Свободные механические колебания

На рисунке показан пружинный маятник - тело, подвешенное на пружине, второй конец которой жестко закреплен. На рис. а тело показано в по­ложении равновесия ОО₁, при оно неподвижно, так как сила тяжести уравновешена силой упругос­ти пружины.

F_x=-kx

проекция F_x силы упругости, под действием которой происходят колебания пружинного ма­ятника; k - коэффициент жесткости пружины (см. п. 1.16); x - смещение тела из положения равновесия (рис.б).

m =-kx

уравнение движения пру­жинного маятника вдоль оси Ох, полученное подстановкой в урав­нение второго закона Ньютона ma=F ускоре­ния a= и силы F=-kx (силы упругости).

²x=0

дифференциальное уравнение гармонических колебаний (получено из уравне­ния движения пру­жинного маятника, в котором ²=k/m). Ре­шением дифференциального уравнения колеба­ний является функ­ция вида х(t)=Асos(wt+j₀), где А - амплитуда колебаний, j₀ – начальная фаза.

При малых колебаниях период T не зависит от амплитуды:

,

де l - длина нитки; g - ускорение свободного падения.

х=Асos(wt+j₀)

уравнение свободных гармонических колебаний, которое является решением дифференциального уравне­ния колебаний; х – смещение колеблю­щейся точки от ее среднего положения; А - амплитуда колебаний; wt+j₀ - фаза колебаний; w - циклическая частота; t – время; j₀ – начальная фаза (фаза в момент времени t=0).

Величина, обратная периоду колебаний, т. е. число полных колебаний, совершаемых в едини­цу вркмени, называется частотой колеба­ний.

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц =1 с^–1.

w=2n

связь между циклической частотой w и частотой колебаний n. Циклическая частота определяет число колебаний, совершаемых за 2p се­кунд. Она измеряется в секундах в минус первой степени (с^–1).

циклическая частота w и период Т собственных колебаний пружинного маятника; k - коеффи­циент жесткости пружины; m - масса колеблю­щегося тела.

циклическая частота w и период Т собственных колебаний математического маятника; l - длина нити; g - ускорение свободного падения.

v_m=Аw

максимальная скорость колебаний (амплитуда скорости).

а_х= =

=-Аw²сos(wt+j₀)

=Аw²сos(wt+j₀+)

проекция на ось х ускорения a гармонического колеба­ния, если х=Асos(wt+j₀). Фаза величи­ны ускорения a_x отличается от фазы величины смещения x на .

а_m=Aw²

максимальное ускорение колебаний.

На рисунке показаны графики смещения х (координаты тела), скорости v и ускорения а при гармонических колебаниях, происходящих вдоль оси х по закону х=Асoswt; скорость v_x=-Аwsinwt, ускорение а=-Аw²сoswt.