Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ekzamenatsionnye_voprosy_po_distsipline.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.09.2019
Размер:
3.34 Mб
Скачать

24. Вероятность отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания. Правило «трех сигм».

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

25. Неравенство Чебышева (доказать).

Пусть имеется случ величина Х, заданная mx и D(x). Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат ожидания не меньше, чем на α, ограничено сверху величиной:

Д-во:

X

x1

xn

P

p1

pn

Возьмем произвольное положительное число α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего mx не меньше чем на α.

Вероятность , т.е. надо просуммировать вероятности значений, которые не лежат на AB.

Т.к. не все члены суммы не отрицательны, то D(x) можно уменьшить , взяв не все значения xi:

что и требовалось доказать.

26. Теорема Чебышева (об устойчивости средних) (доказать).

Среднее арифметическое ( , my=mx, D(y)=D(x)/n) случ величины Х есть случ величина с очень маленькой дисперсией и при достаточно большом n ведет себя как не случ.

Теорема Чебышева:

При достаточно большом числе независимых опытов, среденее арифметическое наблюдаемых значений случ величины сходится по вероятности к ее mх.

P(|xn-a|<ε)>1-δ, ε, δ -> 0.

P(|(∑xi/n) - mx|<ε)>1-δ

Д-во:

Y=∑xi/n, my=mx, Dy=Dx/n.

Применим к случ величине Y неравенство Чебышёва.

P(|y-my|≥ε)≤Dy/ε²=Dx/nε².

P(|(∑xi/n)-mx|≥ε)≤δ

P(|(∑xi/n)-mx|<ε)>1-δ

27. Теорема Бернулли (об устойчивости частот) (доказать).

Если вероятность появления события А в одном испытании равна р, число наступления этого события при п независимых испытаниях равно na, то для любого числа £ > 0 имеет место равенство

т.е. относительная частота Р*(A) события А сходится по вероятности к р вероятности события

Док-во:

Q Введем с. в. Х1, Х2,..., Хп следующим образом: Хi = 1, если в i-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то Xi = 0. Тогда число пд (число успехов) можно представить в виде

М.о. и дисперсия с. в. Xi равны: MXi = 1 • р + 0 • (1 — р) = р DXi ~ (0 — р)2(1 — р) + (1 — р)2р = р(1 —р)= pq

Закон распределения с. в. Xi имеет вид

Xi

0

1

р

1 -р

рi

при любом ». Таким образом, с. в. Хi независимы, их дисперсии ограничены одним и тем же числом так как

Поэтому к этим с. в. можно применить теорему Чебышева (5-7):

но

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]