1 Сопротивление материалов

1.1 Растяжение и сжатие

Для стального поршня пневмоцилиндра определить рабочую нагрузку F₃, продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения ∆l и построить эпюры N, σ, ∆l, если даны: схема нагружения, F₁ – сила давления воздуха в цилиндре, F₂ – сила давления жидкости на поршень; a₁ и d₁ размеры поршня. a₂ = 20a₁, a₃ = 2a₁, a₄ = 10a₁, d₂ = 0,5d₁, d₃ = 5d₁, d₄ = 0,8d₁.

F1, кН	F2, кН	d1, мм	d2, мм	d3, мм	d4, мм	a1, мм	a2, мм	a3, мм	a4, мм
17,5	1,5	50	25	250	40	15	300	30	150

Из условия равновесия системы определяем внешнюю про­дольную силу F₃:

Пользуясь методом сечения, определяем внутренние продольные усилия N на каждом участке.

Определение внутренних усилий по методу сечений сводится к четырем основным операциям: 1) вал рассекается плоскостью в некотором сече­нии; 2) отбрасывается одна из частей вала (левая или правая); 3) заменяется дейст­вие отброшенной части на оставшуюся внутренними силовыми факторами; 4) уравновешивается оставшаяся часть, т.е. из уравнения равновесия определяются внутренние силовые факторы.

Пользуемся правилом знаков: если действие силы направлено к сечению, то берем ее со знаком минус, если от сечения, то с плюсом.

N_I = 0кН

N_II = F₂ = 1,5кН

N_III = F₂ – F₁ = 1,5 – 17,5 = – 16кН

N_IV = – F₃ = – 16кН

Определяем площади поперечных сечений для каждого участка:

Определяем нормальные напряжения на каждом участке:

Считая материалы стержней подчиняющимися закону Гука, величину абсолютного удлинения стержня при растяжении или сжатии можно определить по следующей формуле , где E – модуль упругости материала стержня.

Определяем сначала абсолютное удлинение на каждом участке стержня, а затем найдем суммарную величину абсолютного удлинения стержня:

мм

1.2 Кручение стержня

На вал насажены три шкива. Первый шкив является ведущим и передает мощность N₁; N₂ = N₃. Частота вращения вала n,об/мин. Построить эпюры крутящих моментов T_к и углов закручивания φ. Определить диаметр трубчатого сечения вала из условия прочности при α = d/D, если МПа.

N1, кВт	n, об/мин	a, мм	α
40	380	400	0,3

Угловая скорость вала равна:

Из условия равновесия определяем вращающие моменты:

– T₂ + T₁ – T₃ = 0

T₁ = T₂ + T₃

,

если N₂ = N₃, то N₁ = N₂ + N₃ = 2N₂ = 2N₃

Используя метод сечений, определяем внутренние крутящие моменты T_к.

Пользуемся правилом знаков: при рассмотрении оставленной части вала со стороны сечения внешние моменты, действующие по ходу часовой стрелки, считаем положительными, действующие против часовой стрелки – отрицательными.

X₁: T_к1 + T₂ = 0

T_к1 = - T₂ = - 502,5Н∙м

X₂: Т_к2 + Т₂ – Т₁ = 0

Т_к2 = Т₁ – Т₂ = 1005 – 502,5 = 502,5Н∙м

Наибольший внутренний крутящий момент T_кmax = - 502,5Н∙м

Из условия прочности и жесткости определяем необходимый диаметр отверстия.

Условие прочности при кручении имеет вид

откуда

Принимаем d=32 мм

Условие жесткости:

Принимаем d=12 мм

В качестве окончательного значения принимаем d=32 мм.

Из условия α = d/D определяем диаметр вала:

Определяем углы закручивания.

Правило знаков: углы φ положительны, когда сечение (если смотреть вдоль оси справа налево) поворачиваются против часовой стрелки.

град

град

град

Полный угол закручивания между концевыми сечениями равен алгебраической сумме углов закручивания для всех участков:

град

1.3.a Прямой поперечный изгиб

Определить реакции опор балки, поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения стальной круглой балки при МПа.

Известны нагрузки: F = 60кН, a = 1,5м, кН∙м, q=15кН/м.

Пользуясь методом сечений, на каждом участке определяем внутренние поперечные силы:

I) кН

II) , где

если x₂ = 0, то Q_II = F = 60кН;

если , то Q_II = F + q ∙ a = 60 + 15 ∙ 1,5 = 82,5кН;

III) Q_III = F + q ∙ a + q ∙ x₃, где

если x₃ = 0, то Q_III = F + q ∙ a = 60 + 15 ∙ 1,5 = 82,5кН;

если x₃ = a, то Q_III = F + 2 ∙ q ∙ a = 60 + 2 ∙ 15 ∙ 1,5 = 105кН;

IV) Q_IV = F + 2 ∙ q ∙ a + q ∙ x₄, где

если x₄ = 0, то Q_IV = F + 2 ∙ q ∙ a = 60 + 2 ∙ 15 ∙ 1,5 = 105кН;

если x₄ = a, то Q_IV = F + 3 ∙ q ∙ a = 60 + 3 ∙ 15 ∙ 1,5 = 127,5кН;

Пользуясь методом сечений, на каждом участке определяем внутренние изгибающие моменты:

I), где

если , то кН∙м

если , то кН∙м

II), где

если , то кН∙м

если , то кН∙м

если , то кН∙м

III), где

если , то кН∙м

если , то кН∙м

если , то кН∙м

IV),где

если , то кН∙м

если , то кН∙м

если , то кН∙м

Из условия прочности на изгиб рассчитаем D поперечного сечения стальной круглой балки при .

[σ]

мм

Округляем до ближайшего большего значения по стандарту. Принимаем D=670мм.

1.3.б Прямой поперечный изгиб

Определить реакции опор балки, поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения стальной балки из профильного проката при МПа. Профиль – швеллер.

Известны нагрузки: F = 60кН, a = 1,5м, кН∙м, q=15кН/м.

Определим реакции опор из условия статического равновесия балки, т.е. суммы моментов сил относительно правой и левой опоры.

кН

кН

Проверка

– 15,52 – 21,98 – 15 ∙ 1,5 + 60 = 0

R_A и R_B найдены верно

Для упрощения выражений определяющих Q и M, сечения на первом, втором и третьем участках рассматриваем слева, а на четвертом участке - справа:

I)кН

если , то кН∙м

если , то кН∙м

II) кН

если , то кН∙м

если , то кН∙м

III) кН

если, токН∙м

если,токН∙м

IV)

если , то кН

если , то кН

если , то кН∙м

если , то кН∙м

если , то кН∙м

Из условия прочности на изгиб рассчитаем размеры поперечного сечения стальной балки из профильного проката (швеллер) при [σ] =110 МПа.

;

- момент сопротивления сечения.

мм³

Сравнивая с табличным значением, получаем W_z = 1,09 ∙ 10⁶ мм³.

Номер профиля швеллера – 16

b = 64 мм

h = 160 мм

s = 5 мм

t = 8,4 мм

R = 8,5 мм

r = 3,5 мм

x₀ = 18 мм