3.2.2 Расчет главной балки.

3.2.2.1 Назначение основных размеров расчетного сечения балки. Определение внутренних усилий.

В качестве расчетной схемы пролетного строения разрезной балочной системы принимают балку, опирающуюся на две опорные части, одна из которых является неподвижной, другая подвижной. При таком опирании в балке за счет трения в подвижных опорных частях могут возникать незначительные продольные силы, но ими, как правило, пренебрегают. Поэтому пролетное строение разрезной балочной системы рассчитывают на действие изгибающего момента и поперечной силы. Стенки тавровых балок пролетных строений железнодорожных мостов должны быть также проверены на кручение с учетом возможного поперечного смещения пути, принимаемого в расчетах по нормам проектирования не менее 10 см. Так как стенки балок пролетных строений из обычного железобетона имеют большую толщину, результаты указанных проверок обычно удовлетворяют требования норм проектирования

Ранее было отмечено, что расчеты мостовых конструкций являются проверочными. Они должны подтвердить правильность принятых размеров конструктивных элементов, не только опалубочных, т.е. внешних размеров, но и их армирования.

Армирование главных балок существенно зависит от их высоты. Чем выше балка, тем меньше потребуется арматуры, но при этом увеличивается расход бетона, а следовательно, и масса пролетного строения. Поэтому нужно выбрать рациональную высоту главных балок, которая обеспечивала бы их экономичность и в то же время удовлетворяла условиям изготовления и монтажа.

После назначения основных размеров пролетного строения необходимо определить его вес. В соответствии с указаниями норм проектирования для балочных пролетных строений нагрузку от собственного веса допускается принимать равномерно распределенной по длине пролетного строения, если величина ее на отдельных участках отличается от средней величины не более, чем на 10%.

Хотя сечения главных балок обычно не постоянны по их длине (к опорным сечениям толщина ребер балок увеличивается), указанное требование норм, как правило, выполняется. Поэтому распределенную нагрузку от веса пролетного строения g₁ получают путем деления его веса на полную длину. Необходимо также определить постоянную нагрузку от веса мостового полотна. Нагрузка от веса балласта g₂ зависит от размеров балластной призмы, ширина которой зависит от размеров балластного корыта, а высоту принимают равной 0,5 м. Вес двух тротуаров g₃ принимают в зависимости от их конструкции и размеров, а вес типовых перил g₄ – равным 1,4 кН/м.

Для назначения армирования необходимо знать изгибающий момент в середине пролета от расчетных нагрузок. Однако целесообразнее сразу определить внутренние усилия в расчетных сечениях главных балок в расчетах на прочность, на выносливость и по трещиностойкости. В качестве расчетных, обычно принимают сечения в середине пролета, в четверти пролета и опорное сечение.

В расчетах с учетом подвижных нагрузок используют аппарат линий влияния. Необходимые для расчетов главной балки линии влияния и их площади для определения внутренних усилий приведены на рис. 3.9. На этом рисунке показаны также загружения линий влияния постоянными и временными нагрузками. В расчетах пролетных строений с ездой на балласте, если длина загружения не превышает 25 м, эквивалентную нагрузку, как было отмечено в п.3.1.3., принимают при независимо от фактического положения вершин линий влияния. На рисунке 3.9 нижний индекс в обозначениях эквивалентной нагрузки указывает на положение вершины линии влияния, верхний – на длину загружения . В скобках показаны обозначения эквивалентной нагрузки при езде на балласте и при м.

Рис. 3.9. Линии влияния в разрезной балке и их загружения постоянными и временными нагрузками

Расчетные значения внутренних усилий в балке пролетного строения в расчетах по первой группе предельных состояний могут быть подсчитаны по формулам:

для расчетов по прочности

(3.35)

для расчетов на выносливость

(3.36)

При расчетах по второй группе предельных состояний необходимые значения внутренних усилий определяют по формулам:

для расчетов по образованию продольных трещин

; (3.37)

для расчетов по ограничению касательных напряжений

. (3.38)

Внутренние усилия в расчетах по раскрытию трещин и по ограничению прогибов можно определить по формуле (3.37), а в расчетах по раскрытию наклонных трещин по формуле (3.38), введя к временной нагрузке в этих формулах коэффициент .

Внутренние усилия в сечениях средней балки двухпутных мостов по схеие рис.2.44,б можно определить так же, как и в крайних балках, т.е. по формулам (3.35)…(3.38). Разница будет лишь в величине действующих на нее постоянных нагрузок.

По нормам проектирования во всех расчетах элементов или отдельных конструкций мостов, воспринимающих нагрузку с нескольких путей, нагрузку с одного пути, где нагрузка приводит к наиболее неблагоприятным результатам, следует принимать с коэффициентом , а нагрузку с других путей – с коэффициентом . Этот коэффициент учитывает малую вероятность того, что все пути будут загружены максимальной нагрузкой т.е. с учетом тяжелых транспортеров. В двухпутных мостах по рис. 2.44,а нагрузка с каждого из путей передаётся на одно пролетное строение. Так как тяжелые транспортеры могут находиться на любом из путей, при расчетах балочных пролетных строений коэффициент к нагрузке вводить не следует. В двухпутных мостах с водоотводом в промежуток между соседними балками (см. рис. 2.44,б,в) крайние балки соединяются со средними, средние балки между собой не соединяются. Оси путей практически совпадают с осями образующихся из двух балок блоков. Временная нагрузка с каждого пути полностью передаются на такой блок, следовательно, и в этом случае нужно принимать .

По известной величине изгибающего момента в середине пролета балки можно приблизительно определить необходимую площадь рабочей арматуры в этом сечении. В расчетах фактическую форму поперечного сечения балки заменяют упрощенной: бортики балластного корыта исключаются из сечения, а площадь вутов равномерно распределится по консолям плиты (рис. 3.10). Такая замена поперечного сечения значительно упрощает расчетные формулы, практически не сказываясь на результатах расчета. Приведенная площадь плиты , при этом может, быть подсчитана по формуле:

, (3.39)

где d₁ – фактическая толщина плиты; A_h – площадь одного вута; - ширина плиты; b – толщина ребра балки.

При переменной толщине плиты ее приведенную толщину можно подсчитать по формуле:

,

где А_кн, А_кв – соответственно площади наружной и внутренней консоли, включая вуты.

Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния нормального сечения изгибаемой балки показали, что нормальные напряжения по ширине сжатой плиты распределяются неравномерно. Наибольшие напряжения возникают в месте примыкания плиты к ребру балки, затем их величина постепенно уменьшается по мере удаления от ребра. При широкой плите величина нормальных напряжений у ее концов незначительна. Поэтому расчетную ширину плиты ограничивают. Длина свесов наружной плиты должна быть не более , а для внутренней консоли – не более половины расстояния в свету между ребрами соседних балок. При вутах с уклоном менее 1:3 длину свесов измеряют от ребра балки, а при уклоне 1:3 и более – от начала вутов. Если вуты очерчены по дуге окружности радиуса r, начало вутов можно принимать на расстоянии 0,84r от ребра балки (рис.3.11). При таких ограничениях нормальные напряжения считают равномерно распределенными по всей плите.

Рис. 3.10. Поперечное сечение балки:

а – фактическое; б – условное, принимаемое в расчетах

Рис. 3.11. Схемы к определению расчетной ширины плиты:

а – при вутах с уклоном более 1:3; б – при вутах с уклоном до 1:3; в – при криволинейных вутах

В пролетных строениях железнодорожных мостов свесы консолей плиты, как правило, меньше . Поэтому во все расчеты главной балки вводится фактическая ширина плиты .

В первом приближении можно принять, что нейтральная ось в балке проходит по линии примыкания ребра к плите (рис. 3.12). Тогда требуемая площадь рабочей арматуры в середине балки A_s,тр может быть определена по формуле:

, (3.40)

где M_0,5 – изгибающий момент в середине пролета, подсчитанный для расчетов на прочность; R_s – расчетное сопротивление арматурной стали.

Рабочую высоту сечения h₀ принимают равной:

,

где h – полная высота балки; a_s – расстояние от центра тяжести площадей рабочей растянутой арматуры до низа балки.

Поскольку величина a_s неизвестна, в первом приближении ее принимают равной от 10 до 20 см в зависимости от пролета балки. Задавшись диаметром рабочей арматуры, определяют необходимое число стержней:

,

где A_s1 – площадь одного стержня.

Расставив n стержней в сечении в соответствии с правилами, установленными нормами проектирования, уточняют величину a_s. При этом может оказаться целесообразным изменить первоначально назначенную ширину ребра, что, в свою очередь, может потребовать уточнения количества рабочей арматуры.

Рис. 3.12. Схема к назначению площади рабочей арматуры в середине пролета балки

При относительно больших пролетах балки средней ее части может придаваться двутавровое сечение. Сказанное выше относится к назначению основных размеров и такого сечения. В этом случае размеры нижнего пояса балки – ширина b_f и толщина h_f – определятся из условий размещения рабочей арматуры (см. рис. 3.10,б).

Количество отгибов продольной рабочей арматуры и их расположение назначают из следующих соображений (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Схема к определению мест отгибов продольной рабочей арматуры:

1 – огибающая эпюра изгибающих моментов; 2 – эпюра материалов

Принято допущение, что каждый стержень продольной рабочей арматуры в середине пролета балки может воспринять соответствующую ему часть изгибающего момента (n – число стержней в середине пролета). По мере удаления от среднего сечения балки изгибающий момент уменьшается, а следовательно, появляется возможность уменьшить количество рабочей арматуры. Это делают путем отгиба стержней под углом 30⁰…60⁰ (как правило, 45⁰). Отогнутые стержни (отгибы) в дальнейшем участвуют в расчетах наклонного сечения по прочности на действия поперечной силы и изгибающего момента, а также в расчетах по трещиностойкости такого сечения.

Для определения мест возможных отгибов необходимо построить огибающую эпюру изгибающих моментов и эпюру материалов. Огибающая эпюра моментов – это график, его каждая ордината представляет собой изгибающий момент в сечении над этой ординатой от расчетных нагрузок. С достаточной для практических целей точностью ее можно построить по трем точкам: в опорном сечении, где момент равен нулю, и в сечениях 0,25 и 0,5 расчетного пролета, где моменты подсчитывают по формулам (3.35). Эпюра материалов представляет собой ступенчатый график, ординаты которого равны предельным изгибающим моментам, которые могут воспринять сечения с определенным количеством стержней продольной арматуры. Сопоставляя огибающую эпюру моментов и эпюру материалов, определяют сечения, в которых предельный изгибающий момент, воспринимаемый сечением с конкретным числом рабочих стержней, равен изгибающему моменту в этих сечениях (при графическом построении по рис. 3.13 эпюра материалов нигде не должна пересекать огибающую эпюру изгибающих моментов). Таким способом определяют теоретически возможные начала отгибов групп продольных стержней. Фактические начала отгибов в соответствии с указаниями норм проектирования должны располагаться за сечениями, в которых стержни учитываются с полным расчетным сопротивлением, на длину заделки l_s. Длина l_s для арматурных стержней классов А300 должна быть для бетонов классов В30 и выше не менее 22d, для бетонов классов В20…В27,5 – не менее 25d (d – диаметр отгибаемого стержня). Для арматурных стержней класса А400 длину заделки l_s соответственно увеличивают на 5d. При пучках стержней d определяют как диаметр условного стержня с площадью, равной суммарной площади стержней, образующих пучок.

Арматуру можно отгибать одновременно по два, три и более стержня; наклонные стержни при этом располагают симметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей по оси изгибаемой балки. Стержни необходимо отгибать по дуге окружности радиусом не менее 10 их диаметров. Концы отогнутых стержней заводят в верхнюю сжатую зону балки, и обычно заканчивают прямолинейным участком небольшой длины, который связывают с продольными стержнями плиты или со специально устанавливаемыми стержнями с целью создания арматурного каркаса.

Как практически назначают отгибы с соблюдением рекомендаций норм проектирования, показано на примере разрезной балки, имеющей в середине пролета 14 продольных стержней рабочей арматуры (рис.3.13).

При расположении отгибов по длине балки необходимо выполнить следующие указания норм проектирования. На участке, где по расчету требуются наклонные стержни, любое сечение, проведенное перпендикулярно продольной оси балки, должно пересекать хотя бы один стержень наклонной арматуры. Так, на рис. 3.13 положение первых отогнутых стержней, показанное пунктиром, удовлетворяет ранее сформулированным требованиям: для восприятия изгибающего момента в сечении, соответствующим началу первых отгибов, они уже не нужны. Но на участке между ними и отогнутыми стержнями №2 вертикальное сечение не пересекает отогнутые стержни. Поэтому стержни №1 передвинуты в сторону опорного сечения так, чтобы указанное требование норм проектирования соблюдалось. Можно было выполнить это требование и другим способом: отгибы стержней №1 сделать под углом 30⁰ к продольной оси балки, что нормами проектирования допускается, а не под углом 45⁰, который принят при отгибе других стержней.

Но отгибать следует не все стержни, даже если они не нужны для восприятия изгибающего момента. Не менее трети рабочей арматуры, устанавливаемой в середине пролета балки, по нормам проектирования следует заводить за опорное сечение. У торца балки их отгибают под углом 90⁰ по дуге окружности радиусом не менее трех диаметров арматуры. При этом крайние стержни, примыкающие к боковым поверхностям балки (стержни № 6 на рис. 3.13) должны быть продолжены вверх до половины высоты балки.

Расстояние от торца балки до оси её опирания на опорную часть должно быть не менее 30 см, а до края опорной части – не менее 15 см.

Хомуты в приопорных участках длиной, равной пролета, считая от оси опоры, устанавливают с расстояниями между ними не более 15 см, а на среднем участке длиной пролета, - шаг хомутов не должен превышать 20 см. Но при толщине балок более 50 см, а также в плитных пролетных строениях, шаг хомутов в середине пролета может быть увеличен до 25 см. Диаметр хомутов должен быть не менее 8 мм.

Продольную арматуру в стенках балок, которая учитывается в некоторых расчетах, устанавливают с учетом следующих указаний норм проектирования: в пределах трети высоты стенки, считая от растянутой грани, стержни располагают с шагом не более 12 диаметров применяемой арматуры (d=8…12 мм); в пределах остальной части стенки – с шагом не более 20 диаметров арматуры (d=8…10 мм).

3.2.2.2 Проверка прочности нормального сечения в середине пролета балки.

В основу расчетных формул по прочности, как и при расчете прочности плиты, положена третья стадия напряженного состояния сечения (стадия разрушения). При этом приняты следующие допущения:

- растянутый бетон полностью выключился из работы сечения;

- напряжения в бетоне сжатой зоны равны расчетному сопротивлению бетона на сжатие R_b, эпюра напряжений принята прямоугольной;

- напряжения как в растянутой, так и в сжатой арматуре равны ее расчетному сопротивлению R_s.

Как общий случай рассматриваются балки таврового сечения. Такие сечения имеют балки пролетного строения небольших длин. При относительно больших длинах пролетных строений в середине пролетов балкам целесообразно придавать двутавровое сечение, а в приопорных участках – тавровое. Расчеты двутавровых балок от соответствующих расчетов балок таврового сечения принципиальных отличий не имеют. Прямоугольное сечение, как показано далее, может рассматриваться как частный случай таврового сечения. При отмеченных допущениях расчетная схема сечения имеет вид, приведенный на рис. 3.14,а.

Условие прочности в общем виде такое же, что и в расчетах плиты балластного корыта:

, (3.41),

т.е. изгибающий момент от расчетных нагрузок не может быть больше того предельного момента, который может воспринять сечение. В этом условии моменты определяют относительно оси, проходящей через центр тяжести растянутой арматуры.

С учетом принятых допущений условие прочности (3.41) принимает вид:

, (3.41,а)

где b – ширина ребра; - ширина плиты; x – высота сжатой зоны; h₀ – рабочая высота сечения; - площадь верхней сжатой арматуры; - расстояние от центра тяжести арматуры до верха сечения; R_s – расчетное сопротивление арматуры сжатию, которое принимается такое, же, как и расчетное сопротивление растяжению; R_b – расчетное сопротивление бетона по прочности на сжатие.

Верхняя арматура и нижняя могут выполнятся из арматурных стрежней разных классов, с соответствующими расчетными сопротивлениями.

Высоту сжатой зоны x определяют из условия равенства нулю проекций всех сил на горизонтальную ось:

(3.42)

Если высота сжатой зоны, подсчитанная по формуле (3.42), окажется меньше высоты плиты (она может получиться и отрицательной), это означает, что нейтральная ось проходит не в ребре, как предполагалось вначале, а в плите (рис.3.14,б). В этом случае сечение рассчитывают как прямоугольное шириной , т.е. в формулах (3.41,а), (3.42) принимают . Для балок прямоугольного сечения шириной в формулах (3.41,а), (3.42) следует принять =b.

При эксплуатации пролетного строения в суровых климатических условиях к расчетному сопротивлению бетона R_b вводят коэффициент условий работы m_b7=0,9 (см.п. 3.1.4).

а)

Б)

б)

в)

Рис. 3.14. Схемы для проверки нормального сечения балки:

а – в расчетах по прочности при прохождении нейтральной оси по ребру балки; б – то же при прохождении нейтральной оси по плите; в – в расчетах на выносливость и по трещиностойкости

Сжатая арматура площадью в разрезных балочных пролетных строениях - это, прежде всего, распределительная арматура плиты. Выполняется арматура плиты, как правило, в виде сварных или вязаных сеток. Эта арматура может учитываться в расчетах в том случае, если сетки стыкуются внахлестку на длине не менее 30 диаметров продольных стержней сетки, и не менее 25 см. Она имеет небольшой диаметр продольных стрежней (минимальный его размер по нормам проектирования должен быть не менее 6 мм) и общая ее площадь невелика. Поэтому такую арматуру в расчетах обычно не учитывают, назначают ее конструктивно в соответствии с рекомендациями норм проектирования. Но в сжатой зоне сечения балки могут быть продольные стержни относительно большого диаметра, постановка которых вызвана созданием арматурного каркаса (монтажная арматура), а иногда и усилением сжатой зоны. Учет такой арматуры может существенно сказаться на результатах расчета.

Полученная по формуле (3.42) высота сжатой зоны x должна удовлетворять условию (см. п. 3.2.1.3). При невыполнении этого условия расчеты следует проводить с использованием других нормативных документах, указанных в СП 35.3330.2011.

Для проверки прочности сечения можно использовать и формулу (3.41,а), приняв в ней , но такое сечение будет «переармированным» (см. п.3.2.1.3), в нем прочностные характеристики арматуры в стадии разрушения не используются полностью, поэтому по расходу арматуры оно неэкономично. Можно уменьшить высоту сжатой зоны x различными способами, например, увеличив высоту плиты или площадь сжатой арматуры . Но наиболее целесообразным обычно является увеличение высоты сечения. При этом уменьшается требуемое количество рабочей растянутой арматуры, хотя и увеличивается объем бетона на пролетное строение.

Другая крайность – небольшая высота сжатой зоны, при которой верхняя сжатая арматура не достигает предела прочности. В этом случае, площадь сжатой арматуры вводят в расчеты в зависимости от соотношения расчетной высоты сжатой зоны x и расстояния от центра тяжести этой арматуры до верхней грани балки. При определении величины , защитный слой принимают равным 2 см.

Площадь арматуры учитывается полностью, если при определении высоты сжатой зоны x по формуле (3.42) выполняется условие . При невыполнении этого условия, определяют высоту сжатой зоны x₁ без учета сжатой арматуры. Если будет получено, что , то расчет по прочности выполняют, используя условие:

, (3.43)

т.е. в этом случае изгибающие моменты определяют относительно центра тяжести сжатой арматуры.

При сжатую арматуру в расчетах не учитывают.

В расчетах изгибаемых элементов по прочности в общем случае принято, что растянутая арматура в стадии разрушения (стадия III напряженного состояния) достигает предела текучести. Однако, при расположении части арматурных стержней на относительно больших расстояниях от нижней грани балки, напряжения в них предела текучести не достигают. Поэтому к расчетному сопротивлению арматуры в стержнях, расположенных на расстоянии более 0,2 высоты растянутой зоны сечения (рис. 3.15), вводят коэффициент условий работы m_а6, определяемый по формуле:

, (3.44)

где x – высота сжатой зоны, определяемая из расчета сечения по прочности; a – расстояние от растянутого арматурного стержня до низа сечения.

Рис. 3.15. Схема к определению коэффициента m_а6

Вначале следует определить высоту сжатой зоны сечения без учета коэффициента m_а6. Если окажется, что , где a_n – расстояние от верхнего ряда арматуры до низа сечения, высоту сжатой зоны определяют по формуле:

, (3.45)

где n – число рядов арматурных стержней; A_si – площадь стержней i-ого ряда; m_a6i – коэффициент условий работы арматуры для этого ряда.

,

где a_i – расстояние от i-го ряда стержней до низа сечения.

При этом несколько изменится и рабочая высота сечения h₀, так как изменяется положение равнодействующей усилий в растянутой арматуре. Этим изменением в расчетах можно пренебрегать.

Если при расчете нормального сечения по прочности при соблюдении всех требований норм проектирования окажется, что сечение имеет значительный запас прочности, на этом этапе расчета армирование сечения еще не следует пересматривать, так как оно может определиться расчетами на выносливость или по трещиностойкости. Если же будет получено, что не выполняется условие прочности (3.41), сечение должно быть изменено, в первую очередь, за счет увеличения площади рабочей арматуры A_s.

3.2.2.3 Проверка выносливости нормального сечения в середине пролета балки.

Проверка выносливости сечений главной балки, как и сечений плиты, сводится к ограничению напряжений в бетоне сжатой зоны и в растянутой арматуре соответствующими расчетными сопротивлениями. Сжатую арматуру на выносливость не рассчитывают.

В основу расчетов главной балки положены те же исходные предпосылки, что и в расчете плиты балластного корыта (см. п. 3.2.1.3). Расчетная схема сечения балки в расчетах на выносливость приведена на рис. 3.14,в.

Исходя из гипотезы плоских сечений, напряжения в бетоне и в арматуре могут быть подсчитаны по формулам:

(3.46)

В этих формулах:

- момент в сечении для расчета на выносливость (см. п 3.2.2.1); - момент инерции приведенного к бетону сечения; - высота сжатой зоны, определяемая по формулам упругого тела без учета растянутой зоны бетона; - отношение модуля упругости бетона к модулю упругости бетона с учетом его виброползучести; - расстояние от низа сечения до центра тяжести ближайшего ряда арматуры.

Величину отношения принимают по СП 35. 13330.2011.

При вычислении момента инерции приведенного сечения относительно нейтральной оси необходимо определить положение этой оси. Положение нейтральной оси, проходящей через центр тяжести приведенного сечения, определится из условия равенства нулю статического момента приведенного сечения относительно этой оси:

, (3.47)

где S_b – статический момент площади бетонной части сечения; - статические моменты площадей соответственно сжатой и растянутой арматуры

(3.48)

Буквенные обозначения в формулах (3.48) те же, что и в формуле (3.41,а).

Подставляя выражения статических моментов из формул (3.48) в условие (3.47), получаем уравнение второй степени, из решения которого находим высоту сжатой зоны :

,

где

Зная , определяем величину момента инерции приведенного сечения:

. (3.49)

Расчетные сопротивления арматуры и бетона в расчетах на выносливость определяют по формулам (3.27) и (3.29).

Для армирования главных балок применяют арматуру относительно больших диаметров. Такая арматура поступает с заводов-изготовителей в виде стержней ограниченной длины (см. п 3.2.1.3), во многих случаях меньше предусматриваемой проектными спецификациями. Необходимо использовать и отрезки арматуры. Поэтому стержни рабочей арматуры стыкуют, как правило, контактной электросваркой методом оплавления. При этом в месте стыка после сварки стержней образуется валик. Во избежание концентрации напряжений, вызываемой валиком, производят механическую продольную зачистку стыка (рис. 3.16,а).

Для осуществления контактной сварки требуются специальные стационарные сварочные машины, которыми располагают заводы МЖБК. При отсутствии таких машин нормы проектирования допускают соединения стержней ванным способом на удлиненных накладках-подкладках (рис. 3.16,б) и на парных смещенных накладках (рис. 3.16,в), при которых также происходит концентрация напряжений. Сварку ванным способом обычно применяют непосредственно на строящемся объекте. Концентрацию напряжений учитывают путем введения к расчетному сопротивлению арматуры коэффициента , величину которого принимают по СП 35.13330.2011 в зависимости от класса арматурной стали и коэффициента асимметрии цикла повторяющихся напряжений .

Рис. 3.16. Сварные соединения стержней арматуры:

а – контактным способом (до и после зачистки), б – ванным способом, в – на парных смещенных накладках

3.2.2.4 Проверка прочности наклонных сечений.

Наклонные трещины в балке образуются при поперечном изгибе, когда в сечении действуют и поперечная сила, и изгибающий момент. Обычно появляется несколько наклонных трещин. Раскрытие их может начинаться от растянутой грани балки, где трещина сначала проходит перпендикулярно растянутой арматуре, а затем направление трещин изменяется, они становятся наклонными, что связано с действием главных напряжений. Одна из трещин, называемая «критической», получает наибольшее развитие. Такой трещиной балка разделяется на два блока, связанных в сжатой зоне бетоном над концом наклонной трещины, а в растянутой зоне – продольной арматурой, хомутами и отгибами арматуры, пересекающими наклонную трещину. При превалирующем влиянии поперечной силы разрушение происходит в результате сдвигов блоков относительно друг друга (рис. 3.17, а), и при доминирующем влиянии изгибающего момента – путем взаимного поворота блоков вокруг оси, проходящей через центр сжатой зоны (рис. 3.17, б).

В балках двутаврового сечения при относительно тонкой стенке, а также в балках таврового сечения при мощной продольной арматуре, образование трещин может начинаться не у низа балки, а в стенке (ребре) в результате действия главных напряжений. Такие трещины до нижней грани балки могут и не доходить. Разрушение в этом случае происходит в результате раздробления бетона между наклонными трещинами (рис. 3.17, в).

Рис. 3.17. Виды разрушения балки по наклонному сечению:

а – при превалирующем влиянии поперечной силы, б – при превалирующем влиянии изгибающего момента, в – при раздроблении бетона между наклонными трещинами в стенке балки

Разрушение балки по наклонному сечению обычно происходит в результате одновременного действия поперечной силы и изгибающего момента. Но вопрос о совместном учете всех внутренних усилий в расчетах по прочности наклонных сечений изучен недостаточно. Поэтому практические расчеты ведут раздельно на действие поперечной силы Q и изгибающего момента M.

Условие прочности наклонного сечения при действии поперечной силы в общем виде:

(3.50)

Для исключения разрушения балки по схеме рис. 3.17,а необходимо, чтобы поперечная сила Q, действующая в конце наклонного сечения, могла быть воспринята усилиями, возникающими в отогнутой арматуре , в хомутах , в продольной арматуре и в бетоне сжатой зоны Q_b, т.е.:

, (3.51)

или в развернутом виде

, (3.52)

где R_sw – расчетное сопротивление отогнутой арматуры и хомутов; A_si – площадь одного отогнутого стержня; - угол наклона отогнутого стержня к продольной оси балки; A_sw – площадь хомутов расположенных в одной плоскости (рис. 3.18,а).

К моменту разрушения балки по рассматриваемой схеме не во всех отогнутых стержнях и хомутах напряжения достигают предела текучести. Это учитывается коэффициентом условий работы m_a4=0,8, вводимым к расчетному сопротивлению арматурной стали R_s, т.е. . А при применении хомутов арматурной стали класса А400, если их диаметр менее 1/3 диаметра продольных стержней, учитываемых в расчетах на поперечную силу, напряжения в хомутах на должны превышать 245 Мпа при их диаметре 8 мм и 255 Мпа при диаметре 10мм и более.

Поперечная сила , воспринимаемая продольной арматурой, Н:

, (3.53)

где - площадь горизонтальной арматуры, пересекаемой наклонным сечением, м²;

Коэффициент k определяют из условия:

, (3.54)

где - угол между наклонным сечением и продольной арматурой, град.

Из формулы (3.54) следует, что продольная арматура в расчетах прочности наклонного сечения учитывается лишь в том случае, когда угол наклона рассматриваемого сечения по отношению к продольной арматуре находится в пределах от 50⁰ до 90⁰_.

Поперечная сила, воспринимаемая бетоном сжатой зоны:

, (3.55)

где R_bt – расчетное сопротивление бетона осевому растяжению при расчете по предельным состояниям первой группы; с – длина проекции наклонного сечения на продольную ось элемента; m – коэффициент условий работы, подсчитываемый по формуле:

, (3.56)

но не менее 1,3, и не более 2,5.

В формуле (3.56):

R_b,sh – расчетное сопротивление бетона скалыванию при изгибе; - наибольшее скалывающее напряжение, получаемое в расчете по трещиностойкости в нормальном к оси балки сечении, проходящем через конец наклонного сечения.

При проверку прочности наклонного сечения можно не производить.

В формулах (3.50) и (3.51): Q – поперечная сила от внешних нагрузок в конце наклонного сечения. В практических расчетах часто в эти формулы подставляют величины поперечной силы у опорного вертикального сечения, что идет в запас прочности наклонного сечения.

Анализ формул (3.52)…(3.55) показывает, что величина поперечной силы, воспринимаемой наклонным сечение, от его проекции c зависит неоднозначно. С увеличением с увеличивается число пересекаемых наклонным сечением хомутов и отгибов, т.е. увеличиваются два первых числа в формуле (3.52), но в то же время уменьшается поперечная сила Q_b, воспринимаемая бетоном сжатой зоны. Следовательно, наиболее опасным будет сечение, в котором правая часть условия (3.52) будет минимальной.

Невыгоднейшее наклонное сечение следует определять путем сравнительных расчетов из условия минимума поперечной силы, воспринимаемой бетоном и арматурой. При расчетах с использованием ЭВМ можно рассмотреть сколько угодно большее число наклонных сечений, идущих под различными углами от точек, взятых на нижней грани балки. В расчетах без применения ЭВМ, в общем случае, необходимо рассматривать следующие наклонные сечения, каждое из которых может оказаться наиболее слабым из условия восприятия поперечной силы (рис. 3.19):

идущие от внутренней грани опорных частей к точкам приложения сосредоточенных сил (линия 1), к концам отогнутых стержней (линия 2), к местам изменения шага хомутов от s1 до s2 (линия 3) или толщины стенки (линия 4);

идущие от начала отгибов к точкам приложения сосредоточенных сил (линия 5), к концам отгибов (линия 6), к месту изменения толщины стенки (линия 7).

Для наглядности отгибы и хомуты, а также соответствующие им наклонные сечения, на рис. 3.19 показаны в виде отдельных схем.

Для каждого из указанных сечений будет своя длина проекции e, конкретное число пересекаемых отогнутых стержней и хомутов.

а)

б)

Рис. 3.18. Схемы для проверки прочности наклонного сечения:

а) – на действие поперечной силы; б) – на действие изгибающего момента

Рис. 3.19. Возможные расположения наиболее опасных наклонных сечений:

а – при постоянной толщине стенки; б – при переменной толщине стенки

Нормы проектирования на участке длиной 2h₀ рекомендуют делать проверку наклонных сечений, проведенных под углом 45⁰ к вертикальному сечению.

Конец наклонного сечения во всех случаях должен находиться в центре сжатой зоны бетона. Высоту сжатой зоны бетона, измеряемую по нормали к продольной оси балки, можно определить из условия равенства проекций усилий в бетоне сжатой зоны и усилий в арматуре на продольную ось балки, при этом напряжения в бетоне сжатой зоны принимают равным его расчетному сопротивлению:

, (3.57)

где - угол наклона отогнутого стержня к горизонтали.

Из равенства (3.57) определяют площадь сжатой зоны , а затем ее высоту и положение центра тяжести. Полученная высота сжатой зоны должна быть не менее , в противном случае, арматуру не учитывают.

Не будет большой ошибки, если центр тяжести сжатой зоны принимать в середине плиты.

Условие прочности (3.50), при выполнении которого исключается разрушение балки по наклонному сечению по рис.3.17,в, в развернутом виде:

, (3.58)

Величину коэффициента , учитывающего влияние хомутов на прочность стенки, подсчитывают по формуле:

, (3.59)

где - эмпирический коэффициент, принимаемый равным 5 при хомутах, нормальных к продольной балке, и равным 10 при наклонах под углом 45⁰ (при промежуточных углах наклона хомутов, величину принимают по интерполяции); n₁ – отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона (n₁=E_s/E_b); ; - площадь сечения всех ветвей хомутов, расположенных в одной плоскости; - шаг хомутов (расстояние между хомутами по нормали к ним); b – толщина стенки (ребра).

При расположении хомутов перпендикулярно к продольной оси балки коэффициент должен быть не более 1,3.

Коэффициент , зависит от прочности бетона, его принимают равным 1-0,01R_b.

Прочность наклонного сечения на действие изгибающего момента будет обеспечена при выполнении условия:

(3.60)

Для исключения разрушения балки по схеме рис.3.17,б должно выполняться условие:

, (3.61)

где M – момент всех внешних сил, расположенных по одну сторону сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести площади сжатой зоны бетона в конце наклонного сечения; - соответственно моменты, которые могут быть восприняты продольной арматурой, хомутами, отгибами.

Принято, что при разрушении от действия изгибающего момента полностью используется прочность всей арматуры (кроме продольной арматуры сеток, которую в расчете не учитывают). Условие прочности (3.61) при этом принимает вид (рис.3.19,б):

, (3.62)

где z_s – расстояние от центра тяжести площади продольной арматуры до центра тяжести площади сжатой зоны бетона; - то же для хомутов одной плоскости; z_i – то же для одного отгиба продольной арматуры.

Высоту сжатой зоны наклонного сечения, измеряемую по нормли к продольной оси балки и центр тяжести сжатой зоны определяют исходя из условия (3.57). Но с достаточной для практических целей точностью можно принять, что центр сжатой зоны, как и в расчете прочности наклонного сечения на действия поперечной силы, находится в середине высоты плиты.

3.2.2.5 Расчеты по второй группе предельных состояний.

Для недопущения предельных состояний второй группы в соответствии с нормами проектирования мостовых конструкций производятся расчеты по трещиностойкости и по деформациям.

Ко всем железобетонным конструкциям, в зависимости от их вида и назначения, принимаемой арматуры и условий работы, предъявляются определенные требования по трещиностойкости. Эти требования нормами проектирования разделены на три категории, которые характеризуются допускаемыми значениями напряжений в бетоне и предельно допустимой шириной раскрытия трещин.

Мостовые конструкции из обычного железобетона рассчитывают с учетом требований по категории трещиностойкости 3в, которыми допускается раскрытие трещин ограниченной ширины. Нормами проектирования установлено два вида расчетов по трещиностойкости: по раскрытию трещин и по образованию трещин.

Расчет по раскрытию трещин сводится к выполнению условия:

, (3.63)

т.е. ширина раскрытия трещины a_cr должна быть не более допустимой , равной 0,02.

Ширину раскрытия трещин a_cr определяют по тем же зависимостям, что и в расчетах плиты балластного корыта. Необходимы лишь некоторые уточнения по определению площади зоны взаимодействия A_r в формуле (3.33).

Рабочая продольная арматура балки практически всегда располагается в несколько рядов. Зона взаимодействия ограничивается горизонтальной линией, проводимой на расстоянии радиуса взаимодействия r=6d от ближайшего к ней ряда стержней. Но если площадь всех стержней в этом ряду меньше половины площади сечений стержней в каждом из последующих рядов, то расстояние до границы зоны взаимодействия откладывают от предыдущего ряда (рис. 3.20). Кроме того, рабочая арматура балки может применяться в виде пучков. При армировании группами из двух стержней, коэффициент в формуле (3.33) принимают равным 0,85, а при армировании группами из трех и более стержней – равным 0,75.

Рис 3.20. Схема к определению площади зоны взаимодействия арматуры с бетоном:

а – для одиночных стрежней; б – для пучков

Зона взаимодействия не должна выходить за нейтральную ось сечения.

Расчет по образованию продольных трещин в главной балке делается так же, как и в плите балластного корыта.

Наклонные сечения балок из обычного железобетона рассчитывают только по раскрытию трещин, т.е. должно выполняться условие (3.63). Допускаемая ширина раскрытия трещин принимается такой же, как и для нормальных трещин, т.е. равной 0,02 см. Ширину раскрытия трещины определяют по формуле 3.32, а напряжения в отгибах, хомутах и продольной арматуре стенок (ребер) при этом подсчитывают по формуле:

,

где - коэффициент, учитывающий перераспределение напряжений в зоне образования наклонной трещины; -касательные напряжения в бетоне на уровне центра тяжести приведенного сечения; -коэффициент армирования стенки на участке наклонной трещины.

, (3.64)

где A_si, A_sw, A_sl – соответственно площадь одного отогнутого стержня, одного стержня хомута, одного продольного стержня; - соответственно углы наклона отогнутых стержней продольной рабочей арматуры, хомутов, продольных стержней к рассматриваемому наклонному сечению; b – ширина ребра на уровне центра тяжести сечения; l_i – длина предполагаемой наклонной трещины.

Длину наклонной трещины l_i в двутавровых балках измеряют между вутами поясов (рис. 3.21), в тавровых – от ближайшего к нейтральной оси ряда растянутой рабочей арматуры до начала вута верхнего пояса.

Направление наклонной трещины принимают перпендикулярным главным растягивающим напряжениям в центре тяжести приведенного сечения. Угол φ между главными растягивающими напряжениями и осью балки определяется из условия:

, (3.65)

где - нормальные и касательные напряжения в центре тяжести плоского вертикального сечения; - нормальные напряжения по горизонтальной площадке в той же точке.

Так как в балках из обычного железобетона на уровне оси, проходящей через центр тяжести приведенного сечения, , а мало, то из формулы (3.65) следует, что , следовательно, наклонную трещину следует принимать направленной под углом 45⁰ к оси балки. Если наклонные стержни отогнуты под углом 45⁰, то , .

Значение коэффициента подсчитывают по формуле:

.

Величину радиуса армирования R_r при определении коэффициента раскрытия трещин определяют по формуле:

,

где , - коэффициенты, учитывающие степень сцепления арматурных стержней с бетоном; - соответственно число наклонных стержней, хомутов и продольных стержней в пределах наклонного сечения; - диаметры соответственно наклонных стержней, хомутов и продольных стержней; - то же, что и в формуле (3.64).

Рис.3.21. Схема к определению ширины раскрытия наклонной трещины

Расчет по деформациям (по ограничению прогибов) сводится к выполнению условия:

, (3.66)

где f_0,5 – прогиб в середине пролета, вызываемый временной вертикальной нагрузкой;

f_пред – предельный допускаемый прогиб, подсчитываемый по формуле:

, (3.67)

где l – расчетный пролет, м.

Для однопролетных мостов f_пред увеличивают на 20%.

Прогиб в середине пролета подсчитывают по формуле:

, (3.68)

где - коэффициент, исключающий из нагрузки редко обращающиеся тяжелые транспортеры; - временная эквивалентная нагрузка на пролетное строение; - момент инерции приведенного сечения.

Коэффициент 0,85 учитывает влияние трещин на жесткости сечений. Кроме того, для бетонов, подвергнутых тепловлажностной обработке, которую при изготовлении конструкций заводского и полигонного изготовления применяют всегда, величина модуля упругости бетона уменьшается на 10%, т.е. к величине E_b в формуле (3.68) вводят дополнительный коэффициент, равный 0,9.

Контрольные вопросы к п. 3.2.2

1. Какую расчетную схему принимают при расчете разрезной главной балки?

2. На какие внутренние усилия рассчитывают главную балку?

3. Как зависит армирование балки от её высоты?

4. При каких условиях нагрузку от собственного веса балки можно принимать как равномерно распределенную?

5. Как зависит величина эквивалентной нагрузки при езде на балласте от длины загружения линии влияния?

6. Назовите основные отличия формул для определения внутренних усилия в расчетах по прочности и по выносливости.

7. С какой целью и как фактическое сечение главной балки заменяют условным (расчетным) сечением?

8. Почему и как ширина плиты в сечении главной балки в расчетах может быть уменьшена?

9. Как назначают предварительное армирование главной балки рабочей арматуры?

10. С какой целью делают отгибы стрежней рабочей арматуры? Назовите основные установленные нормами проектирования правила расположения отгибов.

11. Сколько стержней рабочей продольной арматуры должно быть заведено за опорное сечение? Как должны быть отогнуты их концы?

12. Как располагают хомуты по длине пролетного строения? Какой минимальный диаметр для них установлен нормами проектирования?

13. Как располагают продольную арматуру в стенках балок?

14. Почему хомуты и продольную арматуру в стенке балок можно рассматривать как расчетную и как монтажную?

15. Какая стадия напряженного состояния положена в основу расчетов по прочности нормальных сечений изгибаемых балок? Какие допущения при этом приняты в расчетных формулах?

16. Сформулируйте условие прочности нормального сечения изгибаемой балки в общем виде.

17. При каких условиях в расчетах нормальных сечений изгибаемой балки может учитываться верхняя сжатая арматура?

18. Из какого условия определяют высоту сжатой зоны нормального сечения изгибаемой балки в расчетах по прочности?

19. Почему нормами проектирования относительную высоту сжатой зоны ограничивают предельной величиной ? Как поступают в том случае, если это условие не выполняется?

20. Какие допущения приняты при проверке нормального сечения изгибаемой балки в расчетах по выносливости и на трещиностойкость? Из какого условия определяют высоту сжатой зоны в этих расчетах?

21. Почему сварные соединения арматурных стержней могут уменьшить величину расчетного сопротивления арматурной стали в расчетах по выносливости? Как это учитывают нормы проектирования?

22. Какой вид может иметь разрушение балки от действия поперечной силы? От чего он зависит?

23. Сформулируйте условие прочности наклонного сечения в общем виде в расчетах на действие поперечной силы и на действие изгибающего момента.

24. От каких факторов зависит предельно допустимая величина поперечной силы в расчетах прочности наклонного сечения?

25. Как зависит величина поперечной силы, воспринимаемой бетоном сжатой зоны, от длины проекции наклонного сечения?

26. При каком условии в расчетах прочности наклонного сечения учитывают продольную рабочую арматуру?

27. От каких факторов зависит величина предельной поперечной силы, при которой происходит раздробление бетона стенки балки?

28. Относительно какой оси определяют моменты сил в расчетах прочности наклонного сечения на действие изгибающего момента?

29. Как определяют площадь взаимодействия арматуры с бетоном в расчетах трещиностойкости нормальных к оси балки и наклонных сечениях?

30. Почему в расчетах трещиностойкости наклонного сечения в балках из обычного железобетона угол наклона трещины принимают равным 45 ⁰?

31. Как определяют длину наклонной трещины в расчетах на трещиностойкость?

32. Какие факторы учитывают при определении прогиба в середине пролета?

33. Что определяет установленную нормами проектирования величину предельно допустимого прогиба пролетного строения?