Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности, Мариотт, 1682 г.)

В основу теории наибольших линейных деформаций положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

Максимальные относительные деформации в соответствии с обобщенным законом Гука.

- при растяжении, (16)

- при сжатии. (17)

При простом растяжении

(18)

Предельное значение относительной деформации при растяжении

(19)

На основании сформулированной гипотезы, имеем

(20)

или с учетом (16), (19)

(21)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по II теории прочности:

(22)

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

- при растяжении, (23)

- при сжатии. (24)

Из (7.19), (7.20) вытекает, что простое растяжение более опасно нежели сложное. Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

Критерии пластичности

Критерии пластичности представляют собой меру напряженного состояния, определяющую условия перехода материала в предельное состояние, то есть из упругого состояния в состояние пластичности.

Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности; Кулон, 1773 год)

В основу теории наибольших касательных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине касательных напряжений.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из касательных напряжений достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии:

(25)

При простом растяжении (s₂=s₃=0)

. (26)

Предельное значение максимальных касательных напряжений при растяжении

(27)

На основании сформулированной гипотезы, имеем

(28)

или с учетом (25), (26)

. (29)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по III теории прочности:

(30)

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

(31)

Условие прочности (31) хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому данная теория широко применяется для расчета деталей из металлических материалов.

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.)

В основу энергетической теории прочности положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

(32)

При простом растяжении (s₂=s₃=0)

(33)

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении

(34)

На основании сформулированной гипотезы, имеем

(35)

или с учетом (32) и (34)

(36)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:

(37)

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

(38)

Последнее условие прочности хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому оно широко применяется при расчете деталей из металлических материалов.

Теория прочности Мора (V теория прочности)

Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных напряжений в соответствии с уравнением:

(39)

При одноосном сжатии в предельном случае s₁=0, s₃=

(40)

откуда определяется коэффициент k

(41)

для пластичных материалов, или

(42)

для хрупких материалов.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:

(43)

Замечания о выборе теории прочности

Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенных теорий еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. Рассмотренными выше теориями можно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.

При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения или теорией максимальных касательных напряжений. Если пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.

Пример 5.

Определить допускаемое касательное напряжение, используя III и IV теории прочности.

Как известно при чистом сдвиге s₁= , s₃= , s₂=0.

Эквивалентное напряжение по теории максимальных касательных напряжений при чистом сдвиге имеет следующий вид:

откуда получаем

Эквивалентное напряжение по теории удельной потенциальной энергии формоизменения при чистом сдвиге имеет следующий вид:

откуда получаем

Оба результата неплохо согласуются с опытными данными

.

Пример 6.

Проверить прочность вала, передающего крутящий момент 1000 Нм по теории максимальных касательных напряжений, если диаметр вала d=4 см, основное допускаемое напряжение =160 МПа.

Максимальное касательное напряжение при кручении круглого вала

При кручении в поперечных сечениях имеет место напряженное состояние чистого сдвига s₁= , s₃= , s₂=0. Условие прочности по теории максимальных касательных напряжений имеет следующий вид:

Условие прочности удовлетворяется.

Пример 7.

Подобрать диаметр вала, передающего крутящий момент 1000 Нм на основании теории прочности Мора, если =400 МПа, =1600 МПа, коэффициент запаса прочности при растяжении n=4.

Коэффициент k условия прочности Мора (43) определяется по уравнению (42)

.

Допускаемое напряжение на растяжение определяется из следующего уравнения

.

Условие прочности по теории Мора при чистом сдвиге, имеющем место при кручении, имеет следующий вид:

.

Откуда определяется потребный диаметр вала

Пример 8.

Определить аналитические выражения эквивалентных напряжений по III и IV теориям прочности для напряженного состояния, имеющего место в промежуточных точках поперечного сечения при плоском прямом поперечном изгибе бруса.

Главные напряжения в промежуточных точках поперечного сечения при плоском прямом поперечном изгибе бруса определяются уравнением

.

Следовательно, эквивалентное напряжение по III теории прочности в этом случае имеет следующий вид:

Эквивалентное напряжение по IV теории прочности имеет следующий вид:

С помощью данных уравнений можно проводить полную проверку прочности балок с учетом как нормальных, так и касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях.