Элементы теории устойчивости систем управления

Одним из основных свойств систем управления является свойство устойчивости переходного процесса системы:

В основном системы управления должны быть устойчивыми в рассмотренном смысле. В ряде случаев, например при реализации режима генерации сигналов, необходимо обеспечить ограниченную неустойчивость системы (ограниченную в смысле предельных конечных состояний выходного параметра). Например:

Рассмотрим математические основы теории устойчивости. Представим обобщённое уравнение системы в виде динамической модели

Решение подобных дифференциальных уравнений можно представить в виде , где y_ч — частное решение уравнения с определённой правой частью, y_общ — общее решение уравнения с нулевой правой частью. Так как за пределами переходного процесса, то решение y_ч так же будет подчиняться условию , то есть устойчивость системы не зависит от входных воздействий x(t)и является внутренним свойством системы, определяемым решением y_общ соответствующего характеристического уравнения

.

Подчеркнём, что термин «устойчивость» определяется в соответствии с рассмотренными выражениями только как внутреннее свойство конкретной системы. Для оценки критериев устойчивости рассмотрим соответствующие формы решений представленного уравнения. Наиболее общей формой является решение вида , где C_i — постоянные коэффициенты, P_i — корни соответствующего характеристического уравнения, представленного в операторном виде.

Очевидно, что в данном решении условие устойчивости будет выполняться только при строго отрицательных значениях всех без исключения корней P_i характеристического уравнения

Подчеркнём, что требование строго отрицательных значений корней P_i относится ко всем без исключения корням характеристического уравнения.

С практической точки зрения данный критерий является неэффективным, поэтому рассмотрим другую математическую форму критериев устойчивости. Для этого представим характеристическое уравнение в виде

Исходя из предыдущего условия P_i<0, очевидно, что в данной математической форме условие устойчивости определяется как строго положительные значения всех без исключения коэффициентов характеристического уравнения.

Вернёмся к исходному характеристическому уравнению в операторной форме

Так как , то очевидно, что смысл характеристического уравнения определяется знаменателем передаточной функции, но обязательными условиями являются, во-первых — нормализованная форма передаточной функции (двухэтажная дробь), во-вторых — нормализованная форма характеристического уравнения, то есть знаменателя передаточной функции, представленного в виде упорядоченного многочлена по степеням P, начиная с максимальной для данной системы степени. Например:

Данное уравнение соответствует передаточной функции вида (а₀ = T; a₁ = 1).

В данном уравнении единственный корень

Если a₀ > 0 (это условие всегда может быть выполнено), то условиями устойчивости данной системы будут:

a₀ > 0, a₁ > 0, тогда P₁ < 0

Рассмотренные условия устойчивости являются алгебраическими и могут применяться для систем любой сложности, но для характеристических уравнений или систем первого и второго порядков (по степени Р) данные условия являются необходимыми и достаточными. Для систем третьего порядка и выше, данные условия являются только необходимыми. Достаточные условия формируются на основе матрицы Гаусса-Гурвица.

1. a₁ P + a₀ = 0

н. у. + д. у. → a₀ > 0; a₁ > 0

2. a₂ P² + a₁ P + a₀ = 0

н. у. + д. у. → a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0

3. a₃ P³ + a₂ P² + a₁P + a₀ = 0

н. у. → a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; а3>0

д. у. → (а₁ · а₂ – а₀ · а₃) > 0

Рассмотрим типичные примеры анализа устойчивости систем управления:

1.

T₁ > 0

– T₂ > 0

Данные условия характеризуют параметрическую устойчивость системы, то есть область значений параметров характеристического уравнения или системы, определяющих её устойчивость. Невыполнение этих условий характеризует параметрическую неустойчивость.

2.

Эта система принципиально не может быть устойчивой. Поэтому данная система является структурно неустойчивой вследствие наличия коэффициента (–1) в характеристическом уравнении. Термин «структурная неустойчивость» означает, что никакие вариации параметров системы не могут сделать её устойчивой. Для этого необходимо изменить структуру системы, например за счёт корректирующих цепей или обратных связей.

Например:

а) ПОС (+1)

T₁ > 0

T₂ > 0

(–1 – k) > 0

Таким образом оказывается, что введение ПОС позволяет перейти от структурно неустойчивой системы к параметрически устойчивой.

б) ООС (–1)

T₁ > 0

T₂ > 0

(–1 + k) > 0

Очевидно, что и ООС позволяет перейти от структурно неустойчивой системы к параметрически устойчивой.

3.

RC > 0

Данное условие параметрической устойчивости подразумевает, что R > 0 и C > 0. Ряд элементов в микроэлектронике, в частности туннельные диоды обладают нелинейной ВАХ с явно выраженным участком отрицательного сопротивления.

Очевидно, что области ВАХ с отрицательным сопротивлением являются областями параметрической неустойчивости. Такие области могут быть использованы в качестве областей генерации сигналов. Амплитудные значения таких сигналов будут ограничены соответствующими областями параметрической устойчивости. Такая интерпретация процессов генерации сигналов характеризует схемотехнические особенности систем с позиции теории устойчивости.

Рассмотрим несколько типичных примеров анализа устойчивости систем управления:

1 .

p²

p

p = 0

Условия параметрической устойчивости:

T₁ > 0

(–T₂ + T₃) > 0

(–T₄ – 1) > 0

2.

Система структурно неустойчивая, так как коэффициент характеристического уравнения при p = 1 равен 0, что противоречит условиям параметрической устойчивости.

3.

T > 0 – условие параметрической устойчивости.