Теория множеств

1. Множество, подмножество, свойства включения. Теорема об отношении включения. Прямое произведение множеств.

2. Бинарные отношения на множестве, биекция. Отношение порядка и эквивалентности. Разбиение множества на классы эквивалентности. Теорема о классах эквивалентности.

3. Равномощные множества. Мощность конечного множества. Теорема о мощности конечных объединений конечных множеств. Теорема о мощности прямого произведения. Теорема о мощности булеана.

4. Счётное множество. Теорема о подмножествах счётных множеств. Теорема о счётности объединений счётных или конечных множеств. Теорема о счётности рациональных чисел.

5. Теорема о не счётности интервала (0,1). Континуальные множества. Теорема о равномощности (0,1) и [0,1].

6. Принципы суммы, произведения. Упорядоченные и неупорядоченные выборки. Теорема о числе перестановок, размещений и сочетаний без повторений и с повторениями.

Теория графов

1. Граф. Теорема о существовании простой цепи. Связный граф. Теорема о присоединении и удалении ребра. Теорема о числе связных компонент.

2. Деревья. Теорема о числе ребер в дереве. Теорема об эквивалентности определений дерева.

3. Корневые деревья. Лемма о коде дерева. Теорема о числе корневых деревьев.

4. Геометрическая реализация графа. Теорема о 3х мерной реализации. Планарный граф. Теорема Эйлера о плоских графах. Теорема Эйлера для несвязного графа. Теорема о связи числа ребер с длиной минимального цикла. Теорема о существовании вершин со степенью  5.

5. Непланарность графов К5 и К33. Гомеоморфизм графов. Критерий планарности.

6. Раскраска графов. Хроматическое число графов. Теорема о раскраске произвольного графа. Теорема о раскраске планарного графа.

Теория кодирования

1. Критерий однозначности декодирования.

2. Неравенство Макмилана.

3. Теорема о существовании префиксного кода.

4. Цена кодирования. Оптимальный код. Свойства оптимальных префиксных кодов: упорядочивание с вероятностью кодового дерева по ярусам, возможность построения упорядоченного кода.

5. Лемма о префиксных кодах.

6. Теорема редукции.

7. Теорема Хэмминга. Код Хэмминга.

Теория вероятностей

1. Пространство элементарных исходов. Вероятность элементарных исходов. Событие. Вероятность события. Вероятность суммы и разности событий, вероятность противоположных события. Вероятностное пространство.

2. Условная вероятность. Свойства условной вероятности: р((A+B)|H), p(Ā|H), p((A-B)|H). Независимость событий.

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

4. Серии независимых испытаний. Вероятность на этом пространстве. Теорема о независимости событий 1го эксперимента от событий 2го эксперимента.

5. Испытания Бернулли. Вероятность k-успехов в серии из n-испытаний.

6. Геометрическая вероятность.

7. Дискретная СВ. Законы распределения. Функции распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

8. Совместное распределение СВ. Закон распределения двух СВ. Свойства совместного распределения. Независимые СВ. Условное распределение.

9. Мат. ожидание, дисперсия дискретной СВ.

10. Свойства мат. ожидания.

11. Свойства дисперсии.

12. Непрерывная СВ, функции распределения, её свойства. Плотность распределения, её свойства. Мат. ожидание, дисперсия непрерывной СВ. Вероятность попадания в интервал.

13. Показательное распределение, мат. ожидание, дисперсия.

14. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

15. Нормальное распределение, мат. ожидание, дисперсия, вероятность попадания в интервал. Центральная предельная теорема.