- •§ 1. Понятие игры. Классификация игр
- •§ 2. Антагонистические игры в нормальной форме
- •Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры
- •Примеры
- •. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
- •Упражнения к § 2.1. – 2.2.
- •Смешанное расширение игры
- •Методы решения матричных игр
- •Сведение игры к системе неравенств
- •Графический (графоаналитический) метод решения игры
- •3. Сведение игры к задаче линейного программирования
- •Существование оптимальных стратегий. Теорема фон Неймана-Нэша
- •Упражнения к § 2.3–2.5.
- •2.6. Доминирование стратегий
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.6.
- •2.7. Бесконечные антагонистические игры
- •Упражнения к § 2.7.
- •2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.8.
- •§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме
- •3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры
- •3.2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Равновесие в доминирующих стратегиях
- •Равновесие по Нэшу
- •Сильное равновесие по Нэшу
- •Равновесие по Парето
- •Равновесие по Штакельбергу
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Упражнения к § 3.
Упражнения к § 2.7.
№ 1 (игра типа бесшумной дуэли). Каждому из дуэлянтов разрешается стрелять только 1 раз. Каждый имеет «шумный пистолет», то есть. каждый знает, когда выстрелил его противник. Вероятность попадания Р1 в момент времени x (функция меткости) – определена, непрерывна, монотонно возрастает на отрезке [0, 1], , . Аналогично, точность выстрела второго игрока (функция ) непрерывна, монотонно возрастает на [0, 1], . Если игрок 1 поражает игрока 2, то Р1 получает выигрыш +1, если его поражает игрок 2, то выигрыш –1; если оба игрока стреляют одновременно и с одинаковым результатом (успешно или нет), то выигрыш Р1 равен 0. Построить функцию выигрыша первого игрока, если выигрыш в каждой ситуации равен разности вероятности попадания и вероятности того, что противник попадет в него.
№ 2. Построить функцию выигрыша первого игрока в шумной дуэли, если остальные правила игры определены в задаче №1.
№ 3. В игре множества стратегий каждого из игроков совпадают: функция выигрыша вычисляется по следующей формуле:
Показать, что:
1) не существует нижняя и верхняя цена игры;
2) цена игры v=1;
3) -оптимальные ситуации равновесия , .
2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
В данном параграфе рассмотрим игру, в которой два участника, одним из них (Р2) считается «природа», внешняя среда, ее поведение непредсказуемо. В таких играх сознательно действует только один из игроков (Р1). Природа сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
Игра с природой задается одним из следующих способов.
1. Задание матрицей игры.
Данный способ задания аналогичен матричной игре.
Пусть первый игрок имеет m возможных стратегий: . У природы имеется n возможных состояний: . Условия игры с природой задаются матрицей A выигрыша первого игрока:
, где – выигрыш первого игрока, который он получит, если выберет стратегию , а состоянием природы будет .
2. Задание в виде матрицы рисков , или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии природы. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей A.
Риском игрока при использовании им стратегии и состоянии природы называется разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет , и выигрышем, который он получит, не имея такой информации: , где .
Понятие доминирования в играх с природой имеет определенную специфику. Исключать из рассмотрения можно доминируемые стратегии только первого игрока.
Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности: известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, то есть имеет ли место ситуация риска (нет информации о вероятностях) или неопределенности (вероятности известны).