Математические основы криптологии / GRAPH

Теория графов

G=(V,E); V={v_i} - объекты произвольной природы. v_i - вершины. V=P - мощность. Е - мн-во пар {v_i,v_j}VV. Если {v_i,v_j} {v_j,v_i}, то это ребро ориентированное (дуга). Если {v_i,v_j}= {v_j,v_i}, то ребро графа (неориентированное). {v_i,v_j} может несколько раз входить в Е - кратное ребро. {v_i,v_i} - петля при вершине v_i. Иногда под графом подразумевается граф без петель и кратных ребер, с кратными ребрами - мультиграф. V={v₁ ,v₂ ,v_{3 ,}v₄}, E= {v₁v₁ , v₁v₂ ,v₁v₄ ,v₂v₃}. Вершина {v_i,v_j} - смежная если пара {v_i,v_j} и {v_j,v_i}Е. Ребро е инцидентное на вершине v_i , если ребро е= {v_i,v_j} или е= {v_j,v_i}.

Ребра e_i , e_j наз-ся смежными, если они нцидентны одной и той же вершине. Степенью вершины v_i наз-ся число ребер, инцедентных этой вершине: deg v₁=4; deg v₃=1; deg v₂=2; deg v₄=1.

Лемма: Если E=q, V=p, то deg v_i=2q.

Следствие: Число вершин нечетно, степень четна: deg v_i + deg v_i=2q, G₁=(V₁,E₁)наз -ся подграфом графа G если V₁V и E₁E. Граф G=(V, E) u G^*=(V^*, E^*) изоморфные если сущ-ет биекция : VV^*, пара {v_i,v_j}Е  (_vi,_vj)E^*. Путем в графе G наз-ся последовательность ребер и вершин вида: p=v₀(v₀v₁)v₁(v₁v₂)v₂...v_n-1(v_n-1v_n)v_n. Длиной пути наз-ся число ребер, входящих в этот путь. Путь - цепь, если в нем не повторяются ребра. Простая цепь, если не повторяются вершины. Замкнутый путь - если v_n=v₀, замкнутая цепь наз-ся циклом, замкнутая простая цепь - простым циклом.

Лемма о существовании простой цепи.

Путь p=(v₀v_n), тогда всегда можно выделить подпуть p₁p и p₁ - простая цепь. 1) Пусть в р вершины не повторяются  простая цепь. Если не так  p=v₀A₁vA₂vA₃v_n, p`=v₀A₁vA₃v_n

За конечное число шагов мы доберемся до простой цепи. 

Вершина v_i связана с v_j в неориентированном графе если сущ-ет путь р= (v_i,v_j). Граф наз-ся связным если любые две вершины связаны. Отношение связности вершин: (v v)S - отношение связности. 2) (v_i,v_j)S  (v_j,v_i)S . 3) (v_i,v_j)S, (v_j,v_k)S  (v_i,v_k)S. V=V₁V₂...V_k, V_iV_j=. Связной компонентой графа G наз-ся подграф G₁=(V^*,E^*), G₁G, V^* - класс эквивалентности

Т-ма о связи вершин с нечетными степенями.

Если в графе ровно две вершины с нечетными степенями, то они связаны путем. Если вершины  двум разным компонентам, то получается в каждой связной компоненте лежит одна вершина с нечетной компонентой - этого быть не может. Если вершины  одной связной компоненте, то они связаны путем. 

Т-ма о присоединении ребра.

G=(V, E) - связный граф. v₁,v₂ V, a (v₁,v₂)E, (v₁,v₂)=e, тогда добавление ребра е к графу G приводит к образованию цикла. Т.к. G - связный, то сущ-ет путь p (v₁,v₂)=v₁ c v₂  v₂ c` v<sub>1</sub> выделим простую цепь v<sub>1</sub>Av<sub>2</sub> и v<sub>2</sub>A`v₁, v₁ e v₂ A` v₁ - просто цикл  G {e}

Т-ма о удалении ребра из цикла

G - связный граф. CG - цикл, e=(v₁v₂) - ребро C  G \ {e} - связный граф. С=v₁ev₂Av₁. Пусть v`,v``  G\{e}. B G сущ-ет p (v`v``),тогда 1)ep (v`v``)  p (v`v``)G \{e} 2)ep (v`v``)  p (v`v``)=v` A<sub>1</sub> v<sub>1</sub> e v<sub>2</sub> A<sub>2</sub> v``. Сущ-ет A` между (v₁v₂)

p` (v`v``)= v`A<sub>1</sub>v<sub>1</sub>A`v<sub>2</sub>A<sub>2</sub>v`` G \{e}

Т-ма о кол-ве связных компонент

G=(V,E). V=p, E=q, k-число связных компонент  kp-q. Если в G нет циклов  k=p-q. v₁,v₂V; (v₁v₂)E. G  (v₁v₂). G`=(V,). Добавление ребра приводит уменьшение числа компонентов максимум на 1. Добавив q ребер, тогда k уменьшится максимум на q. Если нет циклов, то k уменьшится строго на q. 

Следствие

Если q  p-2  граф несвязен. p-q  2; k  p-q  2  граф несвязен 

Деревья.

Деревом наз-ся связный граф без циклов. Остовным деревом графа G наз-ся подграф G₁=(V₁,E₁) и G₁ - дерево

Т-ма о существовании остовного дерева

Для любого связного графа G сущ-ет остовное дерево.

Если граф - дерево, то т-ма доказана. Если G - не дерево, но он связен, тогда в нем сущ-ют циклы С: еС  G \ e - связен. За конечное число шагов мы разорвем все циклыдерево 

Т-ма о числе ребер в дереве

G=(V,E) - дерево. V=p, E=q, тогда q=p-1. По т-ме о числе связных компонентов: k  p-q и в частности (т.к. нет циклов)

k=p-q, a k=1  q=p-1 

Т-ма об эквивалентности определений дерева

Следующие определения попарно эквивалентны:

G - связный граф без циклов

G - без циклов и q=p-1

G - связный граф и q=p-1

G - связен, но при удалении любого ребра становится несвязен.

G - без циклов, но при добавлении любого ребра образуется цикл.

123451

12 - доказано.

23. Т.к. без циклов  k=p-q, но q=p-1=p-k  k=1 - связен

34 При удалении станет q=p-2, a k  p-q=p-p+2  k  2 - граф несвязен.

45 Пусть в G есть цикл, тогда при удалении ребра он будет связен, что противоречит 4)

51 Пусть не связен, тогда добавим ребро, соединяющее две разные связные компоненты, что не приводит к образованию цикла и противоречит 5). 

Дерево - минимальный связный граф и максимальный граф без циклов.

Корневые деревья.

Граф с единственной вершиной и пустым мн-вом Е наз-ся корневым деревом с корнем v. 2.Индукционное предположение.

D₁, D₂,..., D_n - корневые деревья с корнями v₁, v₂,..., v_n и D_i=(V_i, E_i), V_i V_j=. Рассмотрим D=(V, E), V=V₁ V₂... V_n v , v V_i, E= E₁ E₂... E_n {(vv₁), (vv₂),..., (vv_n)}, тогда D - корневое дерево с корнем v. Корневое дерево наз-ся упорядоченным если задан порядок его поддеревьев и каждое поддерево явл-ся упорядоченным корневым деревом. Дерево с единственной вершиной  пустое слово. Пусть k₁,..., k_n - коды поддеревьев. 0k₁10k₂1...0k_n1 - код дерева.

Лемма о коде дерева.

k - длина кода. n(k) - число нулей; e(k) - число 1. k=2q, q=E. n(k)=e(k). n(k`) e(k`). Kогда k`=0k<sub>1</sub>1...0k<sub>s</sub>1, то n(k`)=e(k`). k<sub>1</sub>...k<sub>s</sub> - коды первых S поддеревьев. Когда k`=0k₁1...0k_s`, то n(k`)e(k`). k<sub>s</sub>=k<sub>s</sub>`k_s``. 1. Индукция по построению дерева.

а) Дерево с единственной вершиной  k=  все равно нулю и выполняется. б) Пусть утверждения верны для k₁,...,k_n : k= k_i+ 2n= 2q_i+ 2n= 2(q_i+n)= 2q k_i n(k_i)= e(k_i), а для кода k мы добавляем одинаковое кол-во нулей и единиц. n(k`)= n(k<sub>i</sub>)+ n(k<sub>s</sub>`)+ S  e(k_i)+ e(k_s`)+ (S-1)+1=e(k`)+1  e(k`) n(k`)e(k`) 

Т-ма о числе упорядоченных корневых деревьев.

Число упорядоченных корневых деревьев с q ребрами  4^q. Каждому упорядоченному корневому дереву ставится в соответствие его код. Из предыдущей леммы следует: коду соответствует его дерево. Код - слово из 0 и 1, длины 2q. Кодов  слов из 0 и 1, длины 2q= =2^2q=4^q 

Геометрическая реализация графов.

G=(V, E) ; V={v_i}; v_i  a_i  R³. (v_i v_j)  L(a_i a_j). Кривые, соотвествующие разным ребрам не имеют общих точек, кроме кольцевых. Такое мн-во точек и кривых наз-ся геометрической реализацией графа.

Т-ма о трехмерной реализации графа.

Любой граф можно реализовать в трехмерном пространстве без пересечения ребер. Е=q

Проведем через эту прямую пучок, состоящий из q полуплоскостей, чтобы каждое ребро реализовывалось в своей плоскости  Граф наз-ся плоским или планарным если допускает геометрическую реализацию на плоскости.

не планарный

Грани.

G - плоский граф. Рассмотрим его геометрическую реализацию на плоскости, тогда гранью наз-ся мн-во точек плоскости, не принадлежащих графу и любые две точки этой грани можно соединить непрерывной кривой, каждая точка которой тоже не принадлежит графу.

1,...,4,5 - грани

Т-ма Эйлера о плоских графах.

r - число граней. При любой геометрической реализации графа на плоскости выполняется формула p - q + r = 2.

1. p фиксируем, индукция по q. Минимальный q, при котором граф граф связан  G - дерево и q=p-1, r=1  p-q+r=p-(p-1)+1=2 формула верна. Индуктивное предположение. Пусть формула верна для некоторого q₀p-1 : p-q₀+r=2.

Рассмотрим граф с q₀+1 ребром и r гранями  q₀+1p  граф не дерево  в нем сущ-ет цикл С. Пусть еС, рассмотрим граф G\e - этот граф связан, планарен, число ребер равно q₀, граней r-1. p-q₀+r-1=2  p-(q₀+1)+r=2.

Cледствие: Формула Эйлера для геометрической реализации графа на сфере.

Рассмотрим геометрическую реализацию связного графа на сфере. p-q+R=2 - верна. Возьмем точку на сфере, принадлежащую грани.

Взяли стереографическую проекцию этого графа на плоскость. На плоскости получим геометрическую реализацию графа. Без пересечения линий, со столькими же ребрами и гранями, вершинами, а для плоского графа формула верна.

Формула Эйлера для многогранника.

Возьмем выпуклый многогранник, для него верна формула p-q+R=2. Берем многогранник, окружим его сферой, берем любую точку вне многогранника и проводим луч из полюса, ее проекция на сферу будет отображением (геом. реализацией) многогранника  к предыдущей формуле. 

Формула Эйлера для несвязного графа.

Пусть G - несвязный, планарный граф с p - вершинами и k - связных компонентов   p-q+R=k+1 (*). (p_i-q_i+R_i) = 2  p_i-q_i+R_i=2k  p-q+R+k-1=2k  (*).

Т-ма о связи числа ребер с длиной минимального цикла.

G - связный планарный граф. L - длина минимального цикла; L3 (все циклы 1), тогда q  L(p-2)/(L-2). Рассмотрим i-ую грань; q_i - число ребер, ограничивающих i-ю грань  q_i=2q; q_i  L , 2q  RL, p-q+R=2  R=2-p+q, 2q  2L-pL+qL

qL(p-2)/(L-2). Если G - связный планарный граф без кратных ребер, петель, то в нем q  3p-2, т.е. L3. Граф полный если любые две вершины связаны ребром; k_n - полный граф на n вершинах. q = C_n². Граф наз-ся двудольным если V= V₁ V₂ (V₁ V₂= ) и e= (v_i v_j) v_iV₁ v_j V₂. Двудольный граф полный если все вершины из первой доли связаны с каждой вершиной второй доли.

Т-ма о существовании вершины со степенью 5.

Пусть G - связный планарный граф, тогда сущ-ет вершина со степенью 5 (без кратных ребер и петель). dig v5. Пусть не так, т.е. dig v_i5, тогда для всех вершин dig v6. dig v_i=2q  2q6p  q3p, но q3(p-2)  противоречие.

Т-ма о не планарности k=5,k=3,3.

K=5 и k=3,3 не планарны. Пусть k=5 планарен  qL(p-2)/(L-2), где L=3 q3(p-2)=9. Если q=10  он не планарен. Пусть k=3,3 планарен  L=4; q2(p-2)=8. Если q=9  не планарен. Операция подразбиения ребра графа наз-ся следующая операция: удаляем (v_iv_j), берем новую вершину v, добавляем (v_iv), (vv_j). Граф G₁ наз-ся подразбиением G если он получен из G путем конечного числа подразбиения ребер. G₁и G₂ - гомиаморфные если сущ-ет их разбиение, к-ое изоморфно. Гомиаморфные от- личаются вершинами степени 2.

Критерий планарности графа.

G планарен  он не содержит подграфов гомиаморфных к=5 и к=3,3. Пусть G планарен, тогда докажем, что не содержит подграфов гомиаморфных к=5 и к=3,3. Пусть G содержит подграфы гомиаморфные к=5 и к=3,3.  допускает геометрическую реализацию на плоскости без пересечения ребер. к=5 тоже реализуется на плоскости без пересечения ребер и у него есть подразбиение изоморфно к=5. G гомиаморфно к=5  к=5 - пресечение ребер, но к=5 - планарен  противоречие. 

Раскраска графов.

G=(V, E). C={c₁, c₂,..., c_s} - цветами (красками). Отображение V в C - раскраска. Раскраска наз-ся правильной если e= (v_iv_j) c(v_i) c(v_j). Граф наз-ся к-раскрашиваемым, если его можно правильно раскрасить к-цветами. Если граф к-раскрашиваем, но его нельзя раскрасить (к-1) - цветами, то к - хроматическое число графа: (G)=к, а сам граф наз-ся

к-хроматическим. (k_n)=n; (k_m,n)= полный двудольный граф =2. Идея раскраски географических карт сводится к идеи раскраски графа (страны, имеющие общую границу раскрашиваются в разные цвета).

Т-ма о раскраски произвольного графа.

G=(V, E) - связный граф без петель, n=max deg v_i (максимальная степень вершин графа), тогда граф (n+1) - раскрашиваем.

 Индукция по p (по числу вершин). p=1  max deg v_i = 0  граф 1-раскрашиваем. p=k  max deg v_i = n, граф (n+1)-раскрашиваем. p=k+1  max deg v_i = n. Удалим одну вершину графа: G\v - в нем к-вершин, max deg v_in , и этот граф по индуктивному предположению правильно раскрашиваем (n+1) цветом или (n+1) цветом. Вершина v: deg vn, выкрасим вершину v в (n+1) цвет из тех, которые вершину не окружают.

Т-ма о раскраске планарного графа.

Любой связный планарный граф без петель 5-раскрашиваем. Индукция по числу вершин. p=1 - красим в 1 цвет.

Пусть p=n и граф - 5-раскрашиваем. p=n+1, граф планарный, рассмотрим его геометрическую реализацию на плоскости.

По т-ме о вершинах планарного графа сущ-ет вершина v₀: deg v₀5 . Рассмотрим граф G\v₀- - удовлетворяет индуктивному предположению  G\v₀ - 5-раскрашиваем.

среди цветов вершин смежных с v₀ нет хотя бы одного цвета  v₀ в этот цвет среди цветов вершин есть все 5 цветов  организуем V₁={v: до них можно дойти из v₁, идя только по вершинам цветов с₁ и с₃}, тогда: вершина v₃V₁  в V₁ мы перекрасим с₁ в с₃, а с₃ в с₁, тогда v₀ выкрасим в с₁. v₃V₁  V₂={v: до которых можно дойти из v₂, идя по вершинам цветов с₂ и с₄ }, тогда: 1) v₄V₂  c₂ меняем на с₄ и с₄ на с₂ , тогда v₀ выкрасим в с₂. 2) v₄V₂ - такого быть не может, т.к. ребра будут пересекаться , что не может быть, т.к. граф планарный.