2. Типы динамических моделей.

При математическом моделировании некоторого процесса его конкретная реа лизация описывается в виде соответствия между элементами множества Х возможных "значений" х и элементов упорядоченного множества Т "моментов времени" t, т.е. в виде отображения

.

С помощью этих понятий можно строить математические модели систем (рис. 10).

Рассматривая выход y(t) системы (это может быть вектор) как ее реакцию на управляемые u(t) и неуправляемые v(t) входы

,

можно модель "ЧЯ" выразить как совокупность двух процессов:

,

.

Рис. 10

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф процесса х(t) ,т.е. , то модель "ЧЯ" предполагает, что это преобразование неизвестно.

В том случае, если мы имеем дело с "белым ящиком", соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом. Какой именно способ – зависит от того, что именно нам известно, и в какой форме можно использовать эти знания.

В наиболее общей модели вводится понятие состояния системы как некоторой (внутренней) характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние можно рассматривать как хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее.

Обозначим это состояние через z(t).

Все сказанное выше означает существование такого отображения

, что

(1)

Явная зависимость от введена для учета возможности изменения зависимости выхода от состояния с течением времени. Это отображение называется отображением выхода.

Для завершения построения модели нужно описать связь между входом и состоянием, т.е. ввести параметрическое семейство отображений :

,

заданных для всех значений параметров , и .

Это означает принятие аксиомы о том, что состояние в любой момент времени однозначно определяется состоянием в момент и отрезком реализации входа x от до :

. (2)

Такое отображение называют переходным отображением.

Итак, математическая модель системы, соответствующая уровню "белого ящика", – это задание множеств входов, состояний и выходов, и связей между ними:

(3)

Конкретизируя множества X, Z, Y и отображения и , можно перейти к моделям различных систем.

• Если множество Т дискретно или непрерывно, то говорят о дискретных или непрерывных системах.

• Если множества X, Z, Y дискретной по времени системы имеют конечное число элементов, то такую систему называют конечным автоматом. Это довольно простой класс систем в том смысле, что для исследования конечных автоматов необходимы лишь методы логики и алгебры; в то же время это широкий и практически важный класс, так как в него входят все дискретные (цифровые) измерительные, управляющие и вычислительные устройства, в том числе и ЭВМ.

• Если X, Z, Y ­– линейные пространства, а и – линейные операторы, то и система называется линейной. Основным свойством линейных систем является выполнение принципа суперпозиции, т.е. условия

, где

– некоторые входные воздействия,

– выходные отклики на каждый из них в отдельности.

• Если к линейной системе дополнительно предъявить требования, состоящие в том, чтобы пространства имели топологическую структуру, а и были бы непрерывны в этой топологии, то мы приходим к гладким системам. Задание топологической структуры множества позволяет строго определить основные понятия анализа на этом множестве, например, сходимость последовательностей на нем, а также вводить метрику (меру близости между элементами пространства). Класс гладких систем имеет большее значение, так как оказывается, что для них переходное отображение является общим решением дифференциального уравнения

, (4)

а для дискретных систем – общим решением уравнения

, (5)

где – траектория для моментов времени .

• Если свойства систем со временем не изменяются, то такие системы называются стационарными. Стационарность означает независимость от времени функции и инвариантность функции к сдвигу во времени.

,

где есть , сдвинутое на время .

Конкретизация моделей динамических систем на этом не заканчивается; приведенные модели являются примерами, которые можно рассматривать отдельно.

Но на одном свойстве реальных динамических систем следует остановиться. Речь идет о подчиненности реальных систем принципу причинности.

Принцип причинности:

Отклик системы на некоторое воздействие не может начаться раньше самого воздействия.

Это условие, очевидное для реальных систем, совсем не автоматически выполняется в рамках их математических моделей. При этом модель, в которой нарушается принцип причинности, не обязательно является "плохой", бесполезной. Однако когда возникает вопрос о практической реализации такой модели, становится ясно, что она невозможна в точном смысле, хотя допустимы различные приближения.

В связи с этим одна из проблем теории динамических систем состоит в выяснении условий физической реализуемости теоретических моделей, т.е. конкретных ограничений, которые приходиться накладывать на модель при соблюдении принципа подчиненности.