Вопросы для ответа у доски

1. Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме и объясните физический смысл каждого из уравнений.

2. Запишите полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме и объясните физический смысл каждого из уравнений.

3. Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей (Е=const, B=const) в интегральной форме и объясните физический смысл каждого из уравнений.

4. Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособленно друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла.

5. Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?

6. Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла?

Примеры решения задач

Задача 1.

Плоская электромагнитная волна с частотой распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью . Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.

Решение.

Пусть напряженность электрического поля в электромагнитной волне изменяется со временем по закону Тогда плотность тока смещения:

где амплитуда тока смещения:

По закону Ома: где - амплитуда тока проводимости.

Следовательно:

Ответ:

Задача 2.

Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого , меняют так, что индукция магнитного поля внутри соленоида возрастает со временем по закону где - постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния от оси соленоида.

Решение.

Чтобы определить плотность тока смещения надо найти напряженность электрического поля, которое в данном случае будет вихревым, так как магнитное поле меняется со временем. Воспользуемся первым уравнением Максвелла для циркуляции вектора :

Для

Учитывая, что :

График зависимости .

Ответ:

Задача 3.

Определить напряженность Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 200 витков, идёт ток силой 5А. Внешний диаметр тороида равен 30 см, внутренний 20см.

Решение.

Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль линии магнитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 r, где r – радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция:

(*)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

Приравнивая правые части последних равенств, получим:

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова, поэтому получим:

откуда:

(**)

Для средней линии тороида (***)

Подставив (***) это выражение в формулу (**),находим:

Вычисляя, получаем:

Ответ: 1,27кА/м.

Задача 4.

Найти амплитуду плотности тока смещения, возникающего в плоском конденсаторе, образованном двумя проводящими дисками с радиусом , если расстояние между дисками и напряжение на конденсаторе меняется по закону где

Решение.

Электрическое поле между пластинами конденсатора однородно. Силовые линии магнитного поля - окружности с центрами на оси симметрии. Рассмотрим в качестве контура такую окружность радиуса в плоскости между пластинами конденсатора.

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла для циркуляции вектора напряженности магнитного поля , учитывая, что токи проводимости в данной задаче отсутствуют.

Имеем:

Интеграл в правой части уравнения будем вычислять в предположении, что поле вне конденсатора пренебрежимо мало. Тогда, при

Так как:

При

Найдем максимальное значение тока смещения:

Так как то

Максимальное значение равно:

, т.е.:

Это весьма слабый ток, и обнаружить создаваемое им магнитное поле не просто. Именно поэтому можно во многих случаях пренебрегать током смещения. Однако этот ток растет линейно по частоте и при достаточно больших частотах его учет становится необходимым.

Ответ:

Задача 5.

Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабопроводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Решение.

Покажем, что магнитное поле будет отсутствовать потому, что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна .

Известно, что , a , где - поверхностная плотность заряда на положительно заряженном диске; - нормаль к поверхности. Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда , а

следовательно, и электрического смещения . То есть ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность тока смещения:

Отсюда следует, что действительно

а, следовательно, магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Ответ:

Задача 6.

Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью . В момент внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен .

Решение.

В пространстве между сферами возникает ток смещения :

По теореме Гаусса:

Следовательно:

где - ток проводимости, - произвольная замкнутая поверхность, расположенная между внешней и внутренней сферами. Таким образом, доказано, что ток смещения равен току проводимости.

где учтено, что по закону Ома: , а по теореме Гаусса:

Следовательно,

Ответ:

Задача 7.

Какую скорость приобретает электрон в конце первого витка в бетатроне, радиус которого , если напряженность однородного магнитного поля изменяется по закону где - постоянный коэффициент.

Решение.

Бетатрон предназначен для получения быстрых электронов. Он состоит из вакуумной камеры, которая помещена между полюсами электромагнита, обмотка ко-

торого питается переменным током. Принцип работы бетатрона основан на явлении электромагнитной индукции. Возникающее переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле, ускоряющее электроны. Это вихревое поле, совершая работу, увеличивает кинетическую энергию электрона. Для нерелятивистского электрона работа поля

Воспользуемся первым уравнением Максвелла, записанным в виде:

Учитывая, что магнитный поток, пронизывающий камеру:

получаем:

Работа электрического поля:

где - заряд электрона, - масса электрона.

Откуда скорость электрона:

Ответ: