5.2. Оценка погрешностей исходных данных и округления

Кроме погрешности интерполяции необходимо учитывать погрешность, которая обусловлена ошибками самих используемых значений функции. Эту погрешность, согласно (1.3), можно оценить по формуле

(1.16)

или по рекуррентному соотношению

, (1.17)

,

где - известные оценки погрешности значенийy_j. Еслиy_j=f(x_j) – вычис­ленные значения известной функции, то [5]

, (1.18)

(M– число десятичных разрядов мантиссы машинного слова).

Ошибку округления при применении интерполяционной формулы Лагранжа можно оценить следующим способом. Если при программной реализации этого способа интерполяции проводится суммирование методом накопления, то величина погрешности округления примерно в nраз больше, чем та, которая получается из (1.16) с учетом (1.18) [5].

При применении рекуррентной формулы (1.15) происходит попарное сложение и накопление частичных сумм по схеме бинарного дерева. Если при каждом суммировании слагаемые примерно равны друг другу, то накопления погрешности округления, связанной с выравниванием порядков существенно отличающихся между собой слагаемых, не происходит. Общую погрешность, связанную с машинным представлением чисел можно тогда оценить по формуле (1.17).

Отметим, что в практических расчетах степень интерполяционного многочлена, как правило не превышает 10, поэтому погрешность округления не превосходит намного погрешность исходных данных. Однако существует возможность того, что слагаемые суммы имеют большие по модулю величины и разные знаки, так что сумма имеет существенно меньшее значение. Тогда относительная погрешность округления может оказаться очень большой.

6. Критерий качества оценки погрешности

Поскольку оценки (1.12)-(1.15) выведены при допущении, что величины _i(x) малы, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом.

Оценка погрешности по формуле (1.15) сводится к сравнению значения P_n(x) со значением, полученным при интерполировании многочленом (n+1)-й степениP_n+1(x). Поэтому процесс увеличения степени можно продолжить и получить значениеP_n+2(x). Разность_n=P_n(x)-P_n+1(x) представляет собой оценку погрешности интерполяции значенияP_n(x). Разность_n=P_n+1(x)-P_n+2(x) является оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 1.3). Отношениеимеет смысл относительнойразмытостиоценки погрешности.

Если _n<<1, то это означает, что относительная размытость оценки мала, и такой оценке можно доверять. Если же_n>0.3-0.4, то ширина области размытости сравнима с и такую оценку следует отвергнуть.

Рис. 1.3. Размытость оценки погрешности

7. Численный эксперимент. Применим этот способ оценки к конкретной задаче интерполяции. Пусть

, .

Результаты интерполяции и оценки погрешности удобно представлять на графике в виде зависимости (десятичного логарифма правой части (1.14)) от. На рис. 1.4 разные кривые соответствуют различнымn(приj=2).

Отметим, что увеличение ординаты кривой на единицу при увеличении степени интерполяционного многочлена означает уменьшение погрешности в 10 раз. Сближение кривых означает то, что за счет дальнейшего увеличения степени точность повысить не удается.

Попарное сближение кривых объясняется тем, что функция sinx– нечетная, и в ее разложении по степенямxприсутствуют только нечетные члены.

а)

б)

Рис. 1.4. Результаты интерполяции

Из рис. 1.4а видно, что в результате интерполяции данных этого примера при m=20 могут быть получены значения с погрешностью порядка 10^-13с относительной размытостью около 0.01.

На рис. 1.4б изображены кривые, аналогичные приведенным на рис. 1.4а, только для оценки погрешности использованы точные значения функции sinx. Видно, что отличие графиков на обоих рисунках незначительны, что говорит о высокой точности оценки погрешности по данному методу.

На рис. 1.5 а приведены оценки погрешности (1.16), которая вызвана ошибками используемых значений функции(здесь использована двойная точность). Эта погрешность, как нетрудно заметить, существенно превышает значения_j. При интерполяции на отрезках, близких к середине таблицы эта погрешность значительно меньше (рис. 1.5б).

а)

б)

Рис. 1.5. Влияние погрешности исходных данных при интерполяции

В табл. 1.1 даны результаты расчетов для этого же примера для точки, расположенной посередине между узлами.

Величина _n=P_n(x)-P_n+1(x) представляет собой оцененную по формуле (1.14) погрешность интерполяции; - разность между интерполированным и точным значениями; - имеет смысл коэффициента уточнения интерполированного значения и он же равен долевой оценке погрешности оценки погрешности (1.14), т.е. фактической размытости оценки (1.14).

Табл. 1.1.

n	n		k		n	n		k
1	-1.210-4	-1.510-4	0.25		8	-9.010-14	-9.110-14	0.02
2	-3.010-5	-3.010-5	0.01		9	-1.810-15	-1.610-15	-0.13
3	-1.410-7	-1.710-7	0.25		10	1.910-16	2.410-16	0.22
4	-3.410-8	-3.410-8	0.01		11	5.610-17	4.310-17	-0.22
5	-2.710-10	-2.210-10	-0.16		12	2.810-17	-1.210-17	-1.44
6	-4.310-11	4.410-11	0.01		13	8.310-17	-4.010-17	-1.48
7	6.110-13	5.210-13	-0.15

Из таблицы видно, что при значения_nи практически совпадают. При значения_nи заметно различаются, но при оценке погрешности такие различия могут считаться допустимыми. При значения_nи различаются существенно, и оценку погрешности при таких условиях нельзя считать удовлетворительной.

Таким образом, применение рассмотренного способа оценки погрешности интерполяции позволяет не только с высокой точностью оценить эту погрешность (пользуясь только информацией, заложенной в табличных данных), но и приближенно определить долю погрешности, содержащейся в этой оценке. Это позволяет судить о качестве оценки и в случае неудовлетворительного результата отвергнуть такую оценку.