3.3. Занятие 9. Уравнения Максвелла. Ток смещения

Краткие теоретические сведения

Основные понятия и законы

Система уравнений Максвелла в интегральной форме является системой фундаментальных законов электрического и магнитного полей. Уравнения Максвелла могут быть положены в основу истолкования всевозможных электромагнитных явлений. Они полностью описывают электромагнитное поле. С их помощью можно найти напряженность и индукцию электрического и магнитного полей для любых точек пространства и любого момента времени; уравнения справедливы для поверхностей и контуров любой формы. Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, теоретическое исследование которых привело к созданию электромагнитной теории света. Максвелл открыл тайну природы света: свет - это электромагнитные волны; предсказал возможность радиосвязи задолго до открытия радиоволн.

Теория Максвелла привела к представлениям об электромагнитном поле, как о неразрывной совокупности взаимосвязанных электрического и магнитного полей, которые могут превращаться друг в друга и распространяться в пространстве.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля (с замкнутыми силовыми линиями)

Закон Фарадея:

может быть записан в обобщенном виде. Учитывая, что магнитный поток

получаем:

или в векторной записи:

Это первое уравнение системы уравнений Максвелла в интегральной форме. Оно является, по существу, выражением закона электромагнитной индукции. Физический смысл первого уравнения заключается в том, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющееся во времени магнитное поле.

Согласно Фарадею ЭДС индукции возникает в проводящем контуре, охватывающем переменный магнитный поток, а Максвелл показал, что переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля в пространстве независимо от наличия контура.

Физический смысл второго уравнения Максвелла заключается в том, что источником вихревого магнитного поля могут быть не только движущиеся электрические заряды, но и изменяющееся во времени электрическое поле. Это переменное электрическое поле Максвелл условно назвал током смещения и приписал ему лишь одно свойство: способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле, такое же, как и магнитное поле движущихся зарядов, т.е. определяемое законом Био-Савара-Лапласа. Если в проводнике имеется переменный ток (т.е. ускоренно движущиеся электрические заряды), то внутри проводника существует переменное электрическое поле, а, следовательно, внутри проводника имеется и ток проводимости и ток смещения, а магнитное поле определяется их суммой, т.е. полным током. Плотность полного тока равна

где плотность тока проводимости,

- вектор электрического смещения (или электрической индукции). Ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.

Второе уравнение Максвелла отражает теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру или закон полного тока: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему площадь поверхности, ограниченной этим контуром:

Выражая токи проводимости и смещения через их плотности:

получаем второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

или в скалярной записи:

Из первого и второго уравнений Максвелла вытекает важнейший вывод: переменное электрическое и переменное магнитное поле не могут существовать отдельно. Они всегда существуют вместе, образуя единое электромагнитное поле.

Уравнения Максвелла являются обобщением основных законов электродинамики. Третье уравнение системы уравнений Максвелла - это теорема Гаусса для потока вектора электрического смещения (или электрической индукции): поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных (часто их называют сторонними) зарядов, заключенных внутри этой поверхности:

где - объемная плотность свободных (сторонних) электрических зарядов.

Наиболее часто для расчета напряженности электрического поля используется теорема Гаусса в виде:

Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на .

Четвертое уравнение отражает теорему Гаусса для потока вектора магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю:

Это уравнение указывает на отсутствие магнитных зарядов.

Чтобы полностью осуществить расчет полей по заданным распределениям в пространстве зарядов и токов нужно дополнить четыре основных уравнения системы уравнений Максвелла еще тремя. Пятое и шестое уравнения выражают связь векторов и , и .

Седьмым уравнением является закон Ома в дифференциальной форме:

где - удельная проводимость.