4. Уравнение нагрева непроточного электродного нагревателя
Таким образом, имея зависимость мощности электродного нагревателя от основных параметров его системы электродов, можно установить и динамику изменения температуры во времени.
Для ёмкостного (непроточного) нагревателя предполагается, что существует интенсивная теплопередача из межэлектродного пространства (зоны нагрева) в зону накопления жидкости. Она может быть обеспечена или за счёт естественной конвекции, или за счёт работы циркуляционного насоса. В результате температура жидкости в межэлектродном пространстве и в баке аккумуляторе одинакова. Предположим также, что теплопотери через стенки бака по сравнению с мощностью нагревателя и теплоёмкость стенок бака по сравнению с теплоёмкостью массы нагреваемой жидкости пренебрежительно малы.
Тогда уравнение теплового баланса нагревателя будет иметь следующий вид
,
(17)
где
слева энергия, выделяемая в межэлектродном
пространстве за время dt,
а справа энергия, затраченная на повышение
температуры объёма V
жидкости нагревателя, обладающей
удельной теплоёмкостью
и плотностью , на
dT градусов.
Разделив переменные T и t в полученном дифференциальном уравнении
,
(18)
умножим числитель и знаменатель правой части выражения на 40 и введём под знак дифференциала в правой части постоянное число 20. Решение полученного дифференциального уравнения осуществим путём интегрирования правой и левой его частей
.
(19)
После интегрирования (интегралы
слева и справа табличные) и раскрытия
пределов получим зависимость времени,
необходимого для нагрева жидкости от
начальной температуры
до температуры
.
(20)
Постоянная перед логарифмом в выражении имеет размерность времени. С учётом того, что коэффициент 40 в числителе имеет размерность температуры, числитель это количество энергии, которое необходимо затратить для нагрева объёма воды на 40 оС. Знаменатель это мощность нагревателя при температуре жидкости, равной 20 оС. Таким образом, постоянная времени нагрева ( обозначим её символом ) это время, которое необходимо затратить для нагрева объёма воды, находящейся в баке электродного нагревателя, на 40 оС, если бы мощность нагревателя оставалась неизменной и равной мощности при 20 оС
.
(21)
Выразим входящую в полученное уравнение удельную проводимость воды при 20 оС через удельную проводимость воды при начальной температуре нагрева
.
(22)
В результате получим
.
(23)
Для упрощения записи и анализа выражения обозначим сумму числа 20 и температуры воды символом и назовем её превышением температуры воды над температурой –20 оС. В результате будем иметь
.
(24)
Таким образом, (в более общем виде)
постоянная времени нагрева
это время, которое необходимо затратить
для нагрева объёма воды на
градусов, если бы мощность водонагревателя
за это время оставалась неизменной и
равной мощности при начальной температуре
воды
.
(25)
Окончательно выражение t=f() примет вид
.
(26)
Зависимость превышения температуры воды от времени нагрева =f(t) может быть получена путём возведения числа е в степень, равную правой и левой частям выражения
.
(27)
Натуральное число е, возведённое в степень, равную натуральному логарифму числа, равно самому числу, стоящему под знаком логарифма. Т. е.
,
(28)
откуда
.
(29)
Из выражения следует, что за время превышение температуры увеличивается в 2,71 раза.
На рисунке, приведённом ниже, показан график указанной зависимости для случая, когда начальная температура воды равна нулю. Эта же кривая может быть использована для иллюстрации зависимости для любой другой начальной температуры. Для этого достаточно перенести начало оси времени в точку кривой, соответствующую фактической начальной температуре. Дальнейший нагрев воды пойдёт по той же кривой с той же самой величиной постоянной времени нагрева.
Рис.5. График зависимости температуры от времени нагрева воды в электродном водонагревателе ёмкостного типа.