Дополнительные вопросы к задаче

1 Как выбирают знаки проводимостей и ЭДС при составлении уравнений узловых потенциалов?

2 Как учитывается ветвь с источником тока при составлении узловых уравнений?

3 Как записать узловые уравнения для цепи рис.11?

4 В каких случаях для расчета сложной цепи целесообразно применять метод узловых потенциалов?

Практическая работа №7 «Электрическое поле точечного заряда»

Введение: Данное практическое занятие проводится в течении 2 академических часов. Студент в процессе проведения занятий получает представление о различных видах цепей, взаимосвязи токов и напряжений. Цель занятия: изучение способа определения напряженности и силы поля точечного заряда для расчета цепей.

В результате выполнения практической работы студент должен:

уметь:

• производить расчеты простых электрических цепей.

Краткие теоретические сведения

Условие задачи.

Металлический шарик радиусом Rш =2 см = 0,02 м заряжен положительным зарядом

Q = 2*10^-8 Кл (кулон) и помещен в сосуд больших размеров. Вначале в сосуде был создан вакуум, а затем его заполнили минеральным маслом с диэлектрической проницаемостью

ε_r = 2,15. Требуется вычислить напряженность поля Е и потенциал V до и после заполнения сосуда маслом в точках А, Б и В, удаленных от центра шарика (точки М) на расстояния R, равные R_А =20 см = 0,2 м; R_Б =40 см = 0,4 м и R_В =60 см = 0,6 м; а также силу F, с которой поле действует на пробный точечный заряд q=2*10^-10 Кл, помещаемый поочередно в указанных точках.

Решение задачи

1. Вычисление напряженности поля. В рассматриваемом случае линейные размеры заряженного шарика весьма малы по сравнению с расстоянием от него до точек А, Б и В (действительно, ближайшая точка А расположена на расстоянии

R_А =20 см = 10 Rш. Поэтому шарик при расчете поля можно считать точечным зарядом и определить напряженность поля в заданных точках по формуле

Е = 1/ ε_о)*( Q/ 4πR²) (22)

где в системе единиц СИ ε_о = 10^-9 /36π 8,85*10^-12 Ф/м называется электрической постоянной и характеризует электрические свойства вакуума.

По формуле 22 напряженность поля в точке А

Е_А = 1/(8,85*10^-12 * 2*10^-5 /4π(0,2) ²=4500 В/м =4,5 кВ/м

так как 1000 В = 1 кВ.

Для точки Б значения всех величин в формуле 22 остаются такими же, как и для точки А кроме расстояния R_Б =2 R_А. поэтому

Е_Б = Е_А /4=4,5/4 =1,125 кВ/м

Соответственно для точки В Е_В = Е_А /9=4,5/9 =0,5 кВ/м

График зависимости напряженности поля от расстояния построен на рис.16

Рис.16

2. Определение силы поля, действующей на пробный заряд. Электрическое поле положительного заряда Q стремится вытолкнуть положительный точечный заряд q, помещенный в точке А, с силой F= Е_А q=4500*2*10^-10 =9*10^-7 Н . Помещая заряд q в точки Б и В, найдем действующие на него силы поля:

F₂= Е_Б q=1125*2*10^-10 =2,25*10^-7 Н

F₃= Е_В q=500*2*10^-10 =10^-7 Н

Так как сила, действующая на заряд q в различных точках поля (А, Б, В), пропорциональна напряженности поля а этих точках (Е_А, Е_Б , Е_В) . то график зависимости Е(R) в другом масштабе выражает зависимость силы от расстояния F (R) (рис. 17)

Q + q F₁ + q F₂ + q F₃

М А Б В

а)

Q + Е_А Е_Б Е_В

М А Б В

б)

Рис.17 – Вектор сил, действующих на заряд в различных точках поля (а), напряженности в этих точках (б).

3 Картина точечного поля. Напряженность поля – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора силы, действующей на положительный точечный заряд в данной точке поля. Поэтому векторы сил F_1, F_2. F₃ (рис.17) и напряженности поля Е_А, Е_Б , Е_В совпадают по направлению. Построенные векторы напряженности поля располагаются на одной прямой МАБВ, которая, таким образом, является одной из линий вектора напряженности или силовых линий поля. Учитывая графическую симметрию поля заряженного шарика, можно построить и другие линии напряженности по по направлению радиусов шарика. Все линии напряженности начинаются на положительном заряде.

4 Определение напряженности поля диэлектрике. По сравнению с вакуумом в диэлектрике напряженность поля уменьшится, что учитывается при помощи электрической характеристики диэлектрика ε_r , называемой относительной диэлектрической проницаемостью, которая может быть определена опытным путем. Так, для минерального масла по условию задачи ε_r = 2,15. и напряженность поля в диэлектрике

Е_А¹ = Е_А/ ε_r =4,5 /2,15 =2,1 кВ/м

и аналогично Е_Б¹ =0,535 кВ/м; Е_В¹ =0,233 кВ/м;

Напряженность поля в любой точке диэлектрика

Е = Q / ε_о ε_r 4πR²)= Q/ ε_а 4πR²) (23)

где ε_а = ε_о ε_r, называется абсолютной диэлектрической проницаемостью среды (материала диэлектрика)

Полученные результаты позволяют сделать два вывода:

1. Относительная диэлектрическая проницаемость (величина отвлеченная) характеризует относительное уменьшение напряженности поля зарядов в данной среде по сравнению с вакуумом; для вакуума ε_r = 1, для любого диэлектрика ε_r > 1.

2. Абсолютная диэлектрическая проницаемость ε_а = ε_о ε_r зависит как от электрических свойств диэлектрика, так и от принимаемой в расчетах системы единиц.

3. Определение потенциалов и напряжений. Построение линий равного потенциала.

Для упрощения расчетов будем считать сосуд и поле заряда безграничным и примем равным нулю потенциал бесконечно удаленной точки. При таком условии для любой точки поля заряда Q потенциал

V = Q / ε_о ε_r 4πR (24)

Формула 23 отличается от ранее рассмотренной формулы 22 для напряженности поля только степенью, поэтому

V =Е R (25)

Применив последнее выражение, вычислим потенциалы точек А, Б и В в вакууме:

V_А =Е_А R_А =4500*0,2 = 900 В

V_Б =Е_Б R_Б =1125*0,4 = 450 В

V_В =Е_В R_В =500*0,6 = 300 В

Для выяснения картины распределения потенциала полезно найти точки, потенциалы которых отличаются на одинаковое значение. Поэтому найдем несколько точек с потенциалами, отличающимися, например, на 300 В. Мы уже знаем, что потенциалы В и А соответственно равны V_А =900 В и V_В =300 В. Дополнительно найдем точки Г и Д, для которых V_Г =600 В и V_Д =1200 В. По формуле 24 V_Г =600 В в вакууме соответствует расстояние

R_Г = Q / ε_о 4π V_Г = (6π 2*10^-8)/(10^-9*4π*600) =0,3 м =30 см

Потенциалу V_Д =2 V_Г соответствует расстояние

R_Д = R_Г/2 =30/2 =15 см

Учитывая сферическую симметрию поля заряженного шарика и точечного заряда Q, можно построить шаровые равнопотенциальные поверхности с радиусами R_Д, R_Г, R_В, R_А, следы которых на плоскости образуют картину равнопотенциальных линий (рис.18).

Потенциалы этих линий отличаются на заданные 300 В. Напряжение межу двумя любыми точками поля определяют как разность потенциалов. Так, между любыми точками равнопотенциальной линии V_В = 300 В и равнопотенциальной линии V_Г = 600 В напряжение имеет одно и то же значение U_ГВ = V_Г - V_В =600 – 300 =300 В. Между любыми точками равнопотенциальной линии напряжение равно нулю. Напряжение между точкой Д и бесконечно удаленной точкой U_Д = V_Д - V =1200 – 0 =1200 В.

Вычисляя напряжения, можно выбрать равным нулю потенциал любой точки поля; практически обычно выбирают потенциал равным нулю для точки, находящейся на поверхности земли.

а) б)

Рис.18 Равнопотенциальные линии (а) и напряжения между точками электрического поля точечного заряда (б)