2.4.3. Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое

Чтобы перевести дробное десятичное число в систему счисления с основанием n надо:

1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов.

2. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе, начиная после целой части первого произведения.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления; поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов в дробной части, округляя последний разряд.

А₁₀ = 0,125.

0	125 *2
0	250 *2
0	500 *2
1	000

А₂ = 0,001.

0	125 *8
1	000

А₈ = 0,1.

0	125 *16
2	000

А₁₆ = 0,2.

2.4.4. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Перевод чисел в десятичную систему счисления можно сделать по формулам степенного ряда. Главное, что конечный результат не за­висит от способа преобразования. Например

A₁ = 100100,1001₂, А₂ = 234,5₈ и А₃ = АВС,Е_]6.

Перевод по степенному ряду выглядит так:

А₁ = 100100,1001₂ = 1  2⁵ + 0  2⁴ + 0  2³ + 1  2² + 0  2¹ + 0  2⁰ + 1  2^-1 +

+ 0  2^-2 + 0  2^-3 +1  2^-4 = 32 + 4 + 0,5 + 0,0625 = 36,5625₁₀;

А₂ = 234,5₈ = 2  8² + 3  8¹ + 4  8⁰ + 5  8^-1 = 128 + 24 + 4 + 0,625 = 156,625₁₀;

А₃ = АВС,Е₁₆ = 10  16² + 11  16¹ + 12  16⁰ + 14  16^-1 = 2560 + 176 + 12 +

+ 0,875 = 2748,875₁₀.

2.5. Арифметические действия над двоичными числами

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам.

2.5.1. Сложение

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с уче­том возможных переносов из младших разрядов в старшие.

	1	1	0
+		1	1
1	0	0	1

Проверим правильность вычислений сложением в деся­тичной системе счисления. Переведем двоичные числа в де­сятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂ = 1  2² + 1  2¹ + 0  2⁰ = 6₁₀;

11₂ = 1  2¹ + 1  2⁰ = 3₁₀;

6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Переведем результат двоичного сложения в деся­тичное число:

1001₂ = 1  2³ + 0  2² + 0  2¹ + 1  2⁰ = 9₁₀ .

Сравним результаты – сложение выполнено правильно.

	1	0	0	1			1	1	0	1			1	1	1	1	1			1	0	1	0	0	1	1	,	1	1	1
+	1	0	1	0		+	1	0	1	1		+	0	0	0	0	1		+			1	1	0	0	1	,	1	1	0
1	0	0	1	1		1	1	0	0	0		1	0	0	0	0	0			1	1	0	1	1	0	1	,	1	0	1