Задача № 7.

Тема: Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными методом простых итераций.

F₁(x₁,x₂) = 0

F₂(x₁,x₂) = 0

Задание: Найти корень системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными: методом простых итераций с точностью  = 0,01.

Указание по выполнению: прежде, чем начать выполнение задачу необходимо определить приближённое значение корня данного уравнения. Это можно сделать графически или построить таблицу значений функций на некотором, достаточно обширном, диапазоне значений аргументов. Описанные действия можно выполнить с применением компьютера и электронной таблицы Ms Excel. Средствами Ms Excel можно построить в одной системе координат гладкие графики функций, соответствующие уравнениям системы, и с их помощью определить вектор начального приближения к корню заданной системы уравнений. Далее, необходимо преобразовать начальную систему уравнений к виду:

Д ля этого необходимо определить частные производные в точке х₀:

 F_{1
;} F_{1
;} F_{2
;} F₂ .

 x₁ x=x₀  x₂ x=x₀  x₁ x=x₀  x₂ x=x₀

Полученные значения частных производных подставляем в системы линейных уравнений (получаем две независимых системы линейных уравнений, каждая из которых содержит две неизвестных):

1 + ₁₁ + ₁₂ = 0

₁₁ + ₁₂ = 0

₂₁ + ₂₂ = 0

1 + ₂₁ + ₂₂ = 0

Из данных систем уравнений находим неизвестные ₁₁, ₁₂, ₂₁, ₂₂ . После чего определяем функции G₁(x₁, x₂) и G₂(x₁, x₂), которые имеют вид:

G₁(x₁, x₂) = х₁ + ₁₁ F₁(x₁,x₂) + ₁₂ F₂(x₁,x₂)

G₂(x₁, x₂) = х₂ + ₂₁ F₁(x₁,x₂) + ₂₂ F₂(x₁,x₂)

После чего, по полученным итерационным формулам выполняются необходимые вычисления для решения данной задачи. Указанная точность вычислений считается достигнутой, если максимальная из разностей (взятой по модулю) координат векторов - корней уравнения, полученных в двух соседних итерациях, по модулю не превышает заданного :

max | x_j_i₊₁ - x_j_i)| < , j -номер координаты вектора, i, i+1 – номера итераций.

j=1,2

Результаты выполнения данной задачи определяются правильно выполненной проверкой метода на сходимость и преобразованием уравнений:

G₁(x₁,x₂) = x₁ к виду