52. Условия равновесия на границе двух сред. Краевой угол
Рассмотрим условия, возникающие на границе соприкосновения двух несмешивающихся друг с другом жидкостей.
Пусть
капля жидкости 2 помещена на поверхности
другой жидкости 1 (рис.2). В зависимости
от видов жидкостей капля второй жидкости
может иметь вид чечевицы или же образовать
пленку. Рассмотрим, при каких условиях
образуется чечевица, а при каких - тонкая
пленка. В рассматриваемом случае
граничат друг с другом следующие среды:
жидкость 1 граничит с жидкостью
2, жидкости 1 и 2 граничат со средой 3.
Среда 3 – это смесь паров жидкостей 1 и
2 с воздухом. Границей соприкосновения
трех сред является окружность,
ограничивающая чечевицу. На элемент
длины
этой
окружности действуют три силы
поверхностного натяжения:
-
сила на границе между жидкостями 1 и 2;
-
сила на границе жидкость 1-газ;
-
сила на границе жидкость 2-газ.
Каждая из этих сил направлена по касательной к поверхности соприкосновения соответствующих сред. Чтобы жидкость 2 находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех трех сил на оси координат равнялись нулю, т.е.
,
,
(6.4)
или
,
.
(6.5)
Возведя оба эти равенства в квадрат, и сложив их, получим:
),
или
.
(6.6)
У
равнениями
(6.5) и (6.6) определяются углы
и
.
Углы
называются
краевыми углами. Краевые углы определяются
соотношением трех коэффициентов
.
В частности, соотношение между
коэффициентами
может быть таким, что
,
т.е.
.
Тогда жидкость 2 растекается тонким
слоем по поверхности жидкости 1. В этом
случае говорят, жидкость 1 полностью
смачивается жидкостью 2. Физически это
означает, что сила
по
величине больше равнодействующей сил
,
или
.
Если
,
то жидкость будет стягиваться до тех
пор, пока
не
станет равной
.
Это и есть условие образования чечевицы.
53. Силы, возникающие на кривой поверхности жидкости
Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью.
Р
ассмотрим
сферическую каплю радиусом
(рис.7).
При
увеличении радиуса сферы растет площадь
его поверхности, а вместе с ней и
поверхностная энергия. А
это может происходить только за счет
совершения работы внешними силами.
Наоборот, при уменьшении радиуса капли
поверхностная энергия уменьшается. Это
значит, что работа производится силами,
действующими в самой капле. Если
на каплю не действуют внешние силы, то
они стремятся занять наименьший объем,
т.е. объем жидкости под сферической
поверхностью всегда несколько сжат.
Это приводит к тому, что жидкость в капле
испытывает дополнительное давление,
направленное радиально перпендикулярно
к ее поверхности. Пусть под действием
этого давления жидкий шар уменьшит
объем на
.
При этом производится работа сжатия
жидкости за счет уменьшения поверхностной
энергии капли. Работа сжатия
равна:
,
(6.7)
а
уменьшение поверхностной энергии
равна:
, (6.8)
где
-
уменьшение поверхности шара, связанное
с уменьшением радиуса капли на
.
Для шара
и
.
Отсюда следует:
.
Подставляя
эти значения для
и
в
(6.7) и (6.8) и принимая во внимание, что
,
получаем:
,
откуда имеем для давления, оказываемого на жидкость ее кривой поверхностью следующее выражение:
.
(6.9)
Если поверхность жидкости цилиндрическая, то
,
где - длина цилиндра. Соответственно
.
Подставляя эти значения и в формулы (6.7) и (6.8) аналогично получим:
.
(6.10)
В общем случае поверхности любой формы давление, обусловленное кривизной поверхности, выражаются уравнением, известным под названием уравнения Лапласа:
,
(6.11)
где
и
-
главные радиусы кривизны для данного
элемента поверхности.
В случае сферы = и формула (6.11) переходит в (6.9). В случае цилиндра один из главных радиусов равняется , а другой совпадает с радиусом цилиндра. Соответственно, формула (6.11) переходит в (6.10). Дополнительное давление, определяемое формулой (6.11) направлено к центру кривизны поверхности.