- •Математическое моделирование
- •Список литературы
- •Программа дисциплины и методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы
- •Раздел 1 Основы моделирования
- •Тема 1.1 Принципы моделирования
- •Тема 1.2 Этапы компьютерного моделирования
- •Тема 1.3 Вычислительный эксперимент
- •Тема 1.4 Классификация моделей
- •Тема 1.5 Математическая модель
- •Раздел 2 Линейное программирование
- •Тема 2.1 Постановка задачи линейного программирования
- •Тема 2.2 Графическое решение задачи линейного
- •Тема 2.3 Симплексный метод
- •Тема 2.4 Двойственные задачи
- •Тема 2.5 Транспортные задачи
- •Раздел 3 Графовые модели
- •Тема 3.1 Основные сведения о теории графов
- •Тема 3.2 Нахождение кратчайших путей в графе
- •Тема 3.3 Потоки на сетях
- •Тема 3.4 Элементы сетевого планирования
- •Раздел 4 Дискретное программирование
- •Раздел 5 Динамическое программирование
- •Раздел 6 Имитационное моделирование
- •Тема 6.1 Общие сведения об имитационном моделировании
- •Тема 6.2 Метод Монте-Карло
- •Тема 6.3 Элементы теории матричных игр
- •Раздел 7 Математические пакеты в моделировании
- •Методические рекомендации к решению задач графическим способом (101–115)
- •Методические рекомендации к решению задач заданных с помощью графовых моделей (198–227)
- •Методические рекомендации к решению задач о максимальном потоке ( 228–257 )
- •Методические рекомендации к решению задач игрового моделирования ( 258–286)
- •Теоретические вопросы домашней контрольной работы по дисциплине "Математическое моделирование"
- •Практические задания
Практические задания
Решить задачи линейного программирования графическим способом
Построить пару двойственных задач линейного программирования
На кондитерской фабрике весь ассортимент выпускаемой карамели разделен на три однородные группы, условно обозначенные К1, К2 и К3. Расход основного сырья и его запас указаны в таблице 23. другие виды сырья, входящие в готовый продукт в небольших количествах, не учитываются. В качестве критерия оптимальности плана принять максимум прибыли. Требуется составить математические модели прямой и двойственной задач.
Таблица 23– Расход основного сырья и его запас
Основное сырье |
Продукция |
Объем материала |
||
К1 |
К2 |
К3 |
||
I (сахар песок) |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
700 |
II (патока) |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
300 |
III (фруктовое пюре) |
0 |
0,2 |
0,3 |
150 |
Уровень прибыли |
100 |
110 |
120 |
|
Нужно составить диету (смесь), включающую питательные вещества П1, П2 и П3. Для составления диеты могут быть использованы продукты М1, М2 и М3, содержащие указанные вещества в различных сочетаниях. Содержание питательных веществ в диете, продуктах и цены на них указаны в таблице 24. Требуется составить математические модели прямой и двойственной задач.
Таблица 24 – Содержание питательных веществ в диете, продуктах и цены
на них
Питательное вещество |
Содержание питательных веществ в продуктах |
Минимальное содержание питательных веществ в диете |
||
М1 |
М2 |
М3 |
||
П1 |
4 |
4 |
6 |
62 |
П2 |
6 |
1 |
2 |
30 |
П3 |
4 |
6 |
4 |
44 |
Цена продукта |
8 |
5 |
6 |
|
Продукция в цехе может производиться тремя технологическими способами Тj (j = 1, 3). Объемы ресурсов bi (i = 1, 3) и их расход в единицу времени для каждой технологии, а также производительности технологий (в денежных единицах за единицу времени работы по данной технологии) представлены в таблице 25.
Таблица 25 – Объемы ресурсов, их расход и производительности технологий
Ресурсы |
Технологический способ |
Объем ресурса |
|||
Т1 Ti |
Т2 |
Т3 |
|||
Рабочая сила, чел.-ч Сырье, т Электроэнергия, кВт-ч |
15 2 35 |
20 3 60 |
25 2,5 60 |
1200 150 3000 |
|
Производительность технологического способа |
300 |
250 |
450 |
|
Составить математические модели прямой и двойственной задач.
Исходя из специализации, предприятие может выпускать четыре вида продукции Пj (j = 1, 4), используя для этого три вида сырье Ci (i = 1, 3).
Общие объемы имеющегося сырья bi, нормы их расхода на единицу продукции и цена реализации единицы каждого вида продукции представлены в таблице 26.
Таблица 26 - Объемы имеющегося сырья, нормы расхода на единицу
продукции и цена реализации
Вид сырья |
Продукция |
Объем сырья |
|||
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
||
I II III |
2 1 3 |
1 5 0 |
0,5 3 5 |
4 0 1 |
2400 1200 3000 |
Цена реализации |
75 |
30 |
60 |
120 |
|
Составить математические модели прямой и двойственной задач.
Предприятие оптовой торговли, исходя из специализации, может реализовывать четыре вида товаров: Т1, Т2, Т3 и T4. Лимитируемые при этом ресурсы и нормы расхода на единицу реализуемых товаров представлены в таблице 27.
Таблица 27 – Лимитируемые ресурсы и нормы расхода
Лимитируемые ресурсы и показатели |
Товарная группа |
Объем ресурса |
Знак ограничения |
|||
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
|||
Складские площади, м2 |
1,8 |
2,6 |
1,6 |
1,0 |
11000 |
|
Издержки обращения, ден. ед. |
17 |
23 |
28 |
12 |
12 000 |
|
Товарные запасы, ден. ед. |
3,1 |
4,2 |
3,0 |
2,0 |
18 000 |
|
Уровень товарооборота, ден. ед. |
200 |
150 |
170 |
50 |
750 000 |
|
Минимально допустимый план товарооборота по группе |
120 |
=1600 |
=1500 |
1200 |
— |
— |
Прибыль от единицы продукции, ден. ед. |
120 |
50 |
30 |
100 |
|
Построить модели прямой и двойственной задач при условии, что заказ на Т2 должен составить 1600 ед., на Т3 – 1500 ед.
Построить исходный опорный план перевозок и определить значения целевых функций построенных планов одним из способов
– по правилу “северо-западного угла”
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
А1
1
3
2
50
А2
4
5
7
100
А3
6
2
4
130
Потребность в грузе bj
70
100
110
280
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
5
1
2
3
300
А2
6
3
7
1
200
А3
4
5
3
2
500
А4
2
4
6
4
700
Потребность в грузе bj
230
420
650
400
1700
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
3
1
5
4
2
200
А2
6
4
2
7
3
450
А3
5
2
3
4
6
500
Потребность в грузе bj
300
400
200
100
150
1150
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
5
3
1
4
2
6
1780
А2
4
2
3
6
1
3
2000
А3
1
3
7
4
5
2
1530
А4
3
4
6
7
1
5
2860
Потребность в грузе bj
850
1870
1950
1670
1000
830
8170
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
4
7
2
3
30
А2
3
1
0
4
190
А3
5
6
3
7
250
Потребность в грузе bj
70
120
150
130
470
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
2
4
3
1
6
3
3000
А2
5
7
4
5
2
1
5000
А3
3
6
1
4
3
7
1250
А4
1
3
2
6
4
5
7300
Потребность в грузе bj
2300
3200
4000
1760
1500
2220
– по правилу “минимального элемента”
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
А1
1
3
2
50
А2
4
5
7
100
А3
6
2
4
130
Потребность в грузе bj
70
100
110
280
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
4
7
2
3
30
А2
3
1
0
4
190
А3
5
6
3
7
250
Потребность в грузе bj
70
120
150
130
470
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
5
1
2
3
300
А2
6
3
7
1
200
А3
4
5
3
2
500
А4
2
4
6
4
700
Потребность в грузе bj
230
420
650
400
1700
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
3
1
5
4
2
200
А2
6
4
2
7
3
450
А3
5
2
3
4
6
500
Потребность в грузе bj
300
400
200
100
150
1150
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
5
3
1
4
2
6
1780
А2
4
2
3
6
1
3
2000
А3
1
3
7
4
5
2
1530
А4
3
4
6
7
1
5
2860
Потребность в грузе bj
850
1870
1950
1670
1000
830
8170
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
2
4
3
1
6
3
3000
А2
5
7
4
5
2
1
5000
А3
3
6
1
4
3
7
1250
А4
1
3
2
6
4
5
7300
Потребность в грузе bj
2300
3200
4000
1760
1500
2220
– методом Фогеля
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
4
1
2
5
6
100
А2
7
3
4
2
5
70
А3
6
4
7
1
8
130
А4
2
5
6
4
7
150
Потребность в грузе bj
80
120
70
130
50
450
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
А1
5
1
4
3
6
7
2
1040
А2
4
2
6
5
1
8
3
2700
А3
7
3
1
4
2
5
6
1885
А4
2
5
7
1
4
3
4
1457
Потребность в грузе bj
590
740
875
1537
1200
1500
640
7082
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
7
1
4
6
5
8
600
А2
1
3
5
2
4
6
800
А3
4
5
6
3
1
7
550
А4
5
3
7
2
8
4
730
А5
2
4
3
5
6
3
900
Потребность в грузе bj
750
580
440
620
550
640
3580
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
3
1
5
4
2
200
А2
6
4
2
7
3
450
А3
5
2
3
4
6
500
Потребность в грузе bj
300
400
200
100
150
1150
– методом потенциалов
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
4
3
6
8
40
А2
7
6
4
5
120
Потребность в грузе bj
30
50
45
35
160
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
6
4
2
7
40
А2
8
10
14
12
36
А3
16
12
6
13
24
Потребность в грузе bj
24
20
30
26
100
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
8
4
6
2
40
А2
4
10
5
6
25
А3
6
7
8
5
28
А4
10
12
8
9
32
Потребность в грузе bj
28
32
20
45
125
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
9
3
4
8
10
12
36
А2
4
6
7
11
13
9
34
А3
5
8
8
4
12
10
32
А4
6
12
15
9
6
8
30
Потребность в грузе bj
20
15
25
27
30
15
132
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
А1
5
10
15
6
14
13
120
А2
14
9
8
12
11
10
60
А3
7
12
13
15
9
14
150
Потребность в грузе bj
45
52
48
55
70
60
330
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
9
6
8
11
10
100
А2
6
9
13
15
12
80
А3
8
7
12
5
9
40
Потребность в грузе bj
60
50
40
35
35
220
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
3
1
5
4
2
200
А2
6
4
2
7
3
450
А3
5
2
3
4
6
500
Потребность в грузе bj
300
400
200
100
150
1150
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
В5
А1
4
1
2
5
6
100
А2
7
3
4
2
5
70
А3
6
4
7
1
8
130
А4
2
5
6
4
7
150
Потребность в грузе bj
80
120
70
130
50
450
-
Поставщики
Потребители
Запас груза аi
В1
В2
В3
В4
А1
5
1
2
3
300
А2
6
3
7
1
200
А3
4
5
3
2
500
А4
2
4
6
4
700
Потребность в грузе bj
230
420
650
400
1700
Решить методом потенциалов транспортную задачу 166–185, заданную матрицами: А - запасов; В - потребностей; С – тарифов
Построить математическую модель транспортной задачи и найти ее решение методом потенциалов.
Составить план перевозок каменного угля с трех шахт в четыре пункта. Производительность шахт (тыс.т) равна соответственно 100; 150; 50. Потребности заказчиков равны: 75; 80; 60; 85 тыс. т. Стоимость перевозки одной тонны угля задается элементами матрицы
Составить план перевозки, обеспечивающий минимальные транспортные издержки.
Три совхоза выделяют соответственно 40; 50; 30 ц молока для ежедневного снабжения четырех пунктов, потребности которых составляют соответственно 20; 40; 30; центнеров молока. Стоимости перевозок 1 ц молока задаются матрицей
Организовать снабжение так, чтобы потребители были обеспечены молоком, а транспортные расходы были минимальны.
В четырех хранилищах имеются соответственно 40; 50; 60 и 30 т топлива. Требуется спланировать перевозки так, чтобы спрос трех потребителей, составляющий соответственно 60; 80; 40 т, был удовлетворен, а затраты на транспортировку были минимальны. Стоимость перевозок 1 тонны топлива задаются матрицей
С четырех складов, где хранится соответственно 50; 160; 70; 100 т картофеля, необходимо вывезти его в пять торговых точек. Объем завоза составляет соответственно 80; 100; 90; 50; 60 тонн. Стоимости перевозок 1 т картофеля задаются матрицей
Закрепить поставщиков за торговыми точками так, чтобы общая сумма затрат на перевозку была минимальной.
Товары с четырех баз поставляются в четыре магазина. Запасы товара на базах составляют 40; 60; 40; 80 тысяч единиц. Потребности магазинов равны (тыс. ед.) 30; 80; 60; 50. Затраты на перевозку 1 тысячи единиц заданы матрицей
Спланировать перевозки так, чтобы полностью удовлетворить потребности магазинов, а затраты на перевозку свести к минимуму
Продукцию трех заводов (тысячи единиц) 40; 50; 30 соответственно необходимо доставить потребителям, спрос которых составляет 20; 50; 45; 30 тысяч единиц. Известна матрица транспортных расходов:
Найти оптимальное распределение трех видов механизмов, имеющихся в количестве 45; 20 и 35, между четырьмя участками работ, потребности которых составляют соответственно 10; 20; 30; 40 механизмов при следующей матрице производительности каждого из механизмов на соответствующем участке работы:
.
Нулевые элементы означают, что данный механизм не может быть использован на данном участке работы
На двух складах А1 и А2 находится по 90 т горючего. перевозка одной тоны горючего со склада А1 в пункты В1, В2, В3, соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка одной тонны со склада А2 в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 ден ед. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.
На трех складах А1, А2, А3 находится сортовое зерно соответственно 10, 15, 25 т, которое надо доставить в четыре пункта В1, В2, В3, В4: В1 – 5 т, В2 – 10 т, В3 – 20 т, В4 – 15 т. Стоимость доставки одной тонны со склада А1 в указанные пункты соответственно равны 8, 3, 5, 2 ден ед.; со склада А2 – 4, 1, 6, 7 ден. ед и со склада А3 – 1, 9, 4, 3 ден ед. Составить оптимальный план перевозки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозки.
Составить план перевозок нефтепродуктов из трех пунктов отправления в пять пунктов назначения. План должен обеспечить минимальные транспортные издержки и полностью удовлетворить спрос потребителей на нефтепродукты. Запас, потребность и стоимость перевозки 1 т нефтепродуктов приведены в таблице 28.
Таблица 28 – Запас, потребность и стоимость перевозки 1 т нефтепродуктов
Пункт отправления |
Стоимость перевозки 1 т нефтепродуктов потребителям, ден.ед. |
Запас нефтепродуктов, т |
||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
||
А1 |
7 |
5 |
9 |
8 |
6 |
150 |
А2 |
8 |
10 |
4 |
11 |
12 |
170 |
А3 |
4 |
3 |
15 |
13 |
14 |
200 |
Потребность в нефтепродуктах, т |
120 |
80 |
140 |
70 |
110 |
520 |
Три совхоза А1, А2, А3 ежедневно доставляют в город соответственно 50, 60 и 40 ц молока для обеспечения торговых точек В1, В2, В3, В4, В5. стоимость перевозки 1 ц молока и потребности торговых точек в молоке указаны в таблице 29
Определить оптимальный план поставки молока в каждую торговую точку для удовлетворения потребностей, чтобы суммарные транспортные издержки были минимальными.
Таблица 29 – Стоимость перевозки 1 ц молока и потребности торговых точек
в молоке
Совхоз |
Стоимость перевозки 1 ц молока торговым точкам, ден. ед. |
Запас молока, ц |
||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
||
А1 |
7 |
6 |
8 |
10 |
12 |
50 |
А2 |
9 |
5 |
7 |
4 |
6 |
60 |
А3 |
6 |
8 |
4 |
9 |
7 |
40 |
Потребность в молоке, ц |
30 |
20 |
55 |
20 |
25 |
150 |
В четырех хранилищах А1, А2, А3, А3 имеется соответственно 100, 150, 260 и 240 т картофеля. Требуется так спланировать перевозки картофеля в шесть овощных магазинов В1, В2, В3, В4, В5, В6, спрос которых равен соответственно 130, 110, 140, 150, 120, 100 т, чтобы суммарные транспортные издержки были минимальными. Стоимость перевозки 1 т картофеля указаны в таблице 30.
Таблица 30 – Стоимость перевозки 1 т картофеля
Совхоз |
Стоимость перевозки 1 т картофеля потребителям, ден. ед. |
Запас картофеля, т |
|||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В6 |
||
А1 |
7 |
6 |
9 |
7,5 |
8,6 |
8,8 |
100 |
А2 |
8,5 |
5,7 |
7,6 |
9,2 |
7,2 |
6,5 |
150 |
А3 |
5,8 |
7 |
8 |
7,3 |
6,8 |
8,4 |
260 |
А4 |
6,4 |
6,2 |
5,7 |
5,9 |
6,5 |
7,9 |
240 |
Потребность в картофеле, т |
130 |
110 |
140 |
150 |
120 |
100 |
750 |
Для данных графов построить
– матрицы смежности вершин и инциденций:
– матрицы смежности вершин и дуг (ребер)
– по матрицам смежности вершин построить наглядное изображение графа
– по матрицам смежности дуг построить наглядное изображение графа
На заданной сети указаны пропускные способности ребер. Предполагается, что пропускные способности в обоих направлениях одинаковы. Необходимо:
– сформировать поток максимальной мощности, направленный из истока в сток;
– выписать ребра, образующие на сети разрез минимальной пропускной способности.
256
Используя элементы теории матричных игр решить следующие
задачи
За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10–12 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ед. в расчете на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу. Дать рекомендации по созданию оптимального запаса сырья на предприятии.
В новом жилом массиве создается телевизионное ателье для ремонта в стационарных условиях не более 8 тыс. телевизоров в год. Для упрощения примем, что поток заявок на ремонт в условиях стационара выражается числами 2, 4, 6 и 8 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что прибыль от ремонта телевизора составляет 9 ден. ед., потери, вызванные отказом в ремонте из-за недостатка мощностей, оцениваются в 5 ден. ед., а убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок обходятся в 6 ден. ед. в расчете на каждый телевизор. Придав рассматриваемой ситуации игровую схему, составить платежную матрицу. Дать рекомендации о мощности создаваемого телеателье.
Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать картофель на трех участках: на участке А повышенной влажности, Б средней влажности, В сухом. Урожайность картофеля зависит от погодных условий, в частности от количества осадков, выпадающих в течение сезона. Если осадков выпадает меньше нормы, то средняя урожайность на участке А составляет 270 ц с 1 га; при количестве осадков, близком к норме, – 220 ц; если же осадков выпадет больше нормы, – 110 ц; на участке Б – соответственно 210, 250 и 140 ц; на участке В – 120, 260 и 280 ц. Используя игровой подход, составить платежную матрицу. Установить, на каком участке следует выращивать картофель в предстоящем году, если, по данным службы долгосрочного прогнозирования погоды, вероятность выпадения осадков меньше нормы ожидается равной 0,3, близко к норме –0,6, больше нормы – 0,1.
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объем выпуска неосновной сезонной продукции А и Б. Не проданная в течение сезона часть продукции позднее полностью реализуется по сниженным ценам. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня покупательского спроса приведены в таблице 1. Установить объемы выпуска продукции к предстоящему сезону, обеспечивающие предприятию возможно большую сумму прибыли. Данные о себестоимости продукции представлены в таблице 31
Таблица 31 – Данные о себестоимости продукции
Вид продукции |
Себестоимость единицы продукции |
Отпускная цена единицы продукции |
Объем реализации (тыс. ед.), если уровень спроса |
|||
в течение сезона |
после уценки |
повышенный |
средний |
пониженный |
||
А Б |
7 6 |
15 13 |
12 9 |
50 70 |
40 60 |
30 50 |
Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы ограничиться рассмотрением лишь тех трех случаев, когда одновременно на оба вида продукции имеет место либо повышенный, либо средний, либо пониженный спрос.
Для отопления дома в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5, в обычную – 9,0, а в холодную – 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 6 т, на обычную требуется 7 т, а в холодную зиму расходуется 8 т. Понятно, что затраты домовладельца зависят от количества запасенного им с лета угля. При анализе возможных вариантов уровня запаса следует иметь в виду, что при необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой. Кроме того, надо учесть, что продать непотребовавшийся уголь возможности1 не будет. Используя игровой подход, составить платежную матрицу, анализируя которую, дать рекомендации по созданию запаса угля, гарантирующего домовладельцу минимальные затраты.
Объем реализации товара Т за рассматриваемый период времени колеблется в зависимости от уровня покупательского спроса в пределах от 4 до 7 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запасенного товара окажется недостаточно для полного удовлетворения спроса, можно заказать дополнительное количество товара, что потребует новых затрат на доставку в размере 4 ден. ед. в расчете на единицу товара. Если же запасенный товар полностью реализовать не удасться, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. в расчете на единицу товара. Предполагается, что дополнительно заказанный товар полностью реализуется за тот же рассматриваемый период времени. Используя игровой подход, высказать рекомендации об оптимальном уровне запаса товара Т на торговом предприятии, обеспечивающем ему наивысшую эффективность работы с учетом торговой прибыли и возможных дополнительных затрат на заказывание и доставку товара, содержание и хранение остатка.
Указание. Решение найти в чистых стратегиях на основе критериев Байеса (q1 = 0,15, q2 = 0,20, q3 = 0,40, qi = 0,25), Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (параметр γ Гурвица принять равным 0,7).
– 272 После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: 1) оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; 3) оборудование требует капитального ремонта или замены. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в состоянии принять такие решения: 1) отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от обстановки, затрат, равных а1, а2 или а3 ден. ед.; 2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b1, b2 или b3 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости; совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно с1, с2 или с3 ден. ед. Указанные выше расходы предприятия включают кроме стоимости ремонта и заменяемых деталей и узлов убытки, вызванные ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования, а также затраты на установку и отладку нового оборудования. Требуется:
придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;
составить платежную матрицу;
выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных выше состояний оборудования равны соответственно q1, q2, q3; б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны; в) о вероятностях состояний оборудования ничего определенного сказать нельзя.
Указание. В п. 3 следует найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь: в п. 3а – критерием Байеса, в п. 3б – критерием Лапласа, в п. 3в – критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра γ в критерии Гурвица задается). Все необходимые числовые данные приведены в таблице 32.
Таблица 32 – Числовые данные к задачам 263–272
|
Номер задачи |
|||||||||
|
263 |
264 |
265 |
266 |
267 |
268 |
269 |
270 |
271 |
272 |
а1 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
10 |
8 |
7 |
10 |
13 |
а2 |
11 |
6 |
11 |
10 |
12 |
8 |
11 |
12 |
17 |
9 |
а3 |
9 |
9 |
9 |
15 |
10 |
13 |
7 |
20 |
13 |
15 |
b1 |
7 |
5 |
6 |
15 |
7 |
18 |
15 |
15 |
12 |
20 |
b2 |
12 |
3 |
8 |
9 |
14 |
14 |
10 |
11 |
15 |
12 |
b3 |
6 |
7 |
16 |
18 |
9 |
10 |
16 |
17 |
9 |
11 |
с1 |
15 |
20 |
21 |
13 |
15 |
25 |
12 |
23 |
21 |
18 |
с2 |
10 |
15 |
10 |
24 |
11 |
12 |
9 |
9 |
8 |
10 |
с3 |
16 |
6 |
12 |
12 |
18 |
9 |
18 |
13 |
14 |
14 |
q1 |
0,30 |
0,40 |
0,15 |
0,15 |
0,20 |
0,35 |
0,35 |
0,15 |
0,35 |
0,30 |
q2 |
0,50 |
0,45 |
0,60 |
0,55 |
0,65 |
0,45 |
0,50 |
0,65 |
0,55 |
0,45 |
q3 |
0,20 |
0,15 |
0,25 |
0,30 |
0,15 |
0,20 |
0,15 |
0,20 |
0,10 |
0,25 |
γ |
0,70 |
0,90 |
0,50 |
0,80 |
0,60 |
0,80 |
0,70 |
0,90 |
0,60 |
0,70 |
273 – 282. Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объем выпуска неосновной сезонной продукции I, II и III. Не проданная в течение сезона часть продукции позднее реализуется полностью по сниженной цене. Буквенные обозначения себестоимости продукции, отпускных цен и объемов реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице 33
Таблица 33 – Буквенные обозначения себестоимости продукции, отпускных цен
и объемов реализации в зависимости от уровня спроса
Вид продукции |
Себестоимость единицы продукции |
Отпускная цена за единицу продукции |
Объем реализации (тыс. ед.) при уровне спроса |
|||
в течение сезона |
после уценки |
повышенном |
среднем |
пониженном |
||
I |
d1 |
p1 |
q1 |
a1 |
b1 |
c1 |
II |
d2 |
p2 |
q2 |
a2 |
b2 |
c2 |
III |
d3 |
p3 |
q3 |
a3 |
b3 |
c3 |
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры и установить ее характер, указать допустимые стратегии сторон;
вычислить элементы платежной матрицы и составить ее;
дать обоснованные рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию наивысшую сумму прибыли.
Указание. Для уменьшении размерности платежной матрицы ограничиться исследованием лишь тех трех ситуаций, когда одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков: повышенный (состояние П1), средний (состояние П2), пониженный (состояние П3).
Все необходимые числовые данные к задачам 273–282 приведены в таблице 34.
Таблица 34 – Числовые данные к задачам 273–282
|
Номер задачи |
|||||||||
|
273 |
274 |
275 |
276 |
277 |
278 |
279 |
280 |
281 |
282 |
d1 |
1,3 |
1,5 |
2,2 |
0,7 |
3,4 |
1,8 |
3,2 |
2,6 |
3,8 |
4,4 |
d2 |
1,7 |
2,1 |
1,6 |
2,4 |
1,7 |
2,5 |
1,8 |
3,7 |
2,6 |
2,1 |
d3 |
0,9 |
1,4 |
3,4 |
1,8 |
2,5 |
0,9 |
2,7 |
1,5 |
3,2 |
3,5 |
p1 |
2,6 |
2,3 |
3,7 |
1,8 |
4,5 |
2,7 |
4,7 |
3,4 |
4,7 |
5,2 |
p2 |
3,0 |
3,4 |
2,4 |
3,7 |
2,8 |
3,8 |
2,5 |
4,2 |
3,9 |
3,5 |
p3 |
1,8 |
2,8 |
4,5 |
2,5 |
3,2 |
1,5 |
3,8 |
2,8 |
4,5 |
4,7 |
q1 |
2,1 |
1,8 |
3,2 |
1,2 |
3,2 |
1,4 |
3,5 |
2,8 |
3,5 |
4,1 |
q2 |
1,8 |
2,2 |
1,6 |
2,4 |
1,4 |
2,6 |
1,2 |
3,2 |
2,8 |
2,6 |
q3 |
0,7 |
1,6 |
3,2 |
1,2 |
1,8 |
0,8 |
2,1 |
1,7 |
3,2 |
3,2 |
a1 |
19 |
22 |
17 |
28 |
18 |
24 |
36 |
14 |
26 |
38 |
a2 |
28 |
32 |
18 |
19 |
36 |
24 |
46 |
38 |
42 |
16 |
a3 |
32 |
44 |
29 |
37 |
26 |
41 |
18 |
24 |
28 |
39 |
b1 |
14 |
17 |
12 |
16 |
13 |
17 |
25 |
8 |
16 |
22 |
b2 |
16 |
18 |
9 |
20 |
19 |
14 |
28 |
22 |
29 |
9 |
b3 |
18 |
28 |
17 |
21 |
14 |
22 |
12 |
13 |
17 |
24 |
с1 |
8 |
12 |
6 |
7 |
5 |
9 |
10 |
5 |
8 |
12 |
с2 |
7 |
10 |
4 |
8 |
9 |
7 |
12 |
9 |
10 |
4 |
с3 |
9 |
13 |
8 |
10 |
6 |
9 |
5 |
7 |
11 |
13 |
283 – 286. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет b1, b2, b3 или b4 ед. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме с1 ед. в расчете на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят с2 ед. в расчете на единицу сырья. Требуется:
придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры и установить ее характер, указать допустимые стратегии сторон;
вычислить элементы платежной матрицы и составить ее;
дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса сырья, при котором дополнительные затраты на приобретение, содержание и хранение сырья будут минимальными при следующих предположениях: а) вероятности q1, q2, q3, q4 потребности в сырье в количествах соответственно b1, b2, b3, b4 ед. известны; б) потребление сырья в количествах b1, b2, b3, b4 ед. представляется равновероятным; в) о вероятностях потребления сырья ничего определенного сказать нельзя.
Таблица 35 – Числовые данные к задачам 283-286
|
Номер задачи |
|||
|
283 |
284 |
285 |
286 |
b1 |
12 |
10 |
8 |
15 |
b2 |
14 |
11 |
9 |
17 |
b3 |
16 |
12 |
10 |
19 |
b4 |
18 |
13 |
11 |
21 |
С1 |
5 |
8 |
7 |
4 |
с2 |
7 |
4 |
3 |
9 |
q1 |
0,25 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
q2 |
0,30 |
0,30 |
0,25 |
0,45 |
q3 |
0,25 |
0,40 |
0,40 |
0,20 |
q4 |
0,20 |
0,15 |
0,15 |
0,10 |
γ |
0,60 |
0,80 |
0,70 |
0,90 |
Указание. В п. 3 следует найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь: в п. 3а – критерием Байеса, в п. 3б – критерием Лапласа, в п. 3в – критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра γ в критерии Гурвица задается). Все необходимые числовые данные приведены в таблице 35.
Таблица вариантов домашней контрольной работы по дисциплине «Математическое моделирование»
-
Предпо-
следняя
цифра шифра
Последняя цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
91
248 173 278
92
249 174 279
93
250 175 280
94
251 176 281
95
252 177 282
96
253 178 283
97
254 179 284
98
255 180 285
99
256 181 286
100
257 182 101
1
81
238 163 268
82
239 164 269
83
240 165 270
84
241 166 271
85
242 167 272
86
243 168 273
87
244 169 274
88
245 170 275
89
246 171 276
90
247 172 277
2
71
228 153 258
72
229 154 259
73
230 155 260
74
231 156 261
75
232 157 262
76
233 158 263
77
234 159 264
78
235 160 265
79
236 161 266
80
237 162 267
3
61
218 143 248
62
219 144 249
63
220 145 250
64
221 146 251
65
222 147 252
66
223 148 253
67
224 149 254
68
225 150 255
69
226 151 256
70
227 152 257
4
51
208 190 238
52
209 191 239
53
210 192 240
54
211 193 241
55
212 194 242
56
213 195 243
57
214 196 244
58
215 197 245
59
216 141 246
60
217 142 247
5
41
198 180 228
42
199 181 229
43
200 182 230
44
201 183 231
45
202 184 232
46
203 185 233
47
204 186 234
48
205 187 235
49
206 188 236
50
207 189 237
Продолжение таблицы вариантов
-
Предпо-
следняя
цифра шифра
Последняя цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
31
131 170 198
32
132 171 199
33
133 172 200
34
134 173 201
35
135 174 202
36
136 175 203
37
137 176 204
38
138 177 205
39
139 178 206
40
140 179 207
7
21
121 160 277
22
122 161 278
23
123 162 279
24
124 163 280
25
125 164 281
26
126 165 282
27
127 166 283
28
128 167 284
29
129 168 285
30
130 169 286
8
11
111 150 267
12
112 151 268
13
113 152 269
14
114 153 270
15
115 154 271
16
116 155 272
17
117 156 273
18
118 157 274
19
119 158 275
20
120 159 276
9
1
101 141 258
2
102 142 259
3
103 144 260
4
104 143 261
5
105 144 261
6
106 145 262
7
107 146 263
8
108 147 264
9
109 148 265
10
110 149 266
Примечание: жирным шрифтом обозначены теоретические вопросы , курсивом - задачи