Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Черноруцкий. Методы принятия решений

.pdf
Скачиваний:
750
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
14.93 Mб
Скачать

22

Часть I. Методы принятия решений

В этом случае существует однозначное отображение

(1.1)

т. е. реализуется функция у = ф(х), х е Х,у е У (рис. 1.2).

Г ^ -^СА-W

исходов

 

^^—^_3

^

Механизм

 

 

 

оценки

 

Множество возможных исходов

 

Система предпочтеь1ИЙ

Множество альтернатив

 

 

 

 

пица, принимающейD решение

КЗ

 

 

Рис. 1.1. Задача принятия решений

ч

N

 

N Y

J

Рис. 1.2. Детерминированная связь

Эта же связь может иметь вероятностный характер, когда выбор х опре­ деляет некоторую плотность распределения вероятностей на множестве У (иногда говорят, что с каждым х связана некоторая лотерея). В этом случае выбор х, уже не гарантирует наступление определенного исхода j^„ а сама задача ПР называется задачей ПР в условиях риска (рис. 1.3).

Графы, представленные на рис. 1.2 и 1.3, называются графами связей аль­ тернатив с исходами. Граф, представленный на рис. 1.3, является "взве-

Глава 1. Задача принятия решений

23

шенным": каждая стрелка характеризуется весом, т. е. числом Р^ — веро­ ятностью наступления исхода yj при выборе альтернативы Xj. (В общем случае, как было сказано, задается соответствующая плотность распре­ деления.) Очевидно,

v-E^. 1.

(1.2)

/Ч^

Рис. 1.3. Вероятностная связь

Тот же рис. 1.3 иллюстрирует третий вид связи альтернатив с исходами, реализуемый в задачах ПР в условиях полной неопределенности. При этом предполагается, что информация вероятностного характера отсутствует (стрелки на графе не имеют весов).

Как мы видели, неопределенность при выборе и при реализации связи альтернатив с исходами может иметь и другой, возможно более сложный характер (см. "дилемму заключенного" во Введении), но мы пока ограни­ чимся указанными тремя случаями, которые могут быть проиллюстри­ рованы также рис. 1.4.

При этом случаю 1 на рис. 1.4 соответствует ПР в условиях определенно­ сти; точками на оси у обозначены исходы, соответствующие выбору аль­ тернатив Xi, Xj, я'з (три альтернативы и три определенных исхода). Слу­ чай 2 характеризует задачу ПР в условиях неопределенности: после выбора любой из альтернатив х,, Х2 или х^ может быть указан лишь ин­ тервал расположения соответствующего исхода у. Случай 3 отражает ситуацию выбора в условиях риска. Показаны графики соответствующих

24

Часть I. Методы принятия решений

плотностей распределения вероятностей наступления события у в зави­ симости от выбора альтернативы Xj, л'2, или х^.

Рис. 1.4. Связь альтернатив с исходами при разных типах неопределенности

Заметим, что в каждом из рассмотренных случаев может дополнительно присутствовать свой механизм оценки качества исхода, не связанный не­ посредственно с механизмом появления у по заданному х. (Здесь предпо­ лагается, что числами у закодированы соответствующие исходы, кото­ рые могут оцениваться различным образом, например, по нескольким числовым критериям, см. далее).

Второй важный момент в общей задаче ПР состоит в изучении (задании) системы предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР). Существен­ но, что второй момент, по сути, никак не связан с первым, и различные способы задания системы предпочтений могут быть реализованы для каждого вида связи альтернатив с исходами.

В некотором смысле простейшая ситуация возникает, когда каждый ис­ ход;^ можно оценить конкретным вещественным числом в соответствии с некоторым заданным отображением

/ : 7 - > / ? .

(1.3)

Глава 1. Задача принятия решений

25

В этом случае сравнение исходов сводится к сравнению соответствующих им чисел, например, исход yi может считаться более предпочтительным, чем У1, если /(у^) >f(yj) (задача максимизации). Исходы эквивалентны, еслиДу,) ~f(y). Для сравнения самих исходов употребляются выражения

Такая функция / называется целевой функцией, критериальной функцией, функцией критерия оптимальности или даже просто критерием опти­ мальности. Последнее название не вполне корректно, ибо критерий оп­ тимальности — это, вообще говоря, некоторое правило, позволяющее отличать "оптимальные" решения (исходы) от "неоптимальных" и срав­ нивать исходы между собой. В данном случае это правило связано с за­ данием целевой функции /. Как известно из математики, однозначное отображение произвольного множества на множество вещественных чи­ сел называется функционалом. Поэтому целевые функции мы часто будем называть целевыми функционалами.

Если предположить, что связь между множеством альтернатив и множе­ ством исходов детерминистская:

У = Ф(-^),

то функция/, заданная на множестве F, трансформируется в некоторую функцию /, заданную на Хи являющуюся суперпозицией ф и/:

J:X-^R,J=f'(p.

В этом случае задача выбора оптимального исхода сводится к задаче вы­ бора оптимальной альтернативы на множестве Хи решается непосредст­ венно методами теории оптимизации.

Более реалистичной часто оказывается ситуация, когда в отличие от пре­ дыдущего случая "качество" или "полезность" исхода у оценивается не одним числом /00? ^ несколькими. Иначе говоря, предполагается, что существует несколько показателей качества решения (критериев), описы­ ваемых функциями

/ , : Y-^R,

к=1,2,...,т,

причем каждую из частных целевых функций / требуется максимизиро­ вать (см. Введение, пример В.2). Понятно, что в случае многокритериаль­ ных оценок исходов возникают существенно более сложные математиче­ ские модели ситуации выбора, чем в однокритериальном случае. Критерии обычно противоречивы и, как правило, достигают максиму­ мов в различных точках у G Y. Следовательно, возникают не только ал­ горитмические трудности по решению соответствующих оптимизацион-

26 Часть I. Методы принятия решений

ных задач, но и чисто концептуальные трудности: что понимать под оп­ тимальным решением в этом случае? Кроме того, здесь уже появляются и несравнимые по векторному критерию/= (/i, ...,/„) варианты у^, yj. Более подробно многокритериальные модели принятия решений будут рас­ смотрены далее.

Ограничиваясь пока указанными выше тремя способами связи альтерна­ тив с исходами и двумя способами описания предпочтений ЛПР на кри­ териальном языке, получим таблицу основных задач выбора (рис. 1.5).

Один критерий

Много критериев

 

Z

Z

Определенность

Z

Z

Неопределенность

Рис. 1.5. Основные задачи выбора

На рис. 1.5:

z=f{y)J'.Y^R',

Волна сверху означает наличие неопределенности в задаче ПР.

Необходимо отметить, что в настоящее время в приложениях часто при­ меняется именно критериальный язык описания предпочтений, поэтому следующая важнейшая группа проблем — это формирование критериев и целевых функций (функционалов). Эти проблемы, как будет показано, решаются в тесной связи с методами преодоления различных видов не­ определенностей на основе тех или иных гипотез.

1.2. Описание выбора на языке бинарных отношений. Формальные модели задачи принятия решений

Язык бинарных отношений — второй, более общий, чем критериальный, язык описания системы предпочтений ЛПР.

Глава 1. Задача принятия решений

27

Предполагается, что:

отдельный исход сам по себе не оценивается и критериальные функ­ ции не вводятся;

каждая пара исходов у^, yj может находиться в одном из следующих отношений:

у, предпочтительнее (строго доминирует) у/,

У1 предпочтительнее yf,

yi не менее предпочтителен, чем (не строго доминирует) у/,

yj не менее предпочтителен, чем у-;,

yi эквивалентен у/,

У; И yj несравнимы между собой.

Будем далее предполагать, что свои предпочтения пользователь устанав­ ливает в некотором множестве А. В стандартном случае— это множест­ во исходов: А = Y. Однако при детерминистской связи X с У возможно А = X, или при многокритериальной оценке исходов А =f(Y),f=fi, ...,/„. В последнем случае предполагается, что система предпочтений ЛПР за­ дается непосредственно в пространстве векторных оценок исходов. При необходимости можно полагать, что это пространство и есть простран­ ство исходов. В рассматриваемом случае система предпочтений пользо­ вателя задается с помощью соответствующего бинарного отношения R на А. Напомним, что бинарным отношением на множестве А называется произвольное подмножество R множества А'^, где А^— множество всех упорядоченных пар вида («у, а), где а,, а^е А. Имеем, следовательно, RQA^, в том числе A'^QA'^. Основные свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность и т. д.) предполагаются известными.

Существует наглядный способ задания бинарных отношений на конеч­ ных множествах, который мы используем в данной книге. Изобразим элементы конечного множества А точками на плоскости. Если задано отношение RQA^ и (а,, aj) е R, где а,, ajS А, то проведем стрелку от а, к Gj. Если (cij, а) G /?, то у точки ui нарисуем петлю-стрелку, выходящую из Qi и входящую в ту же точку. Получившаяся фигура называется ориенти­ рованным графом, а сами точки — вершинами графа. Заметим здесь же, что вместо (л/, а) G R МОЖНО писать aiRaj.

Основной вопрос заключается в следующем. Пусть на множестве А зада­ на система предпочтений ЛПР в виде бинарного отношения R (часто это

28

Часть I. Методы принятия решений

отношение строгого доминирования). Что тогда следует понимать под решением задачи выбора? Этот основной вопрос в разных случаях (системах оптимизации и принятия решений, пакетах прикладных про­ грамм) решается неоднозначно, и пользователям необходимо ясно осоз­ навать, что же конкретно имеется в виду в каждом отдельном случае. Перейдем к точным формулировкам.

Пусть А — заданное множество и R — произвольное бинарное отноше­ ние на. А. Тогда пара <А, R> называется моделью выбора.

Определение 1.1

Пусть задана модель <А, R>. Элемент а* е А называется наилучшим по R

в А, если {а*, а) е R при VaG А\а*.

На рис. 1.6, а наилучшими элементами являются а\, аг. На графе рис. 1.6, б наилучших элементов нет.

а)

б)

Рис. 1.6. Понятие наилучшего элемента

На языке графов понятие наилучшего элемента соответствует наличию вершины, соединенной исходящими из нее стрелками со всеми осталь­ ными вершинами графа. При этом могут присутствовать и любые другие дополнительные соединения.

Если предположить, что бинарное отношение, представленное на рис. 1.6, б, является отношением предпочтения, и стрелки означают не­ который вариант доминирования, то, по-видимому, целесообразно както исключить «1 из дальнейшего рассмотрения, ибо этот элемент доминируется элементом ciy С помощью понятия наилучшего элемента это сделать невозможно, хотя в случае, представленном на рис. 1.6, а, мы ис­ ключили элемент «з? ^^^ не являющийся наилучшим.

Глава 1. Задача принятия решений

29

Введем вместо наилучшего элемента более слабое понятие максимально­ го элемента.

Определение

1.2

Элемент а^ е А называетс1я максимальным в модели <А, R> или максимальным по 7^в/^,если Мае А:(а, а^)е R-^(a^, а)е R.

Множество всех максимальных в <А, R> элементов обозначим через

MeiXj^A.

Очевидно, граф отношения, имеющего максимальные элементы, должен содержать вершины, в которых каждой входящей в нее стрелке (если тако­ вые имеются) соответствует "компенсирующая", выходящая стрелка, на­ правленная в вершину, из которой исходит указанная входящая стрелка.

В примерах, приведенных на рис. 1.6, максимальными по R элементами будут:

а) ^1, «2; б) ^2, а^.

Легко доказать, что наилучший по RB А элемент является и максималь­ ным. Обратное верно только, если отношение R обладает специальным свойством слабой связности:

V^p a2'^(a^ Фа2)-^((а^, а^)^ R)"^{{а^, а^)Е R).

На рис. 1.6, б отношение R не является слабо связным. Иногда используется понятие /?-оптимального элемента.

Определение

1.3

Элемент а^ е А

называется /^-оптимальным на А, если \/ае А, аФа^ -^

-^ (а, а^) R.

 

Иначе говоря, здесь требуется существование вершины, в которую не входит ни одна стрелка.

На рис. 1.6, а /^-оптимальных элементов нет, на рис. 1.6, б элемент «з бу­ дет Л-оптимальным.

Основным понятием для нас далее будет понятие максимального элемента.

Определение

1.4

Множество Мах;^у^ называется внешне устойчивым, если для любого эле­ мента аеА\ M'dXf^A найдется такой а^ е M^Xj^A, что справедливо (а^, а) е

ER.

30

Часть I. Методы принятия решен

Понятие внешней устойчивости оказывается существенным для пробле­ мы ПР. Действительно, если множество Мах/^А внешне устойчиво, то последующий выбор оптимального элемента (на основе, например, при­ влечения дополнительной информации) может производиться только в пределах множества MSLXJ^A. В противном случае, когда устойчивости нет, такой вывод уже не будет иметь разумного обоснования.

Внешне устойчивое множество Мах/?^ называется ядром отношения R в А. Иногда термин "ядро" применительно к множеству Мах;^^ использу­ ется и без требования внешней устойчивости.

В примерах на рис. 1.6 множества MdiX^A являются внешне устойчивы­ ми. На рис. 1.7 представлен случай, когда множество

Мах/^^ = {^1,^2}

не является внешне устойчивым.

аз

• О ^

Рис. 1.7. Отсутствие внешней устойчивости

Далее под задачей ПР, сформулированной на языке бинарных отноше­ ний, понимается задача выделения ядра— множества максимальных элементов из А по некоторому бинарному отношению /?: ^4* = Мах/^^4. Специфика конкретных задач ПР находит отражение в задании соответ­ ствующего множества вариантов А, а также в формировании бинарного отношения R, характеризующего вполне определенные цели принятия решений в той или иной практической ситуации. Весьма важным с прак­ тической точки зрения являются следующие специальные виды бинарных отношений:

квазипорядок {R — рефлексивно и транзитивно);

строгий порядок {R — антирефлексивно и транзитивно);

эквивалентность {R — рефлексивно, симметрично и транзитивно).

Глава 1. Задача принятия решений

31

1.3. Связь различных способов описания выбора. Однокритериальный

имногокритериальный выбор

вданном разделе мы рассмотрим связь критериального языка описания выбора и языка бинарных отношений.

Однокритериальный выбор. Пусть f:Y-^R

есть целевая функция, которую требуется максимизировать. Тогда с по­ мощью этой функции на множестве У индуцируются два бинарных от­ ношения /?1 и /?2-

Отношение /?i является, очевидно, рефлексивным и транзитивным и, сле­ довательно, определяет квазипорядок на Y. Отношение Ri обладает свойством антирефлексивности {\fy неверно, что/(у) >/(у)) и транзи­ тивности, являясь строгим порядком. В обоих случаях справедливо ра­ венство:

Max^j К = Argmax/(j), / = 1,2.

Множество максимизаторов функции/является внешне устойчивым в Y. Таким образом, задача максимизации целевой функции/на множестве Y эквивалентна задаче построения ядра одного из бинарных отношений 7?,, /?2? совпадающего с множеством максимизаторов/на Y.

Многокритериальный выбор. Предположим теперь, что "качество", или "полезность", исхода оценивается не одним числом, а несколькими. Ина­ че говоря, предполагается, что существует несколько показателей каче­ ства решения, описываемых частными целевыми функциями

/ , : Г ^ Л , ^'=l,2,...,m, которые требуется максимизировать.

В теории многокритериальных задач обычно используются следующие отношения доминирования:

(у, у) eR^^\/k: [/;,(>,) >/,(у)] л [fivd ^f{y)]\

0^, jy) Е /?, <-> \Jk : [Л-(у,) >Л(У,)].

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.