29 Постулаты Бора. Атом водорода и его спектр по теории Бора

Простейшим атомом является атом водорода, содержащий один единственный электрон, движущийся по замкнутой орбите в кулоновском поле ядра. В первом приближении ядро атома можно считать неподвижным, а электронные орбиты - круговыми орбитами.

При этих предположениях Бор сформулировал основные положения теории атома водорода в виде трех постулатов.

1. Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, каждой из которых можно приписать определенный номер n = 1,2,3… . Такое движение соответствует стационарному состоянию атома с неизменной полной энергией  . Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам классической электродинамики, не излучает энергии.

2. Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для которых угловой момент импульса L электрона равен целому кратному величины постоянной Планка  . Поэтому для n-ой стационарной орбиты выполняется условие квантования

 3. Излучение или поглощение кванта излучения происходит при переходе атома из одного стационарного состояния в другое . При этом частота ω излучения атома определяется разностью энергий атома в двух стационарных состояниях, так что

30 Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода

Уравнение Шредингера имеет вид

− ћ /2m * ∆Ψ + U (x, y ,z ,t ) * Ψ = i * ћ * ∂ Ψ / ∂ t (1),

где ћ = h/(2π), m – масса частицы, ∆ – оператор Лапласа(∆Ψ = ∂²Ψ/ ∂x² +∂²Ψ/ ∂y² + ∂²Ψ/ ∂z²), i – мнимая единица, U (х, у, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(х, у, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний, т.е.состояний с фиксированными значениями энергии возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, то есть функция U = U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат,

другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем е ^{–i (E /h) * t}, так что

Ψ ( x, y ,z ,t ) = ψ ( x, y, z ) e^{-i /h *E* t} (2)

где ψ (x, y, z)– координатная (амплитудная) часть волновой функции

Ψ(x, y, z, t) ; Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (1) в (2), получим

-ћ ²/ 2*m * e^{–i(E /h) * t} *∆ψ + U * ψ * e^{–i(E /h) * t} = i*h *(-i * E /h)* ψ * e^{–i(E /h) * t}

откуда после деления на общий множитель e^{–i(E /h) * t} и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:

∆ψ + 2*m / ћ ² *(E-U) * ψ = 0

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы.