Примеры моделей

________________________________________________________________________________

Глава 5. Примеры моделей

5.1. Экономические модели

Существует много различных вариантов фирм, но все они обладают определенными сходными свойствами. [4,10] Обычно в них предполагается, что спрос на некоторый продукт на заданном отрезке времени зависит от его цены ( и других факторов) на этом отрезке. Что касается предложения, то оно определяется ценами предыдущего периода времени. И далее считают, что рынок всегда находится в условиях локального равновесия. Одна из разновидностей экономических моделей является паутинообразная, представляющая собой простейшую динамическую модель взаимодействия фирмы и рынка.

5.1.1. Паутинообразная модель 1

Представляет из себя вероятностную модель. Условия локального равновесия рынка в вероятностной модели описывается следующим уравнением:

(5.1)

где:  предложение на Т-ом отрезке времени;  спрос на Т-ом отрезке времени;  случайная величина с заданным законом распределения с математическим ожиданием и дисперсией .

Уравнение функционирования фирмы имеют вид:

(5.2)

(5.3)

где:  цена на Т -ом отрезке времени; - случайная величина с заданным законом распределения с математическим ожиданием и дисперсией ; - случайная величина с заданным законом распределения с математическим ожиданием и дисперсией ; - константы, которые определяются с помощью стандартных эконометрических методов.

Из формулы (5.2) видно, что спрос на Т -ом отрезке времени линейно зависит от текущей цены и случайной величины , которая характеризует непредвиденные колебания предпочтений и доходов потребителей, а также другие случайные факторы, влияющие на величину спроса.

Уравнение (5.3) также является линейным: предложение на Т-ом отрезке времени зависит от цены на (Т-1)-ом отрезке времени и от значения случайной величины . Здесь случайная величина может быть обусловлена погодой, если рассматривается сельскохозяйственная продукция, или от колебания технологии, от эффективности производственного процесса и т.д. (даже от политических нюансов).

Условие локального равновесия рынка означает совпадение спроса и предложение с точностью до случайной величины .

Рис. 5.1. Условие локального равновесия рынка

Подставим выражение и в (5.1) и разрешим уравнение относительно :

(5.4)

Это отношение с учетом заданного начального значения цены и законов распределения случайных величин может быть принята как имитационная модель. На ЭВМ с помощью прогонов можно получить траектории переменных ,,.

Блок-схему имитационной модели можно представить в следующем виде:

Предположим, что в идеальном случае

В этом случае вид траектории полностью определяется соотношением параметров и . В зависимости от этого отношение колебания цены могут быть раскачивающимися, с постоянной амплитудой или затухающими:

• если , амплитуда колебаний неограниченно растет;

• если , колебания имеют постоянную амплитуду;

• если , колебания затухают.

5.1.2. Паутинообразная модель 2

В модели 1 поставщики продукции планируют текущий объем продукции реализовать по ценам предыдущего периода и что эти цены сохранятся и впредь.

В модели 2 предполагают, что поставщики учитывают изменение цен и планируют свой выпуск на очередной Т-й отрезок времени с учетом приращения цены где ; - константа , которую устанавливают поставщики с учетом наблюдаемых колебаний цен.

Уравнение (5.3) в этом случае имеет вид:

(5.5)

При этом имитационная модель изменяется незначительно. Поэтому процедура имитации и построения траектории ,, несущественно отличается от предыдущей.

5.1.3. Паутинообразная модель 3

Если объем предложения реагирует на изменения цен с некоторым запаздыванием, анализ стабильности равновесия существенно усложняется. Допустим, что объем спроса зависит от уровня цен текущего периода, тогда как объем предложения – от уровня цен предыдущего периода:

(5.6)

где t– определенный период времени . Это значит, что производители определяют в период t-1 объем предложения следующего периода t, предполагая, что цены периода t-1 сохраняться и в период t.

Можно показать, что в простейшем случае, при линейных функциях спроса и предложения

(5.7)

и дискретном времени , уровень рыночной цены в любой момент t определяется уравнением

(5.8)

где – цена в начальный момент ; – равновесная цена, при которой . Как следует из (5.7) .

Из (5.8) следует, что рыночная цена будет колебаться вокруг (поскольку множитель может быть либо положительным, либо отрицательным). Рыночная цена будет приближаться к равновесной, если при . А это возможно, если , или, иначе, если . Напротив, если рыночная цена будет все более удаляться от равновесного уровня. Наконец, при начальное отклонение рыночной цены от равновесного уровня будет постоянно воспроизводиться. Заметим, что параметры d и b характеризуют наклоны линий предложения и спроса.

В такой ситуации график спроса и предложения приобретает паутинообразный вид (рис. 5.3). При этом стабильность равновесия, как видно из рисунка, будет зависеть от абсолютных наклонов линий спроса и предложения.

Если абсолютный наклон линии спроса превышает наклон линии предложения, отклонение от равновесия ведет к увеличению колебаний цен и объемов, все более удаляющих рынок от равновесного состояния.

Р ис.5.3 Паутинообразная модель 3

Если абсолютные наклоны линий спроса и предложения одинаковы, всякое первоначальное отклонение ведет к колебанием цен и объемов одинаковой амплитуды вокруг равновесного уровня.

Если абсолютный наклон линии предложения выше, чем наклон линии спроса, колебания постепенно затухают, нарушенное равновесие восстанавливается.

Рассмотрим подробнее ситуацию, представленную на рис. 5.3,б, когда Предположим, начальная цена . В периоде производители, ориентируясь на цену , предложат для продажи продукцию в объеме , что ниже равновесного уровня . Возникший дефицит приведет к повышению цены до . Предполагая, что этот уровень сохранится и в период , производители увеличат объем предложения до , что выше равновесного уровня. Избыток предложения приведет к падению цены до и т.д. Заметим,

что все три ситуации, представленные на рис. 5.3, предполагают неизменность функций спроса и предложения во времени.

Таким образом, хотя линии спроса и предложения имеют нормальный наклон, запаздывание в реакции предложения на изменение цен может привести к нестабильности равновесия. Отсюда следует, анализ стабильности не может ограничиваться лишь методом сравнительной статистики.

5.2. Построение информационно-вычислительных сетей коллективного пользования

Данная модель строится с точки зрения обработки информации и принятия решений по её обработки, хранению и передачи. [12]

144