Построение эпюр m, q, n

П

конец стержня (1). Обозначать характерные точки можно буквами или цифрами (рис. П.14). Таким образом, получено 7 участков (A-3, 3-4, 1-2, и т.д.). Будем определять усилия на каждом участке. Но предварительно оценим характер эпюры на каждом участке.

остроение эпюр будем производить по участкам, на которые рама делится характерными точками. Напомним, что это точки на оси рамы, примыкающие к опорам (A,B); точки приложения сосредоточенных сил и моментов (2,6); точки, ограничивающие участок действия распределённой нагрузки (3,5); точки узловых соединений стержней разных направлений (3,4,5); свободный

Рис. П14

1. Если эпюра на участке постоянна – делаем сечение в любом месте участка и находим одно значение.

2. Если эпюра на участке линейна – делаем сечение в начале и в конце участка. Полученные значения соединяем прямой линией.

3. Если эпюра на участке криволинейна, (например, квадратная парабола на эпюре моментов), – делаем сечение в начале и в конце участка. Далее находим третью ординату. Как правило, это экстремальное значение изгибающего момента. Такая координата соответствует нулю на эпюре поперечных сил.

У

положительно – от сечения. Определим эти усилия с помощью уравнений статики, составленных для нижней отсеченной части:

часток A-3. Определяем M_A-3, Q_A-3, N_A-3 – момент, поперечную и продольную силы в точке А на участке А-3. Для этого делаем сечение чуть выше точки А (сечение I-I). Рассмотрим равновесие нижней части (рис. П15). Направление внутренних усилий выбираем следующие: момент направляем произвольно (в данном случае направление М_А-3 соответствует растяжению правых волокон). Поперечную силу Q_A-3 направляем положительно, то есть по ходу часовой стрелки вокруг отсеченной части. Продольную силу N_A-3 также направляем

Рис. П15

Найдём усилия M_3-А, Q_3-А, N_3-А. Сечение при этом производим вблизи точки 3 на участке А-3 (сечение II-II). Отсеченная часть показана на рис. П16.

Откладывая значения полученных усилий, строим эпюры M, Q, N на участке A-3. Обратим внимание, что значения поперечной и продольной сил на участке A-3 постоянны. Поэтому в дальнейшем на участках, где отсутствует распределённая нагрузка, будем определять их один раз в любом сечении участка

Рис. П16

Э пюру моментов строим на растянутых волокнах, знак на эпюре не ставится.

В данном случае растянуты левые волокна. Внутренний момент М_3-А на рис. П.16 соответствует растяжению правых волокон. Он получился отрицательным, следовательно, направлен противоположно и соответствует растяжению левых волокон. Знаки плюс и минус на эпюрах Q и N откладываем с любой стороны от оси стержня.

Рис. П17. Эпюры на участке А-3

При определении усилий на других участках рамы не будем отдельно показывать отсеченную часть и искомые внутренние усилия. Знаки и значения этих усилий можно найти по внешней нагрузке.

Участок 3-4. Определим момент M_3-4. Делаем сечение вблизи точки 3 на участке 3-4 (сечение III-III, см. рис. П14) . Составляем уравнение: сумма моментов относительно точки сечения для всех силовых факторов левой части рамы. При этом в качестве положительного можно принимать любое направление момента. Будем, например, считать положительным момент, который создают внешние силы левой части, если он направлен против хода часовой стрелки. Тогда (растянуты верхние волокна).

Для определения момента M_4-3 делаем сечение вблизи точки 4 на участке 3-4 (сечение IV-IV). Рассмотрим также равновесие левой части.

Эпюра моментов на этом участке криволинейна (квадратная парабола). Момент M_4-3 будем откладывать на нижних волокнах, так как в выражении этого момента преобладает составляющая, которая вызывает растяжение нижних волокон (момент от реакции V_A).

Для определения положения растянутых волокон можно использовать следующий приём. Показываем отсеченную часть, при этом в сечение помещаем заделку. Вектора реакций представляем в виде внешней нагрузки (опоры отбрасываем). Такая схема будет иметь точно такие же эпюры внутренних силовых факторов, как и отсеченная часть исходной системы. Однако положение растянутых волокон в ней определяются проще. Так, например, на рис. П18,а показана отсеченная часть, используемая при определении M_4-3. Из рисунков видно, что горизонтальная сила и распределённая нагрузка растягивают на участке 3-4 верхние волокна (рис. П18,б), а вертикальная сила – нижние (рис.П18,в).

Значение поперечной силы определим в двух крайних точках участка 3-4. Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме всех внешних сил отсеченной части, которые направлены перпендикулярно оси стержня, где сделано сечение. Определяем Q_3-4 (сечение III-III).

Знак поперечной силы в сечении III-III плюс, так как вектор реакции V_A поворачивает сечение III-III по ходу часовой стрелки. Для определения Q_4-3 проводим сечение IV-IV. В выражении Q_4-3 реакция V_A войдёт со знаком плюс, так как она вызывает поворот сечения по ходу часовой стрелке. Равнодействующая распределенной нагрузки будет иметь знак минус, так как стремится повернуть сечение против хода часовой стрелки:

Продольная сила на участке 3-4 постоянна и численно равна сумме внешних сил в отсеченной части, направленных вдоль оси стержня (в данном случае это реакция H_А). Для определения N_3-4 можно провести сечение через любую точку участка 3-4 (например, сечение III-III). Реакция войдет в выражение продольной силы со знаком минус, так как она направлена к сечению и вызывает сжатие волокон стержня.

Участок 1-2. Проведём сечение в любой точке этого участка (например, сечение V-V) и рассмотрим равновесие нижней отсечённой части. Получим следующие выражения внутренних усилий на этом участке:

Аналогичным образом определим усилия на других участках рамы.

У

(растянуты правые волокна).

часток 2-4.

(постоянные величины).

У

((растянуты нижние волокна).

часток 4-5.

(постоянная величина).

У

(растянуты левые волокна)

часток 5-6.

(постоянные величины).

Участок 6-В.

(постоянные величины).

Рис. П19

Откладываем полученные значения на каждом участке рамы. Окончательные эпюры M, Q, N показаны на рис. П19.

На участке 3-4 эпюра Q не имеет нулевого значения. Это означает, что эп. М на этом участке имеет экстремальные значения (минимум и максимум) по краям участка (36 кНм и 42 кНм). В этом случае криволинейная эпюра моментов может быть построена по двум значениям. Необходимо показать лишь криволинейный характер этой эпюры.

П

9 кН

роверка правильности построения эпюр заключается в проверке равновесия узлов (рис. П20). Для этого проведем замкнутое сечение вокруг каждого узла (бесконечно близко к узловой точке) и покажем внутренние усилия со стороны всех стержней, примыкающих к узлу. Если имеет место узловая нагрузка, её также необходимо учесть. Далее для каждого узла составляем 3 уравнения статики: сумма моментов относительно узловой точки и сумма проекций на оси x и y. Если узел находится в равновесии, все уравнения должны тождественно равняться нулю. Выполним такую проверку для узлов 3, 4, 5.

16 кН

3

Узел 3

9 кН

36 кНм

9 кН

16 кН

36 кНм

4

9 кН

4 кН

24кНм

18 кНм

9 кН

42кНм

4 кН

Узел 4

30 кНм

8 кН

30 кНм

8 кН

5

Узел 5

Рис. П20

Все узлы находятся в равновесии.

Отметим, что на эпюре М в двухстержневых узлах (3 и 5) равновесие просматривается без дополнительного вырезания этих узлов. Видно, что двухстержневые узлы в равновесии, если узловые значения в них равны и откладываются с одной стороны узла (либо с внутренней, либо с наружной).

Контрольные вопросы для самопроверки

1. Как проверить правильность определения опорных реакций?

2. Что значит отрицательное значение опорной реакции?

3. Какие точки при построении эпюр называются характерными?

4. Зачем проводится сечение при определении внутренних усилий?

5. Как определяется численное значение изгибающего момента в сечении балки или рамы?

6. Как определяется численное значение поперечной и продольной сил в сечении бал­ки и рамы?

7. Назовите правило знаков при определении М, Q и N.

8. Как определить растянутые волокна при нахождении момента в сечении?

9. Какова связь между внутренними усилиями в сечениях, примыкающих к жесткому узлу?

10. Какая связь между эпюрами М и Q, и как она используется для проверки правильности построения эпюр.

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

О

Дан вектор V. Требуется определить плечо R, с которым вектор создаёт момент относительно точки О (рис. П21). Для решения задачи построим треугольник 123, вершинами которого являются точки на оси вектора V (1 и 2) и

ПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛЕЧА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО МОМЕНТНОЙ ТОЧКИ O ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ УЗЛОВ

V

R

Рис. П21

О

м

Введём систему координат x y, где начало координат совместим с моментной точкой O (или точкой 3).

Выразим площадь треугольника через координаты узлов . Так как координаты точки 3 x₃ = y₃=0, то

оментная точка (3). Нумерация узлов должна идти против хода часовой стрелки. Площадь этого треугольника равна . Откуда .

Рис. П22

Длина отрезка 1-2 равна: где .

Окончательно получим: . Координаты точек могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 1. Определим R для схемы, изображённой на рис. П23.

Узлы	x	y
1	4	0,5
2	1	3
	∆x = -3	∆y = 2,5

Рис. П23

Пример 2. Определим R для схемы, изображённой на рис. П24.

Узлы	x	y
1	-4	-1
2	-1,4	-2,8
	∆x = 2,6	∆y = -1,8

98