У.

38

Часть I. Методы принятия решений

D Согласованность (С-свойство). Данное требование означает, что если вариант выбирается в каждом из двух множеств (предъявлений), то он будет выбран и в объединении этих множеств:

v r , r G YD, Г U F ' G YD : C(Y')nC(Y") с С(Г иУ").

Упражнение 1.1. Докажите, что "паретовская" функция С^ обладает всеми тремя свойствами.

В теории функций выбора рассматриваются и другие аксиомы [1, 4, 26].

Поскольку язык функций выбора оперирует понятиями теории мно­ жеств, с помощью операций над множествами можно строить новые функции выбора из уже имеющихся. Так, например, если заданы функ­ ции выбора Ci, С2 то имеют смысл и функции выбора вида

С, uC2,CinC2 и т. д.

Упражнение 1.2. Докажите, что:

если Cj, С2 обладают Я-свойством, то это же свойство есть у функции

С, и С 2;

если Ci, С2 имеют С-свойство, то оно же имеется у функции С, пСз, а для функции С, UC2 это неверно.

Внастоящее время аппарат теории функций выбора имеет большое тео­ ретическое значение, позволяя моделировать различные практически значимые ситуации выбора и анализировать с общих позиций, напри­ мер, процедуры многокритериального выбора вариантов [4].

Взаключение рассмотрения функций выбора отметим, что введение ме­ ханизма предъявления множеств является принципиальным для практи­ ческих применений [1, 4]. Часто полагают, что класс допустимых предъ­ явлений совпадает с множеством всех подмножеств 2^, где X— исходное множество альтернатив. Однако простейшие примеры показывают, что в действительности нам оказывается доступным лишь некоторое подмно­ жество XD с 2^. Например, пусть множество X означает множество всех возможных видов данного товара. Мы должны выбрать один или не­ сколько видов товара. Обычно мы ограничены в своем выборе теми ма­ газинами, которые мы в состоянии посетить. Реально мы будем иметь дело с некоторым множеством XD, определяемым фактом наличия раз­ личных видов товара в каждом из доступных магазинов.

Глава 2

Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности

Рассматривается следующая модель задачи ПР:

ПX— множество альтернатив;

ПY—множество исходов;

• / : Y-^ R,i= 1,..., т — множество показателей качества (критериев);

Пф : Z -> У — детерминистская функция, отображающая множество альтернатив во множество исходов. (Здесь R — множество веществен­ ных чисел.)

Таким образом, мы здесь предполагаем, что каждому решению х G Z со­ ответствует единственный элемент у s Y, где у = (р(х). "Качество" или "полезность" исхода у, а тем самым и соответствующего решения х оце­ нивается несколькими (т) числами в соответствии с зависимостями / . По-прежнему предполагаем, что каждую из функций/ требуется макси­ мизировать.

С помощью суперпозиции

мы имеем возможность непосредственно оценивать качество самого ре­ шения X и работать с векторным отображением

J.x-^ R\ J=(Ju .., JnX JW = FczR\

40

Часть I. Методы принятия решений

Более того, задание бинарного отношения предпочтения R) на множест­ ве исходов Y индуцирует соответствующее бинарное отношение R'' на множестве X. Именно:

(хиХ2)е i ? " ^ (ф (л,), ф (Х2)) G R\

Соответственно возникает бинарное отношение/?''' во множестве оценок

Vzb Z2GF: (Zb Z2) G R''' ^ (уиУг) e R\

где z, =/(у\), Zi =/0^2)- Поэтому в детерминистском случае (в условиях определенности) отношения предпочтения могут задаваться в любом из указанных трех множеств: X, Г, F. Далее в качестве основного отображе­ ния будет рассматриваться отображение

J\X-^F(i.K\

и соответственно системы предпочтений будут задаваться во множествах

X,F.

Впрактических задачах часто непосредственно задается отображение / и, по сути, F= F, т. е. в качестве исходов выступают сами оценки /,.

Врезультате мы приходим к очень распространенной в приложениях многокритериальной модели принятия решений, или задаче многокри­ териальной оптимизации вида

J(x) - ^max,/= 1, ...,т, XCLR\

Мы здесь сделали еще одно уточнение: X а К\ То есть мы предполагаем, что все альтернативы или решения параметризованы и каждому из ре­ шений соответствует точка х Е К\ Х = (xi, Х2, ..., х„). И, наконец, вместо обозначений /,(х) мы снова вернемся к обозначениям/(х). Множество X называется мно:ясеством допустимых значений и в разделах, посвящен­ ных многокритериальным задачам, будет обозначаться через D.

2.1. Методы многокритериальной оптимизации

Рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида

 

/ W - ^ m a x , / : / ) - > / ? , /=l,...,m; D ^К\

(2.1)

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 41

Таким образом, задано т функций или функционалов/, отображающих множество D ^/-мерных векторов х = (х^, ..., х„) во множество веществен­ ных чисел R. Здесь предполагается, что выбор оптимальных значений х производится не во всем ^-мерном пространстве R\ а лишь в пределах некоторого его подмножества D. Например, можно интерпретировать задачу (2.1) как задачу оптимального выбора параметров х,, ..., х„ неко­ торой системы (например, некоторого программного комплекса или перспективного плана развития фирмы), качество функционирования которой оценивается показателями/, ...,/„ (см. Введение, пример В.2). В этом случае ограничение х Е D отражает наши технологические и иные возможности реализации тех или иных значений х,. Кроме того, часть ограничений может формироваться на основе имеющейся априорной информации, позволяющей исключить из рассмотрения заведомо не­ удачные варианты х.

Важнейшее значение при исследовании задач (2.1) имеет принцип Парето и связанные с ним понятия эффективного (Парето-оптимального) и сла­ бо эффективного решения. Однако прежде чем перейти к рассмотрению численных методов построения множества Парето, обратимся к тради­ ционным "инженерным" методам многокритериальной оптимизации, сводящим задачу (2.1) к некоторой ее однокритериальной версии.

Метод главного критерия. В методе главного критерия в качестве целе­ вой функции выбирается один из функционалов/, например/, наиболее полно с точки зрения исследователя отражающий цель ПР. Остальные требования к результату, описываемые функционалами/2, ...,/„, учиты­ ваются с помощью введения необходимых дополнительных ограниче­ ний. Таким образом, вместо задачи (2.1) решается другая, уже однокритериальная задача вида

/(jc)-^max; D'QD

QR";

'^"'

(2.2)

D' = {XED I /(x)>r,,

/ = 2,...,m}.

Формально получили более простую задачу поиска максимума функ­ ционала/ на новом допустимом множестве D\ Добавились ограничения вида fi{x) > ti, показывающие, что мы согласны не добиваться макси­ мальных значений для функционалов/2, ...,/„ сохраняя требование их ограниченности снизу на приемлемых уровнях. Важно понимать, что пе­ реход от задачи (2.1) к задаче (2.2) вовсе не есть переход от одной экви­ валентной задачи к другой. Произошло существенное изменение исход­ ной постановки задачи, которое в каждой конкретной ситуации требует отдельного обоснования. Мы еще вернемся далее к методу главного кри-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.