Билет 23

Математическая обработка статистических данных, результатов эксперимента.

Использование динамических (электронных) таблиц для обработки и представления

результатов естественно-научного и математического эксперимента, экономических и

экологических наблюдений, социальных опросов.

Многие объекты и процессы можно описать математическими формулами, связывающими

их параметры. Эти формулы составляют математическую модель оригинала. По

формулам можно сделать расчеты с различными значениями параметров и получить

количественные характеристики модели. Расчеты, в свою очередь, позволяют сделать

выводы и обобщить их. Среда электронных таблиц — это инструмент, который

виртуозно и быстро выполняет трудоемкую работу по расчету и пересчету

количественных характеристик исследуемого объекта или процесса.

Моделирование в электронных таблицах проводится по общей схеме, которая выделяет

четыре основных этапа: постановка задачи, разработка модели, компьютерный

эксперимент и анализ результата.

Рассмотрим особенности проведения моделирования в среде электронных таблиц по

каждому этапу:

I. Постановка задачи.

Все задачи можно разделить на 2 группы:

1) «Что будет, если…»

- Задачи, в которых требуется исследовать, как изменятся характеристики объекта

при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть «что

будет, если...». Например, как изменится скорости автомобиля через 6 сек, если

он движется прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и

ускорением 0,5 м/с2? Ответ, рассчитанный по формуле v=vo+at после подстановки

исходных значений 3+0,5 • 6=6 м/с, и есть результат расчета модели.

- Задачи, в которых требуется узнать, что будет, если изменять исходные данные в

заданном диапазоне с некоторым шагом? Такое исследование помогает проследить

зависимость параметров объекта от исходных данных.

2) «Как сделать, чтобы…»

Вторая группа задач имеет следующую обобщенную формули­ровку: какое надо

произвести воздействие на объект, чтобы его па­раметры удовлетворяли некоторому

заданному условию.

II. Разработка модели.

При составлении расчетных таблиц надо четко выделить три основные области

данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные

вводятся «вручную». Промежуточные расчеты и результаты проводятся по формулам,

составленным на основе математической модели и записанным по правилам

электронных таблиц. В формулах, как правило, используются абсолютные ссылки на

исходные данные и относительные ссылки на промежуточные расчеты.

III. Компьютерный эксперимент

После составления компьютерной модели проводятся тестирование и серя

экспериментов согласно намеченному плану.

План эксперимента должен четко отражать последовательность работы с моделью.

Первым пунктом такого плана всегда является тестирование модели. Тестирование в

ЭТ начинается с проверки правильности введения данных и формул.

Для проверки правильности алгоритма построения модели используется тестовый

набор исходных данных, для которых известен или заранее определен другими

способами конечный результат.

IV. Анализ результата моделирования.

По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему

представлению и целям моделирования. Важным качеством исследователя является

умение увидеть в числах реальный объект или процесс.

Математическая обработка статистических данных, результатов эксперимента.

Решение различных задач постоянно требует учета зависимостей одних факторов от

других. Примеры зависимостей:

1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты

2) давление зависит от температуры газа в баллоне

3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от

качества городского воздуха.

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик

исследуемого объекта (процесса, явления). Такие характеристики называют

величинами. Если зависимость между величинами удается представить в

математической форме, то мы имеем математическую модель:

- это зависимость в функциональной форме (время пропорционально квадратному

корню от высоты).

Если зависимость можно установить только экспериментальным путем: путем сбора

многочисленных данных, их анализа и обобщения, то говорят об обработке

статистических данных. Статистические данные носят приближенный, усредненный

характер, получаются путем многократных измерений. Вид функции, определяющий

данную зависимость неизвестен, поэтому ее следует искать методом подбора по

экспериментальным данным.

Основные требования к искомой функции:

- она должна быть достаточно простой для использования ее в дальнейших

вычислениях

- график этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы

отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны.

Полученную функцию называют регрессионной моделью. График регрессионной модели

называют трендом. Линию тренда легко построить в Excel.

Метод наименьших квадратов используется для вычисления параметров регрессионной

модели. Этот метод содержится в математическом арсенале электронных таблиц (в

том числе и в Excel).

Выбор типа регрессионной модели пользователь производит сам, ЭТ позволяет

построить функцию такого типа, наиболее близкую к экспериментальным данным.

Характеристикой построения модели является параметр R2 – коэффициент

детерминированности. Чем его значение ближе к 1, тем модель лучше.

Может оказаться, что несколько моделей имею близкий параметр R2. В этом случае

пользователь выбирает из них наиболее подходящую, исходя из эмпирических

соображений.

Использование динамических (электронных) таблиц для обработки и представления

результатов естественно-научного и математического эксперимента, экономических и

экологических наблюдений, социальных опросов.

Задачи на оптимизацию

В сфере управления сложными системами (например, в экономике) применяется

оптимизационное моделирование, в процессе которого осуществляется поиск наиболее

оптимального пути развития системы.

Критерием оптимальности могут быть различные параметры, например, в экономике

можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно и к

низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответствует экстремальному

(максимальному или минимальному) значению выбранного целевого параметра.

Развитие сложных систем зависит от множества факторов (параметров),

следовательно, значение целевого параметра зависит от множества параметров.

Выражением такой зависимости является целевая функция

K=F(X1,X2,…,Xn)?

Где K – значение целевого параметра;