Лекции по дискретной математике
.pdf
Лекция № 17 (18.04.00)
Замкнутые классы
1) Обозначим через T0 - класс всех булевых функций f (x1,..., xn ) ,
сохраняющих константу 0, т.е. функций, для которых выполняется равенство f (0,...,0) = 0 .
При добавлении несущественной переменной равенство не меняется.
Функции{0, x1, x1 & x2 , x1 x2 , x1 x2} T0 , {1, x} T0 .
Количество таких функций T2 = 12 22n (n – число переменных) т.к. в
первой строке всегда содержит 0. (У второй половины 1). T0 – замкнутый класс, т.к. если
Φ = f (f1,...,fn ), {f1,...,fn } T0 , то
Φ(0,...,0) = f (f1(0,...,0),...,fn (0,...,0)) = f (0,...,0) = 0 Φ T0 .
2) Обозначим через T1 - класс всех булевых функций f (x1,..., xn ) ,
сохраняющих константу 1, т.е. функций, для которых выполняется равенство f (1,...,1) =1.
Класс вместе с любой функцией содержит равную ей функцию.
Функции {1, x, x1 & x2 , x1 x2} T1,
{0, x, x1 x2} T1.
Класс T1 состоит из функций двойственных классу T0 (следует из
определения).
Поэтому все свойства класса T0 переносятся на класс T1 .
T1 = 12 22n .
3) S – класс – класс всех самодвойственных функций, т.е. f * = f . Функции {x, x} S ,
h = x1x2 x1x3 x2x3 S , т.к.
h*(x1, x2 , x3) = (x1 x2 )(x1 x3)(x2 x3) =
=x1x1x2 x1x1x3 x1x2x3 x1x3x3 x1x2x3 x1x2x2 x2x2x3 x2x3x3 =
=x1x2 x1x3 x1x2x3 x2x3 = x1x2 (1 x3) x1x3 x2x3 =
=x1x2 x1x3 x2x3 = h(x1, x2, x3)
Для самодвойственной функции имеет место тождество f (x1,..., xn ) = f (x1,..., xn ) .
Тем самым на наборах (α1,..., αn ) и (α1,...,αn ) ф-я принимает
противоположные значения (определяется половиной |
комбинаций xi). |
|||||
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому число самодвойственных функций равно |
|
2 |
|
= 22 |
n−1 |
|
2 |
|
|
|
. |
||
Докажем, что класс S замкнут.
~ ~
αpβ
Пусть Φ = f (f |
,...,f |
n |
) |
, (f ,f |
|
,..., γ |
n |
) S , т.е. |
f * = f |
i |
. Тогда |
||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
||||
Φ* = f *(f *,...,f *) = f (f ,...,f |
n |
) = Φ. |
|
|
|
||||||||
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Обозначим |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α = (α1,...,αn ) , β = (β1,...,βn ) , |
f (α1,...,αn ) = f (α) . |
|
|
||||||||||
х |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
опр || Для 2 наборов |
α и |
β выполнено отношение предшествования |
|||||||||||
, если α1 ≤ β1 ,...,αn ≤ βn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. (0,1,0,1)p(1,1,0,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
~ |
~ ~ |
~ |
|
~ ~ |
|
|
|
||||
Очевидно, что еслиαpβ, βpγ αpγ . |
|
|
|
||||||||||
Таким образом, множество всех наборов длины n по отношению к операции предшествования p является частично упорядоченным.
|
|
Опр. || |
функция |
f (x1,..., xn ) называется монотонной, если для любых |
|||||
2 |
х |
наборов |
~ ~ |
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
α, β таких, что αpβ выполняется неравенство |
|
|||||||
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (α) ≤ f (β) . |
|
|
|
|
|
||
|
|
Монотонные функции: |
|
|
|
||||
|
|
{0,1, x, x1 & x2 , x1 |
x 2 } , |
|
|
|
|||
|
|
x1 x 2 - не монотонная |
|
|
|
||||
|
|
Обозначим M – множество всех монотонных функций. Нужно |
|||||||
доказать, что этот класс замкнутый. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= (x1,..., xn ) . |
|
|
|
Пусть Φ = f (f1,...,fn ) , {f ,f1,...,fn } M , x |
|
||||||
|
|
Будем считать, что все fi зависят от x1, xn. |
~ |
~ |
|||||
|
|
Пусть |
~ |
~ |
два набора |
переменных |
|||
|
|
α, |
β |
длины n, причем αp β . |
|||||
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
Тогда f1(α) ≤ f1(β) , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
……………… |
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
~ |
, следовательно |
|
|
||
|
|
fm (α) |
≤ fm (β) |
|
|
||||
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
(f1(α),...,fm (α))p(f1(β),...,fm (β)) , тогда и |
|
|
|||||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
f (f1(α),...,fm (α)) ≤ f (f1(β),...,fm (β)) . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
Тем самым Φ(α) ≤ Φ(β) . |
|
|
|
||||
5) L – класс всех линейных функций
{0,1, x, x, x1 x2} L
{x1 & x2 , x1 x2} L
О полноте этого класса мы упоминали ранее.
Эти замкнутые классы не тождественны и они не полны, что следует из таблицы
|
|
|
|
T0 |
T1 |
S |
|
M |
L |
|
|
0 |
|
+ |
- |
- |
|
+ |
+ |
|
|
|
1 |
|
- |
+ |
- |
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
- |
- |
+ |
|
- |
+ |
|
|
|
x |
|
|
||||||
Теорема о функциональной полноте. |
|
|
||||||||
Для того, чтобы система функций |
B ={f1,f2 ,...,fs ,...} была полной, |
|||||||||
необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из 5 замкнутых классов T0, T1, S, M, L.
(Без док-ва).
Опр. Класс R из P2 (множество всех булевых функций) называется предполным или максимальным, если для любой ф-ции f ( f P2 ,f R ) класс R {f} полный.
В алгебре логики только 5 предполных классов: T0 ,T1 ,S,M,L .
Пример.
f1 = x1x2 , f2 = 0,f3 =1,f4 = x1 x2 x3 система полна.
С другой стороны, удаление любой из функций приводит к неполной системе
{f2 ,f3,f4} L, {f1,f3,f4} T1, {f1,f2 ,f4} T0 ,
{f1,f2 ,f3} M.
Пример 2.
Система функций B={x1|x1}, полна так как x1 | x2 = x1 x2 = x1x2 1 не сохраняет константы, не линейна, не самодвойственна ([x1 x2 ] = x1 & x2 ) и не монотонна (последний ноль – после 1).
Теорема || из всякой полной в P2 системы функций B можно выделить
полную подсистему, содержащую не более 4х функций. (Без док-ва).
Понятия многозначной логики. Оценка погрешности.
| ∆x |< ε
P{| ∆x |< ε} ≥ Pдоверия =1 − Pошибки
|
|
↓ |
|
|
|
|
0,1 − 0,001 |
|
|
k – знач. логика |
|
|
||
k – катур. Число Z |
|
|
||
Ek |
множество значений, которые может принимать функция |
|
|
|
Ek |
={0,1,..., k −1} |
|
|
|
|
~ n |
|
|
|
опр || γ(x |
) = γ(x1 ,x2 ,...,xn ) называется k-значной логикой, если в |
|
||
|
|
|||
|
~ |
|
|
|
наборе |
α = (α1 |
,α2 ,...,αn ) значения переменных x1 , x2 ,..., xn , где αi |
Ek |
|
~
значение γ(α) Ek
Элемент функции k-значной логики
1)константы: 0,1,…,k-1
2)отрицание Роста: x +1(mod k) = x
3)отрицание Лукасевича: k −1 − x =~ x | (Nx)
4) |
Характеристическая функция Iго рода |
γi |
1, |
x = i |
(x) = |
x ≠ i, i = 0,...,k −1 |
|||
|
|
|
0, |
|
5) |
Характеристическая функция 2го рода: |
|
|
|
Ji |
k =1, x = i |
(x) = |
|
|
0, x ≠ i, i = 0,...,k −1 |
6) |
min(x, y) = x & y |
7) |
max(x, y) = x y |
8)x + y(mod k) сумма по модулю k
9)x y(mod k) произведение
10) усеченная разность x − y = 0, |
0 ≤ x < y ≤ k −1 |
|
|
|||||||
|
|
|
& |
|
− y, 0 ≤ y ≤ x ≤ k −1 |
|||||
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
k −1, 0 ≤ x < y ≤ k −1 |
|
|
|||||||
11) x y = |
− x + y, 0 |
≤ y ≤ x ≤ k −1 |
|
|
||||||
|
k −1 |
|
|
|||||||
12) Функция Вебба: |
|
|
|
|
|
|
||||
max(x, y) +1(mod k) = ϑk(x, y) |
|
|
|
|
|
|||||
|
x − y, 0 ≤ y ≤ x ≤ k −1 |
|
|
|||||||
13) x − y = |
+ x, 0 ≤ x < y ≤ k −1 |
|
|
|||||||
|
k − y |
|
|
|||||||
Свойство функций: |
|
|
|
|
|
|
||||
выполняются свойства коммутативности и ассоциативности, |
||||||||||
дистрибутивность, умножение относительно сложения |
|
|
||||||||
(x + y)z = (x z)(y z) |
|
|
|
|
|
|
||||
Дистрибутивность операции max относительно min |
|
|
||||||||
max(min(x, y),z) = min(max(x,z),max(y,z)) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
I |
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дистрибутивность операции min относительно max
min(max(x, y),z) = max(min(x,z),min(y,z)) max(x, x) = x min(x, x) = x
min(~ x,~ y) =~ max(x, y) max(~ x,~ y) =~ min(x, y)
max(x |
, x |
|
,...,x |
|
max(x |
,...,x |
|
|
)x |
|
|||||
2 |
n |
) = max |
|
1 |
|
|
n−1 |
|
|
n |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n ≥ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min(x |
,...,x |
n−1 |
)x |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
min(x1 , x2 ,...,xn ) = min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n ≥ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− x = |
|
− x, x |
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З.Ы.: Надеюсь, моя деятельность кому-нибудь помогла.