Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по дискретной математике

.pdf
Скачиваний:
81
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

Лекция № 17 (18.04.00)

Замкнутые классы

1) Обозначим через T0 - класс всех булевых функций f (x1,..., xn ) ,

сохраняющих константу 0, т.е. функций, для которых выполняется равенство f (0,...,0) = 0 .

При добавлении несущественной переменной равенство не меняется.

Функции{0, x1, x1 & x2 , x1 x2 , x1 x2} T0 , {1, x} T0 .

Количество таких функций T2 = 12 22n (n – число переменных) т.к. в

первой строке всегда содержит 0. (У второй половины 1). T0 – замкнутый класс, т.к. если

Φ = f (f1,...,fn ), {f1,...,fn } T0 , то

Φ(0,...,0) = f (f1(0,...,0),...,fn (0,...,0)) = f (0,...,0) = 0 Φ T0 .

2) Обозначим через T1 - класс всех булевых функций f (x1,..., xn ) ,

сохраняющих константу 1, т.е. функций, для которых выполняется равенство f (1,...,1) =1.

Класс вместе с любой функцией содержит равную ей функцию.

Функции {1, x, x1 & x2 , x1 x2} T1,

{0, x, x1 x2} T1.

Класс T1 состоит из функций двойственных классу T0 (следует из

определения).

Поэтому все свойства класса T0 переносятся на класс T1 .

T1 = 12 22n .

3) S – класс – класс всех самодвойственных функций, т.е. f * = f . Функции {x, x} S ,

h = x1x2 x1x3 x2x3 S , т.к.

h*(x1, x2 , x3) = (x1 x2 )(x1 x3)(x2 x3) =

=x1x1x2 x1x1x3 x1x2x3 x1x3x3 x1x2x3 x1x2x2 x2x2x3 x2x3x3 =

=x1x2 x1x3 x1x2x3 x2x3 = x1x2 (1 x3) x1x3 x2x3 =

=x1x2 x1x3 x2x3 = h(x1, x2, x3)

Для самодвойственной функции имеет место тождество f (x1,..., xn ) = f (x1,..., xn ) .

Тем самым на наборах (α1,..., αn ) и (α1,...,αn ) ф-я принимает

противоположные значения (определяется половиной

комбинаций xi).

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому число самодвойственных функций равно

 

2

 

= 22

n1

2

 

 

 

.

Докажем, что класс S замкнут.

~ ~

αpβ

Пусть Φ = f (f

,...,f

n

)

, (f ,f

 

,..., γ

n

) S , т.е.

f * = f

i

. Тогда

1

 

 

1

 

 

 

 

i

 

Φ* = f *(f *,...,f *) = f (f ,...,f

n

) = Φ.

 

 

 

1

n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4. Обозначим

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = (α1,...,αn ) , β = (β1,...,βn ) ,

f (α1,...,αn ) = f (α) .

 

 

х

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

опр || Для 2 наборов

α и

β выполнено отношение предшествования

, если α1 ≤ β1 ,...,αn ≤ βn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. (0,1,0,1)p(1,1,0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~ ~

~

 

~ ~

 

 

 

Очевидно, что еслиαpβ, βpγ αpγ .

 

 

 

Таким образом, множество всех наборов длины n по отношению к операции предшествования p является частично упорядоченным.

 

 

Опр. ||

функция

f (x1,..., xn ) называется монотонной, если для любых

2

х

наборов

~ ~

 

 

~ ~

 

 

 

 

α, β таких, что αpβ выполняется неравенство

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

f (α) f (β) .

 

 

 

 

 

 

 

Монотонные функции:

 

 

 

 

 

{0,1, x, x1 & x2 , x1

x 2 } ,

 

 

 

 

 

x1 x 2 - не монотонная

 

 

 

 

 

Обозначим M – множество всех монотонных функций. Нужно

доказать, что этот класс замкнутый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

= (x1,..., xn ) .

 

 

 

Пусть Φ = f (f1,...,fn ) , {f ,f1,...,fn } M , x

 

 

 

Будем считать, что все fi зависят от x1, xn.

~

~

 

 

Пусть

~

~

два набора

переменных

 

 

α,

β

длины n, причем αp β .

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

Тогда f1(α) f1(β) ,

 

 

 

 

 

 

 

………………

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

, следовательно

 

 

 

 

fm (α)

fm (β)

 

 

 

 

~

 

~

 

~

~

 

 

 

 

(f1(α),...,fm (α))p(f1(β),...,fm (β)) , тогда и

 

 

 

 

~

 

~

~

~

 

 

 

 

f (f1(α),...,fm (α)) f (f1(β),...,fm (β)) .

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

Тем самым Φ(α) ≤ Φ(β) .

 

 

 

f3 T0 , f2 T1, f2 S, f4 M, f1 L

5) L – класс всех линейных функций

{0,1, x, x, x1 x2} L

{x1 & x2 , x1 x2} L

О полноте этого класса мы упоминали ранее.

Эти замкнутые классы не тождественны и они не полны, что следует из таблицы

 

 

 

 

T0

T1

S

 

M

L

 

 

0

 

+

-

-

 

+

+

 

 

1

 

-

+

-

 

+

+

 

 

 

 

 

-

-

+

 

-

+

 

 

 

x

 

 

Теорема о функциональной полноте.

 

 

Для того, чтобы система функций

B ={f1,f2 ,...,fs ,...} была полной,

необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из 5 замкнутых классов T0, T1, S, M, L.

(Без док-ва).

Опр. Класс R из P2 (множество всех булевых функций) называется предполным или максимальным, если для любой ф-ции f ( f P2 ,f R ) класс R {f} полный.

В алгебре логики только 5 предполных классов: T0 ,T1 ,S,M,L .

Пример.

f1 = x1x2 , f2 = 0,f3 =1,f4 = x1 x2 x3 система полна.

С другой стороны, удаление любой из функций приводит к неполной системе

{f2 ,f3,f4} L, {f1,f3,f4} T1, {f1,f2 ,f4} T0 ,

{f1,f2 ,f3} M.

Пример 2.

Система функций B={x1|x1}, полна так как x1 | x2 = x1 x2 = x1x2 1 не сохраняет константы, не линейна, не самодвойственна ([x1 x2 ] = x1 & x2 ) и не монотонна (последний ноль – после 1).

Теорема || из всякой полной в P2 системы функций B можно выделить

полную подсистему, содержащую не более 4х функций. (Без док-ва).

Понятия многозначной логики. Оценка погрешности.

| x |< ε

P{| x |< ε} Pдоверия =1 Pошибки

 

 

 

 

 

 

0,1 0,001

 

 

k – знач. логика

 

 

k – катур. Число Z

 

 

Ek

множество значений, которые может принимать функция

 

 

Ek

={0,1,..., k 1}

 

 

 

~ n

 

 

 

опр || γ(x

) = γ(x1 ,x2 ,...,xn ) называется k-значной логикой, если в

 

 

 

 

~

 

 

 

наборе

α = (α1

,α2 ,...,αn ) значения переменных x1 , x2 ,..., xn , где αi

Ek

~

значение γ(α) Ek

Элемент функции k-значной логики

1)константы: 0,1,…,k-1

2)отрицание Роста: x +1(mod k) = x

3)отрицание Лукасевича: k 1 x =~ x | (Nx)

4)

Характеристическая функция Iго рода

γi

1,

x = i

(x) =

x i, i = 0,...,k 1

 

 

 

0,

5)

Характеристическая функция 2го рода:

 

 

 

Ji

k =1, x = i

(x) =

 

0, x i, i = 0,...,k 1

6)

min(x, y) = x & y

7)

max(x, y) = x y

8)x + y(mod k) сумма по модулю k

9)x y(mod k) произведение

10) усеченная разность x y = 0,

0 x < y k 1

 

 

 

 

 

&

 

y, 0 y x k 1

 

 

 

 

 

x

 

k 1, 0 x < y k 1

 

 

11) x y =

x + y, 0

y x k 1

 

 

 

k 1

 

 

12) Функция Вебба:

 

 

 

 

 

 

max(x, y) +1(mod k) = ϑk(x, y)

 

 

 

 

 

 

x y, 0 y x k 1

 

 

13) x y =

+ x, 0 x < y k 1

 

 

 

k y

 

 

Свойство функций:

 

 

 

 

 

 

выполняются свойства коммутативности и ассоциативности,

дистрибутивность, умножение относительно сложения

 

 

(x + y)z = (x z)(y z)

 

 

 

 

 

 

Дистрибутивность операции max относительно min

 

 

max(min(x, y),z) = min(max(x,z),max(y,z))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

I

 

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

2

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

3

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

1

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

2

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

1

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дистрибутивность операции min относительно max

min(max(x, y),z) = max(min(x,z),min(y,z)) max(x, x) = x min(x, x) = x

min(~ x,~ y) =~ max(x, y) max(~ x,~ y) =~ min(x, y)

max(x

, x

 

,...,x

 

max(x

,...,x

 

 

)x

 

2

n

) = max

 

1

 

 

n1

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min(x

,...,x

n1

)x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

min(x1 , x2 ,...,xn ) = min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

x = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

x, x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З.Ы.: Надеюсь, моя деятельность кому-нибудь помогла.