Определение деформаций балок переменного сечения

При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид

где J(x) — переменный момент инерции сечений балки.

До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой через J, т. е. через момент инерции того; сечения, где действует ; после этого вычисления производятся так же, как и.для балок постоянного сечения.

Покажем это на примере, разобранном выше. Определим прогиб балки равного сопротивления, защемленной одним концом, нагруженной на другом конце силой Р и имеющей постоянную высоту. Начало координат выберем на свободном конце балки.

Тогда

Дифференциальное уравнение принимает вид:

Интегрируем два раза:

Для определения постоянных интегрирования имеем условия: точке А при прогиб и угол поворота или

и

отсюда

и

Выражения для и принимают вид;

Наибольший прогиб на свободном конце балки В получится при : он равен

Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то наибольший прогиб был бы

т. е. в 1,5 раза меньше.

Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по сравнению с балками постоянной жесткости при одинаковой с ними прочности. Именно поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких конструкциях, как рессоры.

Вопросы для самопроверки

- Что такое сложное сопротивление стержней ?

- Какие внутренние усилия возникают в стержне в наиболее общем случае сложного сопротивления ?

- Какой изгиб называется косым?

- Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

- К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при косом изгибе ?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

- Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

- Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

- Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

- Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

- К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при внецентренном растяжении (или сжатии)?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

- Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

- Что такое ядро сечения?

- Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

- Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

- Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением? Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

- На рисунке изображены различные поперечные сечения балок и положения плоскости действия изгибающих балку моментов. Ука­зать, в каких случаях будет плоский, в каких - косой изгиб?

1) 2) 3) 4)

- По какой формуле определяют напряжения при косом изгибе?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Какие точки данного поперечного сечения балки при косом изгибе будут опасными?

- Нейтральная ось при косом изгибе проходит:

1) перпендикулярно плоскости действия сил;

2) перпендикулярно плоскости прогибов;

3) перпендикулярно главной плоскости.

- Какой вид сложного сопротивления испытывает данный стержень?

1) Косой изгиб;

2) Изгиб и кручение;

3) Внецентренное растяжение-сжатие;

4) Продольный изгиб.

- Напряжения для данного стержня (см. рис. в предыдущем примере) в указанных точках определяют по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Определить в каком случае нормальные напряжения в основании стойки будут больше? Почему?

- Максимальные напряжения для стержня (а) (см. рис. в предыдущем примере) в основании стойки определяют по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- На валу, приводимом в движение мотором М, насажен посередине шкив весом 0,5 кН, диаметром 1,2м. Натяжение ведущей части ремня, надетого на шкив, равно 0,6 кН, а ведомой - 0,3 кН. Какой вид сложного сопротивления испытывает вал:

1) внецентренное растяжение (сжатие);

2) косой изгиб;

3) изгиб с кручением;

4) изгиб с растяжением.

- Условие прочности для данного вала имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Какой вид сложного сопротивления испытывает вал зубчатой передачи?

1) изгиб с растяжением,

2) косой изгиб,

3) изгиб с кручением.

- Косой изгиб является сложным сопротивлением.

1) да;

2) нет;

3) да, если добавить растяжение- сжатие.

- Растяжение – сжатие вид сложного сопротивлении.

1) нет;

2) да;

3) да, в наклонном сечении стержня.

- При сложном сопротивлении, в каком случае в сечении имеются точки, где нормальное напряжение s равно нулю.

1) косой изгиб;

2) поперечный изгиб;

3) внецентренное растяжение- сжатие.

- При какой разновидности сложного сопротивления имеется «ядро сечение».

1) растяжение-сжатие;

2) изгиб с кручением;

3) внецентренное сжатие.

- Заклепочное соединение работает в условиях сложного сопротивления.

1) да;

2) нет;

3) при осевом сжатии заклепок.