Дополнительные вопросы к задаче

1. Можно ли выбрать различные направления для контурных токов I₁₁ ,I₂₂ , I_{33 ?}

2. Сколько уравнений требуется для расчета цепи методом контурных токов?

3. В каких случаях целесообразно применять метод контурных токов?

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

Установить число необходимых уравнений для ее расчета методом контурных токов.

На рис.12 показаны два варианта соединения трех генераторов с их потребителями по четырехпроводниковой схеме. Определить токи в соединительных проводах 1 – 4 каждой схемы. Дано: Е₁ =Е₂ =Е₃ =230 В; R_ВТ1 = R_ВТ2 = R_ВТ3 =0,5 Ом; R₁ = 4,1 Ом; _Т2 = R₃ =1,8 Ом

Рис.15

Вариант 2

Определить токи во всех ветвях цепи рис.16, если Е₁ =16,4 Ом;Е₂ =24,5 Ом; R_ВТ1 = 2 Ом; R_ВТ2 = 2 Ом; R₁ = 3 Ом; R₂ =0,8 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 5 Ом

Рис.15

Практическая работа №6 «Метод узловых потенциалов»

Введение: Данное практическое занятие проводится в течении 2 академических часов. Студент в процессе проведения занятий получает представление о различных видах цепей, взаимосвязи токов и напряжений. Цель занятия: изучение метода узловых потенциалов для расчета цепей.

В результате выполнения практической работы студент должен:

уметь:

• производить расчеты простых электрических цепей.

Краткие теоретические сведения

Условие задачи.

Решить задачу, рассмотренную в практических работах 4 и 5, рис.11, методом узловых потенциалов.

Решение задачи

1. Взаимосвязь токов ветвей и потенциалов узлов. По сопротивлению R_2, присоединенному к узловым точкам А и Б с потенциалами V_А и V_Б, проходит ток

I_БА = (V_Б - V_А )/ R₂ = (V_Б - V_А ) G₂ (12)

где G₂ = 1/ R₂ – проводимость ветви БА.

Приняв для ветвей АВ и БВ, не содержащих ЭДС, проводимости G₁ = 1/ R₁ и G₃ = 1/ R₃ и потенциалы узлов V_А , V_Б и V_В, запишем токи этих ветвей:

I_АВ = (V_А - V_В ) G₁ (13)

I_БВ = (V_Б - V_В ) G₃ (14)

Для двух оставшихся ветвей цепи, содержащих ЭДС, напряжения между узлами ветвей, или разность потенциалов узлов, определяются выражениями

V_А - V_В =Е₁ - R_ВТ1 I₁ и V_Б - V_В =Е₂ - R_ВТ2 I₂ (15)

Из которых имеем I₁=[Е₁ – (V_А - V_В)] G_ВТ1; I₂=[Е₂ – (V_Б - V_В)] G_ВТ2; (16)

где G_ВТ1 = 1/ R_ВТ1 и G_ВТ2 = 1/ R_ВТ2

Уравнения 12 -16 показывают, что все токи цепи выражаются через три узловых потенциала, и если учесть, что можно принять равным нулю потенциал одной точки цепи, например V_В =0, то в нашем случае пять токов (I_БА, I_АВ. I_БВ, I₁, I₂) определяются значением двух потенциалов V_А и V_В (при заданных параметрах и ЭДС цепи). Таким образом, на основе узловых потенциалов можно получить удобный метод расчета цепи, в чем ниже убедимся.

2 Определение собственных и общих проводимостей узлов. Сумма всех проводимостей ветвей, примыкающих к узлу цепи, называется его собственной проводимостью. Для узла А собственная проводимость

G_АА = G₁ + G₂ + G_ВТ1 =1/ R₁ +1/ R₂ +1/ R_ВТ1

или при наших данных G_АА = 1/ 2 +1/ 1,6 +1/ 0,5 = 3,125 Ом

Аналогично для узла Б собственная проводимость G_ББ = G₁ + G₂ + G_ВТ2 и, учитывая одинаковые заданные значения сопротивлений или проводимости ветвей, имеем

G_АА = G_ББ =3,125 Ом (17)

Кроме собственной проводимости узла выделяют в цепи и другой вид проводимости – между двумя узлами, которую называют их общей проводимостью. Так, по рис. 11 узел А связан с узлом Б общей проводимостью

G_АБ =1/ R₂ = G₂, (18)

а с узлом В – проводимостями двух ветвей ( с сопротивлениями R₁ и R_ВТ1).

Поэтому общая проводимость узлов А и В

G_АВ = G₁ + G₂ + G_ВТ1 =1/ R₁ +1/ R_ВТ1 = 1/2 +1/0,5 = 2,5 Ом

3 Составление узловых уравнений и вычисление потенциалов. Узловые уравнения составляются на основании первого закона Кирхгофа. Для узла А имеем

I₁ - I_АВ. + I_БА =0,

В этом уравнении заменим токи в соответствии с уравнениями 12, 13, 15 в которых примем потенциал V_В =0, и после объединения слагаемых с потенциалами V_А и V_Б получим

V_А(G_ВТ1 + G₂ + G₁) - V_Б G₂= G_ВТ1 Е₁ (19)

где коэффициенты у потенциалов V_А и V_Б уже знакомы по формулам 17 и 18. С их учетом перепишем 19

G_АА V_А – G_БА V_А = G_ВТ1 Е₁ (20)

и аналогично для узла Б имеем G_ББ V_Б – G_БА V_А = G_ВТ2 Е₂ (21)

Полученные уравнения выражают общую структуру уравнений узловых потенциалов. Оказывается, для вычисления потенциалов узлов цепи достаточно решить систему уравнений с двумя неизвестными. Выполним это. При наших данных уравнения 20 и 21 запишутся так:

3,125 V_А – 0,625 V_Б =7,2

– 0,625 V_А + 3,125 V_Б =9,6

Из первого уравнения выразим потенциал

V_Б = (-7,2+3,125 V_А)/0,625

И подставим его во второе уравнение

– 0,625 V_А + 3,125 (-7,2+3,125 V_А)/0,625 =9,6

или V_А[– 0,625+ (3.125)³/0.625]= 9.6+7.2*3.125/0.625

окончательно V_А =45,6/15 =3,04 В

Найденное значение потенциала V_А подставим в полученное выше выражение для потенциала точки Б

V_Б =( -7,2 +3,125*3,04)/0,625 = 2,3/0,625 = 3,68 В

Соответственно между узлами Б и А действует напряжение

U_БА= V_Б - V_А =3,68 – 3,04 =0,64 В

4 Вычисление токов.

I_БА =U_БА/ R₂ =0,64/1,6 =0,4 А

I_АВ = V_А G₁= 3,04*0,5 = 1,52 А

I_БВ = V_Б G₃= 3,68*0,5 = 1,84 А

I₁ = (Е₁ - V_А) G_ВТ1=(3,6 – 3,04)*2 = 1,12 А

I₂ = (Е₂ – V_Б) G_ВТ2=(4,8 – 3,68)*2 = 2,24 А

Вычисленные значения токов совпадают с вычисленными ранее.