7) Переход от одной системы счисления к другой.

Для перехода от одной системы к другой достаточно уметь:

а) переходить от любой системы счисления к десятичной;

б) переходить от десятичной системы к другой системе.

Переход от любой системы к десятичной выполняется путем прямого вычисления.

Пример. Дано число 3021(4), записать его в десятичной системе.

Решение. 3021(4) = 3 · 43 + 2 · 4 + 1 = 192 + 8 + 1 = 201.

Переход от десятичной системы к другой покажем на примере. Число 856 записать при основании 4. Устанавливаем, сколько четверок содержится в числе 856: 856 : 4 = 214. Значит, число состоит из 214 единиц 2-го разряда (214 четверок). Сосчитаем единицы 2-го разряда четверками; делим 214 на 4; получаем 53 единицы 3-го разряда и 2 единицы 2-го разряда. Ведем теперь счет единиц 3-го разряда четверками; делим 53 на 4 и получаем 13 единиц 4-го разряда и одну единицу 3-го разряда. Делим теперь 13 на 4. Результат счета единиц 4-го разряда: 3 единицы 5-го разряда и одна единица 4-го разряда. Значит, данное число содержит 3 единицы 5-го разряда, 1 единицу 4-го разряда, 1 единицу 3-го разряда, 2 единицы 2-го разряда и 0 единиц 1-го разряда. Это число запишется так: 31120(4). Таким образом, 856(10) = 31120(4).

3. Арифметические действия над систематическими числами.

Сложение. Отыскание суммы сводится к сложению единиц одного и того же разряда, начиная с единиц 1-го разряда, и к преобразованию суммы единиц низшего разряда в высший, если эта сумма - число двузначное. Поэтому сложение можно производить непосредственно, как и в десятичной системе, используя таблицу сложения однозначных чисел.

Вычитание. Вычитание выполняем так же, как и в десятичной системе: подписываем вычитаемое под уменьшаемым и производим вычитание чисел, являющихся цифрами единиц соответствующих разрядов, начиная с 1-го; если вычитание единиц невозможно, производим в уменьшаемом раздробление единицы следующего высшего разряда и т.д. От одной единицы 1-го разряда нельзя отнять 3, а единиц 2-го разряда в уменьшаемом нет, тогда берем одну единицу 3-го разряда, она содержит четыре единицы 2-го разряда, из них три оставляем на месте единиц 2-го разряда, а одну раздробим в единицы 1-го разряда, получим четыре единицы 1-го разряда, плюс одна единица 1-го разряда, которая у нас есть, всего имеем пять единиц, которые при основании g = 4 запишутся как 11. Дальше вычитаем поразрядно: разность единиц 1-го разряда: 11 - 3 = 2; разность единиц 2-го разряда: 3 - 2 = 1; 3-го разряда: 2 - 2 = 0; 4-го разряда: 2 - 1 = 1. Результат: 1012(4).

Умножение. Умножение выполняется так же, как и в десятичной системе: подписываем множитель под множимым и производим умножение, используя таблицу умножения.

Вычисляем: 4 · 5 = 26; 6 - цифра единиц; 2 прибавляем к произведению 3 · 5; 3 · 5 + 2 = 21 + 2 = 23; цифра единиц 2-го разряда 3; 2 прибавляем к произведению 0 · 5; 0 · 5 + 2 = 2; 2 - цифра единиц 3-го разряда; 2 · 5 = 13; 3 - цифра единиц 4-го разряда и 1 - цифра единиц 5-го разряда. Результат: 13236(7).В двоичной системе таблица умножения следующая: 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1.

Деление. Деление систематических чисел основано на тех же приемах, что и в случае g = 10.

Делитель - число двузначное, отделяем в делимом слева направо две цифры. Они выражают число всех единиц 4-го разряда, но 23(7) < 51(7), поэтому берем в делимом трехзначное число 236(7) и делим на 51(7); в частном получаем 3 единицы 3-го разряда; умножаем 51 · 3 и полученное произведение 213 вычитаем из 236, остаток 23 раздробим в единицы 2-го разряда и продолжаем деление, пока не получим остаток, меньший делителя.