Правило знаков

1. При определении изгибающего момента. Значение изгибающего момента откладываются со стороны растянутого волокна. Знак момента определяется только в балке. Условно считается, что если при изгибе в балке растянуты верхние волокна, изгибающий момент  отрицателен. Если растянуты нижние волокна, момент положителен.

2. При определении поперечной силы. Поперечная сила считается положительной, если она направлена по ходу часовой стрелке относительно отсечённой части (и наоборот). Можно определять знак поперечной силы по внешней нагрузке. Если внешняя нагрузка стремится повернуть отсечённую часть относительно точки сечения по ходу часовой стрелки, то поперечная сила положительна (и наоборот).

3. При определении продольной силы. Продольная сила считается положительной, если она возникает в результате деформации растяжения. Если стержень сжат – продольная сила отрицательна. Положительная (растягивающая) продольная сила всегда направлена от сечения. Можно определять знак продольной силы по внешней нагрузке. Если внешняя нагрузка стремится растянуть отсечённую часть, то продольная сила положительна (и наоборот).

Построение эпюр внутренних усилий по характерным точкам в балке

Эпюры и M в балке, можно построить, не составляя аналитические выражения функций и M. Достаточно вычислить значения и M в характерных сечениях. Рассмотрим порядок расчёта.

• Определяем опорные реакции (для консолей можно не определять).

• Обозначаем характерные точки балки, находящиеся на опорах, в местах приложения сосредоточенных сил и моментов, в начале и конце распреде- ленной нагрузки, граничные точки. Этими точками балка делится на участки.

• Составляем выражения внутренних силовых факторов – M и Q в характерных сечениях каждого участка с учетом правила знаков. Соединяя эти значения, строим эпюры отдельно на каждом участке.

• Для построения необходимо знать характер эпюры на каждом участке.

Если на участке нет распределенной нагрузки, эпюра моментов на нём меняется по линейному закону и может быть построена по двум точкам (двум сечениям, сделанным в крайних точках участка). Поперечная сила на таком участке постоянна, поэтому определяем её 1 раз в произвольном сечении.

Если на участке действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов очерчена квадратной параболой и строится по двум или трём точкам (в начале и в конце участка). Третья ордината соответствует, как правило, экстремальному (максимальному или минимальному) значению изгибающего момента. Координата этого сечения соответствует нулю на эпюре поперечных сил. Поперечная сила, меняющаяся по линейному закону, строится по двум точкам.

П

Пример 1. Расчетная схема балки показана на рис. П9,а. Требуется построить эпюры и M по характерным точкам.

Обозначим реакции и и определим их величины:

Проверка реакций

Проверка реакций

Проверка реакций

ри определении усилий в крайних точках участка сечение сдвигается внутрь участка на бесконечно малую величину. Будем обозначать усилия двумя индексами. Первый индекс связан с точкой, где делается сечение, второй  индекс участка. Рассмотрим порядок построения на примере.

а)

M=ql²

F=ql

6

1

2

3

4

5

7

q

C

A

B

D

K

6

1

2

3

4

5

7

l

l

2l

ql

Q

б)

z₀

ql²

в)

М

Рис. П9

Обозначим характерные точки в балке. A, B – опоры. C – точка приложения момента. D – правый конец балки. Характерными точками балка делится на участки. Будем определять усилия на каждом участке. Но предварительно оценим характер эпюры.

Построение эпюры поперечных сил по характерным точкам

1. У часток АС. Так как поперечная сила на этом участке постоянна (нет равномерно распределённой нагрузки), делаем сечение в любом

месте этого участка (рис. П10). Рассмотрим равновесие левой части. Составим для неё уравнение статики . Знак «+» получается из уравнения (Q_AC при этом должна быть направлена по часовой стрелке

Рис. П10

вокруг отсечённой части). Знак Q_AC можно получить и по реакции V_А. Реакция стремится повернуть левую часть по ходу часовой стрелки. Это соответствует положительному значению Q_AC.

2. У часток ВС. Так как на этом участке действует равномерно распределённая нагрузка, эпюра поперечных сил будет линейна. Найдём её значения на границах участка (рис. П11). Примем следующие обозначения. Q_СВ – значение поперечной силы в сечении С (первый индекс) на участке СВ

Q_СВ

(второй индекс – правая граница участка CB). Для этого сделаем сечение в точке С, но сдвинем его внутрь участка СВ (сечение 3-3). Рассмотрим равновесие левой части. (Знак «+», т. к. реакция стремится повернуть левую часть по ходу часовой стрелки).

Найдём Q_BC (значение поперечной силы в сечении В). Сечение B необходимо сдвинуть внутрь участка СВ (сечение 4-4).

Соединяем полученные значения прямой линией.

Рис. П11

Рис. П12

Q_AC

Рис. 1.4

3. Участок BD. Делаем сечение в любом месте участка BD, так как значение поперечной силы здесь постоянно (сеч. 6-6). Рассмотрим равновесие правой части. Не будем больше показывать отсечённую часть отдельно. . Знак поперечно силы «+», так как сила F дает поворот вокруг сечения по ходу часовой стрелке.

Оценим правильность построения эпюры Q. Под точками приложения сосредоточенных векторов (силы и реакций) на эпюре скачки на величину вектора силы. Сосредоточенный момент на эпюре не отражается. Перепад граничных значений на участке СВ равен q2l (интенсивность нагрузки умноженная на длину ее распределения).

Построение эпюры изгибающих моментов по характерным точкам

1. Участок АС. Эпюра моментов на этом участке линейна (нет равномерно распределённой нагрузки). Найдем два граничных значения. M_AC и M_CA.

Делаем сечение 1-1 и рассматриваем равновесие левой части. Берём для этой части сумму моментов относительно точки сечения. Изгибающий момент М_АС = 0, так как у реакции V_A нет плеча. Делаем сечение 2-2. Изгибающий момент из равновесия левой части (растянуты нижние волокна). Соединяем полученные значения прямой линией.

2. Участок ВС. На участке эпюра изгибающих моментов ограничивается параболой, т. к. действует равномерно распределённая нагрузка.

Сечение 3-3: изгибающий момент M_CB

(растянуты верхние волокна).

Сечение 4-4: ; (растянуты верхние волокна). Третье экстремальное значение изгибающего момента на участке BC в сечении, где поперечная сила изменяет знак. Определяем положение этого сечения .

Изгибающий момент в этом сечении (сечение ):

.

Соединяем эти три значения параболой, выпуклостью вниз.

3. Участок BD. Эпюра моментов на этом участке линейна. Найдем два граничных значения M_BD и M_DB. Будем рассматривать равновесие правой части. Сделаем сечение 5-5: изгибающий момент (растянуты верхние волокна). Сечение 6-6: . Соединяем полученные значения прямой линией.

Оценим правильность построения эпюры M. Обратим внимание, что моменты M_BD и M_BC равны между собой. Так как в точке приложения вектора–силы на эпюре моментов – излом (но не скачок). Вершина излома всегда направлена в сторону действия вектора. Там, где действует сосредоточенный момент, на эпюре моментов скачок на величину этого момента.

Эпюры Q и M показаны на рис. П9, a-в.

Построение эпюр внутренних усилий по характерным точкам в раме

В отличие от балки в раме возникают осевые деформации, а, следовательно, и 3 внутренних усилия: изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила N.

Пример 2. Рассмотрим порядок построения эпюр внутренних силовых факторов в плоской раме, изображенной на рис. П13

Исходные данные:

q=2 кН/м; F=9кН; M=30кНм.

Требуется: построить эпюры M, Q, N.

Начнем расчет с определения опорных реакций.

Реакцию опоры А раскладываем на вертикальную V_A и горизонтальную H_A составляющие. В опоре В возникает вертикальная реакция V_B. Направление этих реакций выбираем произвольно. Для определения значений реакций используем уравнения статики. Каждое уравнение должно содержать одно неизвестное.

Проверка выполняется. Так как все реакции положительны, их направление изначально выбрано верно.