Дополнительные вопросы к задаче

1 Сколько электрических контуров имеют цепи, показанные на рис.11 и 12

Рис.12

2 Как вести расчет, если заданы значения токов, но неизвестны другие параметры цепи?

3 Следует ли принимать одинаковое направление обхода для всех контуров?

4 Целесообразно ли предыдущую задачу рис.12 решать методом уравнений Кирхгофа?

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

Методом уравнений Кирхгофа определить токи во всех ветвях цепи (рис.12) при следующих данных Е₁=Е₂=110 В; R₁ =0,98 Ом; R₂ = R₄ =0,5 Ом; R₃ =4,35 Ом; R_вт1 =0,15 Ом; R_вт2 =0,13 Ом

Рис.13

Вариант 2

Для цепи, показанной на рис.14, определить число различных токов, установить, сколько нужно составить уравнений Кирхгофа для их вычислений. Выяснить, сколько всего электрических контуров имеет смысл.

Рис.14

Практическая работа №5 «Метод контурных токов»

Введение: Данное практическое занятие проводится в течении 2 академических часов. Студент в процессе проведения занятий получает представление о различных видах цепей, взаимосвязи токов и напряжений. Цель занятия: изучение метода уравнений Кирхгофа для расчета цепей.

В результате выполнения практической работы студент должен:

уметь:

• производить расчеты простых электрических цепей.

Краткие теоретические сведения

Условие задачи.

Для цепи рис.11 и R₁ = R₃ =2 Ом; R₂ =1,6 Ом; Е₁ =3,6 В; Е₂=4,8 В; R_1вт = R_2вт =0,5 Ом

Определить токи во всех участках и напряжения между узловыми точками А. Б и В методом контурных токов

Решение задачи

1 Определение числа контурных токов. При расчете цепи методом контурных токов применяется только второй закон Кирхгофа, поэтому число уравнений, которые нужно решать совместно, меньше. Достигается это разделением схемы на ячейки и введением контурных токов, проходящих по ячейкам. В заданной цепи можно выделить три ячейки-контуры с темя токами: I_{11 –} в контуре ВКАВ, I_{22 –} в контуре ВАБВ, I_{33 –} в контуре ВБМВ. Положительные направления контурных токов можно выбирать одинаковыми по направлению движения часовой стрелки, а действительное направление токов определяется после расчета цепи.

Приняв для токов ветвей направления по рис.11 выразим эти токи через контурные:

I₁ = I_11: I_БА = - I_22: I₂ = - I₃₃

I_АВ = I₁₁ - I_22; I_БА = I₂₂ - I₃₃

Итак, в рассматриваемой цепи через три контурных тока выражаются токи всех пяти ветвей.

2 Определение собственных и общих сопротивлений контуров. Сумма всех сопротивлений контура называется его собственным сопротивлением. Для контура ВКАВ собственное сопротивление

R₁ = R_1вт + R₁ = 0,5+2=2,5 Ом

А для контуров, по которым замыкаются токи I₂₂ и I₃₃ соответственно:

R₂₂= R₁ + R₂+ R₃ = 2 + 1,6+2=5,6 Ом

R₃₃= R₃+ R_ВТ2 = 2 + 0,5=2,5 Ом

Сопротивление общей ветви двух контуров называется общим сопротивлением. В нашем случае ветвь АВ входит в первый и второй контуры, поэтому ее сопротивление R₁ является общим. Его можно рассматривать как сопротивление связи первого контура со вторым R₁₂ или второго с первым R₂₁, т.е R₁₂ =R₂₁= R_1.

Аналогично общее сопротивление второго и третьего контуров R₂₃ =R₃₂= R₃

При наших данных R₁₂ =R₂₁= R₂₃ =R₃₂ =2 Ом

3. Составление контурных уравнений и вычисление токов. Составим контурное уравнение для контура ВКАВ:

R_ВТ1 I₁+ R₁ I_АВ =Е₁

Заменяя ток I_АВ разностью I₁₁ - I₂₂ и объединив члены уравнения с током I₁₁ , получим

(R_1вт + R₁) I₁₁ - R₁ I₂₂ =Е₁ (8)

В этом уравнении алгебраическая сумма падений напряжения выражается произведением тока рассматриваемого контура I₁₁ на его собственное сопротивление R₁₁ , взятое со знаком плюс, и произведением тока другого контура I₂₂ на общее сопротивление контуров R_12, взятое со знаком минус, т.е R₁₁ I₁₁ - R₁₂I₂₂ = Е₁

Положительный знак для падения напряжения, создаваемого собственным током контура (R₁₁ I₁₁), и отрицательные знаки для падения напряжений, создаваемых на общих сопротивлениях токами других контуров (- R₁₂I₂₂), получается всегда при одинаковом направлении контурных токов (рис. 12 – по часовой стрелке) и обходе ячейки-контура по направлению ее контурного тока.

Придерживаясь тех же правил, составим аналогичные уравнения для контуров ВАБА:

R₂₂I₂₂ – R₂₁I₁₁ = 0

И для контура ВБМВ:

R₃₃I₃₃ – R₃₂I₂₂ = -Е (9)

В последнем уравнении ЭДС Е₁ записав со знаком минус, так как направление обхода последней ячейки противоположно направлению действия ЭДС.

Подставив в 7 и 8 вычисленные выше значения собственных и общих сопротивлений контуров, получим систему уравнений:

2,5 I₁₁ - 2I₂₂ =3,6

- 2 I₁₁ +5,6 I₂₂ -2 I₃₃ = 0 (10)

- 2 I₂₂ +2,5 I₃₃ = -4,8

Из последнего выразим ток I₃₃

I₃₃ =(2I₂₂ -4,8)/2,5 = 0,8 I₂₂ -1,92 (11)

И, подставив его значение во второе уравнение системы 10, получим

- 2 I₁₁ +4 I₂₂+3,84 =0

Последнее уравнение совместно с первым уравнением системы 10 составляет систему двух уравнений

- 2 I₁₁ +4 I₂₂=- 3,84

2,5 I₁₁ - 2I₂₂ =3,6

Умножив все члены второго уравнения на два и сложив почленно с первым, получим

3I₁₁=7,2 -3,84

Или I₁₁=1,12 А

Из первого уравнения системы 10 определим ток во втором контуре:

I₂₂ = (2,5 I₁₁ -3,6)/2 =(2,5*1,2-3,6)/2=-0,4 А

Полученное значение тока I₂₂ подставим в 11, и определим контурный ток в третьем контуре:

I₃₃ = - 0,8*0,4 -1,92 = -2,24 А

Как было показано, через найденные значения контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃ выражаются токи всех ветвей схемы

I₁=I₁₁=1,12 А; I_БА=- I₂₂ = 0,4 А

I₂= - I₃₃=2,24 А; I_АВ=I₁₁- I₂₂ = 1,12 + 0,4 = 1,52 А

I_БА=I₂₂ - I₃₃= 0,4 + 2024 = 1,84 А

Полученные результаты совпадают с ранее найденными