§ 2.3 Модулированные колебания и их спектры

Как уже отмечалось в главе 1, модуляция заключается в изменении одного или нескольких параметров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением. При использовании в качестве переносчика высокочастотного гармонического колебания модулированный сигнал в общем случае можно представить в виде

(2.3.1)

В зависимости от того, какой из параметров а, ω или φ модулируется, различают три вида модуляции: амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Всякое модулированное колебание несинусоидально и имеет сложный спектр. Рассмотрим перечисленные выше виды модуляции подробно.

АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

При амплитудной модуляции по закону управляющего сигнала и(t) изменяется амплитуда колебаний:

(2.3.2)

где – максимальное абсолютное изменение амплитуды, а – относительное изменение амплитуды, называемое коэффициентом модуляции.

АМ колебание записывается в виде

(2.3.3)

идля случая модуляции чистым тоном имеет вид, показанный на рис.2.8. Очевидно, чтобы не было искажений, коэффициент модуляции должен быть меньше единицы. Из графика для АМ колебаний видно, что

откуда имеем

(2.3.4)

Определим спектр АМ колебаний при модуляции чистым тоном. Это можно сделать с помощью преобразования Фурье. Однако проще его подучить с помощью простых тригонометрических преобразований. Действительно, полагая в (2.3.3) и(t)=соsΩt,

Получим

(2.3.5)

Замечаем, что АМ колебание имеет дискретный спектр и состоит из трех не кратных гармонических составляющих: колебания несущей частоты с амплитудойи двух колебаний с амплитудамии частотами, которые называются боковыми частотами. Спектр АМ колебания показан на рис. 2.9. Ширина спектра АМ-сигнала равна.

Как известно, гармонические колебания часто представляв в виде векторов. Аналогично можно построить векторную диаграмму для АМ колебания, которая показана на рис.2.10.

При построении диаграммы предполагалось, что плоскость чертежа вращается по часовой стрелке со скоростью . Поэтому вектор несущего колебания ОА неподвижен относительно оси времени. Векторы боковых колебаний вращаются относительно вектора несущей со скоростью , т.е. в противоположные стороны. Результирующий вектор ОС в результате этого изменяется только по длине, но не по направлению.

В более общем случае, когда модуляция осуществляется сложным периодическим сигналом, который можно разложить в ряд Фурье

(2.3.6)

выражение для АМ - колебания можно представить в виде

(2.3.7)

Вэтом случае АМ колебание состоит из колебания несущей частотыи двух боковых полос с суммарнымии разностнымичастотами. Спектр такого колебания показан на рис.2.11.

Если спектр модулирующего колебания ограничен сверху частотой , то ширина спектра модулированного колебания равна

Заметим, что огибающая амплитуд боковых частот с точностью до постоянного множителя , совпадает с огибающей спектра амплитуд модулирующей функции. Это позволяет легко построить амплитудный спектр АМ колебания, если известен спектр модулирующей функции. Для построения необходимо сместить спектр модулирующей функции по оси частот на величину, получая при этом верхнюю боковую полосу; нижняя боковая полоса будет являться зеркальным отображением верхней относительно частоты .

Проиллюстрируем сказанное на примере амплитудной манипуляции (рис.2.12). В случае манипуляции модулирующая функция представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов и согласно (2.2.12) при ,разлагается в следующий ряд Фурье

(2.3.8)

Амплитудно-манипулированное колебание при этом записывается в виде

(2.3.9)

Амплитудный спектр манипулированного колебания показан на рис.2.13.

Амплитудно-модулированные колебания являются типичным примером почти периодических сигналов, для которых гармонические составляющие имеют некратные частоты.

Рассмотрим энергетические соотношения при АМ. В соответствии с изменением амплитуды колебания изменяется и средняя за период высокой частоты мощность модулированного колебания.

Мощность сигнала в отсутствии модуляции (мощность несущего колебания) определяется первым членом выражения (2.3.5) и равна

(2.3.10)

где – период высокочастотного колебания.

В режиме модуляции мощность непрерывно изменяется. Ее максимальное и минимальное значения соответственно определяется выражениями

, (2.3.11)

Мощность двух боковых частот (при модуляции чистым тоном) при будет равна

(2.3.12)

Средняя за период модуляции мощность будет равна

(2.3.13)

где – период модулирующего колебания. Из последних выражений приm = 1 получим

(2.3.14)

Таким образом, при стопроцентной модуляции 2/3 всей мощности тратится на передачу несущего колебания и 1/З - на передачу боковых частот. Обусловленное модуляцией приращение мощности, которое в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме, в этом случае не превышает половины мощности несущего колебания. Кроме того, большая величина пиковой мощности по сравнению со средней требует линейного режима работы тракта приема-передачи в широком динамическом диапазоне (в передатчике лампы должны выбираться по максимальной мощности). Сказанное позволяет заключить, что амплитудная модуляция с энергетической точки зрения имеет существенные недостатки.

Указанные недостатки амплитудной модуляции можно в значительной мере устранить, если использовать передачу с подавленной несущей. Подавление несущей осуществляется ори использовании балансной амплитудной модуляции (БАМ). Этот вид модуляции называют еще двухполосной модуляцией (ДМ) При балансной модуляции сигнал записывается в виде

(2.3.15)

откуда при модуляции чистым тоном получим

(2.3.16)

т.е. только две боковые частоты без несущей.

При балансной модуляции аналогично (2.3.10) - (2.3.13) находим

(2.3.17)

Следовательно, энергетические показатели в этом случае значительно лучше, чем при обычной АМ.

На рис.2.13 показан спектр сигнала при балансной модуляции и временные диаграммы при обычной и балансной модуляции и временная диаграмма в последнем случае получается путем вычитания из обычного АМ колебания составляющей . Нетрудно видеть, что огибающая при балансной модуляции имеет удвоенную частоту, а фаза высокочастотного заполнения меняется скачком на 180 при каждом переходе огибающей через нулевое значение. Весьма показательным примером этого мох служить амплитудно-манипулированное колебание с подавленной несущей (рис.2.14). Такое колебание по сути дела будет являться фазоманипулированным колебанием, которое будет рассмотрено подробнее несколько ниже. Однако уже сейчас можно отметить, что фазоманипулированное колебание будет иметь амплитудный спектр АМ колебания с подваленной несущей.

Еще одной разновидностью АМ является однополосная модуляция (ОМ или ОБП), при которой передается только одна боковая полоса частот. При модуляции чистым тоном в этом случае из (2.3.16) имеем

Использование БАМ и ОМ позволяет сократить бесполезный расход энергии на составляющую несущей частоты, а при ОМ - сократить дополнительно вдвое ширину спектра передаваемого сигнала. Однако для демодуляции сигнала на приемной стороне несущая необходима. Необходимость восстановления несущей требует некоторого усложнения аппаратуры.

ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

При частотной модуляция по закону модулирующего колебания и(t) изменяется частота высокочастотного несущего колебания.

На рис.2.15 показаны графики модулирующего и модулированного сигналов в случае модуляции чистым тоном.

Получим выражение для ЧМ - колебания. По определению

(2.3.17)

где - максимальное отклонение частоты, называемое девиацией частоты, а - относительное изменение частоты.

По своему определению мгновенная круговая частота является производной по времени от аргумента тригонометрической функции , представляющей колебание, т. е.(2.3.18)

Из последнего выражения получим

(2.3.19)

т.е. фаза колебания определяется интегралом от круговой частоты. Поэтому для ЧМ - колебания при модуляции чистым тоном можно записать

(2.3.20)

Замечаем, что изменение частоты по закону приводит к изменению фазы по закону. Величина называется индексом частотной модуляции и имеет смысл максимальной величины (амплитуды) изменения фазы при частотной модуляции.

Заменяя косинус суммы двух углов по известным формулам тригонометрии, вместо (2.3.20) при получим

(2.3.21)

Определим теперь спектр частотно-модулированного сигнала. Начнем со случая малого индекса модуляции, когда . В этом случае

(2.3.22)

(2.3.23)

Замечаем, что при малом индексе модуляции спектр ЧМ колебания отличается от спектра АМ - колебания только сдвигом фазы нижней боковой частоты на 180. Это иллюстрируется рис.2.16, на котором показана векторная диаграмма для ЧМ колебания (сравни с рис.2.10).

На диаграмме результирующий вектор ОД изменяется как по фазе, так и амплитуде, однако при амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь. При произвольных значениях β с учетом всех частотных составляющих спектра результирующий вектор будет изменяться только по фазе.

Определим теперь спектр ЧМ колебания при произвольном Рис.2.16 индексе модуляции. Для этого периодические функции иразложим в ряды Фурье, коэффициенты которых, как доказывается в теории бесселевых функций, являются функциями Бесселя первого рода:

(2.3.24)

Подставляя последние выражения в (2.3.21) и производя тригонометрические преобразования, окончательно получим

(2.3.25)

Таким образом, ЧМ колебание имеет дискретный спектр и состоит из несущей и бесконечного числа боковых частот с амплитудами. Однако практически ширина спектра при частотной модуляции ограничена. Это можно заметить из рис.2.17, на котором приведены графики функций. Приифункцииубывают столь быстро, что ими можно пренебречь, т.е. считать, что. Поэтому ширина спектра при широкополосной ЧМ () будет равна

(2.3.26)

т.е. приближенно равна удвоенной девиации частоты.

На рис.2.18 в качестве примера показан график модуля спектра ЧМ колебания при .

Таким образом, ширина спектра при широкополосной ЧМ в раз шире, чем при обычной АМ. Преимуществом частотной модуляции является постоянство мощности, так как амплитуда сигнала в процессе модуляции не изменяется.

Отметим теперь, что при частотной модуляции девиация частоты определяется амплитудой модулирующего сигналаи(t). При уменьшении амплитуды модулирующего сигнала уменьшается индекс модуляции и действительная ширина спектра. При постоянной амплитуде и изменение частоты модулирующего сигнала Ω изменяет индекс модуляции, число линий и интервал между линиями в спектре ЧМ колебания, однако ширина спектра практически остается постоянной.

Выше рассматривался случай модуляции чистым тоном. По модуляции сложным сигналом спектр ЧМ колебания будет гораздо богаче, а ширина спектра при будет равна

где Ωтах - максимальная круговая частота в спектре модулирующего сигнала.

В качестве примера рассмотрим случай частотной манипуляции (рис.2.19), когда модулирующая функция представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с частотой Ω. В этом случае частота заполнения принимает два дискретных значения и.

Частотно-манипулированное колебание можно представит в виде суммы двух амплитудно-манипулированных колебаний с несущими частотами и, поэтому, согласно (2.1.29) его спектр будет равен сумме спектров последних. На рис.2.20 показаны амплитудные спектры частотно-манипулированных сигналов для различных соотношений междуи.

Заметим, что эти две частоты при передаче дискретных сообщений условно называют частотами ''нажатия'' и "отжатия".