Лабораторная работа №1 [Ишимбай] / №1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ИШИМБАЙ

Кафедра Физики и Математики

Отчет по лабораторной работе №1

по предмету «Теория принятия решений»

на тему: Методы одномерной минимизации.

Вариант задания №7.

Выполнил: студент гр. АТП-308

Шарипов Д.В.

Принял: к. ф.-м. н., ст. преп.

Мугафаров М.Ф.

Ишимбай 2007

Цель работы: изучение методов одномерной минимизации.

Краткие теоретические сведения.

В общем случае задача одномерной минимизации формулируется следующим образом:

Найти наименьшие значение целевой функции , заданной на некотором множестве , и определить значение параметра , при котором целевая функция принимает это экстремальное значение.

В тех случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена только при некоторых дискретных значениях аргумента, требуется применять специальные методы поиска. Общая идея таких методов заключается в вычислении значений функции в отдельных точках и последующем выборе среди полученных значений наименьшего (наибольшего). Рассмотрим некоторые методы поиска.

Метод перебора (метод равномерного поиска).

Будем искать минимум функции на отрезке . При этом будем полагать, что функция на является унимодальной, т.е. у нее существует ровно один минимум на рассматриваемом отрезке. Процесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределенности. Вначале процесса оптимизации его длина равна . В момент завершения процесса длина интервала неопределенности должна стать меньше заранее заданного числа , называемого точностью приближенного решения. Т.е. искомое оптимальное значение проектного параметра должно находиться на отрезке таком, что . Наиболее простым способом сужения интервала неопределенности, который как раз и используется в методе равномерного поиска, является его деление на некоторое число равных частей, с последующим вычислением значений целевой функции в каждой точке разбиения.

Метод половинного деления.

Метод деления промежутка пополам позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения на каждой итерации половину текущего промежутка неопределенности. Работа алгоритма заканчивается, когда длина текущего промежутка неопределенности оказывается не более требуемой точности. На каждой итерации сравниваются значения в трех пробных точках, равномерно распределенных на текущем промежутке, т.е. делящих его на равные части.

Метод золотого сечения.

Одним из наиболее быстродейственных и эффективных методов является метод золотого сечения. Он состоит в построении последовательности отрезков , стягивающихся к точке минимума функции . При этом на каждом шаге, начиная со второго, значения функции нужно вычислить только один раз. Точка, в которой вычисляется значение функции, называется золотым сечением и выбирается специальным образом. Поясним идею метода геометрически.

На первом шаге внутри отрезка выбираем две внутренние точки и и вычисляем и . Если , то очевидно минимум расположен либо на , либо на . Поэтому отрезок можно исключить из рассмотрения, сузив тем самым интервал неопределенности . второй шаг проводится на отрезке , где и .

На данном отрезке снова требуется выбрать две точки, но одна из них (точка ) остается с предыдущего шага. Следовательно, требуется вычислить значение только в одной точке . После этого снова провести сравнение , и выбрать нужный интервал. Процесс повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше заранее заданной величины . Внутренние точки и на отрезке выбираются следующим образом (в случае ):

В тех случаях, когда требуется более высокая точность, следует брать результат отношения с точность до требуемой. Традиционно в качестве найденного значения принимается среднее арифметическое .

Задание:

1. Используя графическое представление показать, что функция , где , , является унимодальной на отрезке

2. Написать программу поиска минимума функции на отрезке методами:

• равномерного поиска

• половинного деления

• золотого сечения

Точность для всех трех методов

Выполнение работы

Все расчеты будем проводить с помощью пакета MathCad.

Для графического представления исследуемой целевой функции:

1. зададим значения границ отрезка неопределенности

2. опишем исследуемую целевую функцию

3. с помощью команды Декартов График с панели инструментов графиков построим график исследуемой целевой функции

Из графика видно, что исследуемая непрерывная целевая функция имеет единственный локальный минимум на отрезке . Это значит, что рассматриваемая целевая функция является унимодальной.

С помощью трассировки приближенно находим, что исследуемая целевая функция достигает своего минимального значения -0.57569 при .

Реализацию метода равномерного поиска будет осуществлять функция ravnomer(a,b,eps), входными параметрами которой являются нижняя, верхняя граница отрезка неопределенности и точность приближенного решения . Результатом функции будет значение проектного параметра x, доставляющего минимум рассматриваемой целевой функции, само значение этого минимума, а также количество произведенных итераций. Приведем листинг этой функции:

Результат функции:

Метод половинного деления реализует функция half(a,b,eps). Входными параметрами данной функции являются нижняя, верхняя граница отрезка неопределенности и точность приближенного решения . Результатом функции будет значение проектного параметра x, доставляющего минимум рассматриваемой целевой функции, само значение этого минимума, а также количество произведенных итераций. Приведем листинг этой функции:

Результат функции:

Метод золотого сечения осуществляет функция gold(a,b,eps), входными параметрами которой являются нижняя, верхняя граница отрезка неопределенности и точность приближенного решения . Результатом функции будет значение проектного параметра x, доставляющего минимум рассматриваемой целевой функции, само значение этого минимума, а также количество произведенных итераций. Приведем листинг этой функции:

Результат функции:

Таблица результатов рассмотренных методов:

Метод	Количество итераций	Значение	Значение
Равномерного поиска	200000	-0.56024	-0.57573
Половинного деления	40	-0.56023	-0.57573
Золотого сечения	30	-0.56023	-0.57573

Вывод.

Как видно из таблицы результатов все методы выдали в итоге почти одинаковые значения проектного параметра и целевой функции . Сравнивая количество итераций, произведенных каждым из рассмотренных методов, можно сделать вывод, что наиболее быстродейственным является метод золотого сечения.