Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Курсовая работа на тему

«Методы решения нелинейных систем»

по дисциплине Вычислительная Математика

Выполнил:

Студент гр. МО-316а

Сахибгареев К.И.

Проверила: Гадилова Ф.Г.

УФА-2008

Оглавление

Постановка задачи. 2

Обзор методов решения. 3

Полюсный метод Ньютона. Многомерный случай. 3

Решение методами спуска. 6

Реализация программы. 9

Полюсный метод Ньютона. 9

Метод наискорейшего спуска 11

Метод покоординатного спуска 12

Интерфейс пользователя. 13

Вывод 14

Список литературы 18

Постановка задачи.

Задачей данной курсовой работы является изучение методов решения систем нелинейных уравнений и разработка программы, которая бы их решала. Следует рассмотреть следующие методы:

1. Полюсный метод Ньютона. Многомерный случай.

2. Методы спуска

   1. Метод наискорейшего спуска

   2. Метод покоординатного спуска

Обзор методов решения.

Полюсный метод Ньютона. Многомерный случай.

Чтобы понять суть полюсного метода Ньютона, сначала рассмотрим одномерный случай. Пусть имеется нелинейное уравнение общего вида . В основу вывода этого метода положим геометрические представления.

Возьмем на плоскости Oxy некоторую точку P(c;d) (назовем ее полюсом) и через нее и определяемую предыдущим приближением точку (;0) проведем прямую. Новым приближениемк корнюуравнения f(x)=0 будем считать абсциссу точки пересечения этой прямой с касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точку (. Составив уравнения указанных прямыхи, разрешаем получающееся отсюда приравниванием координат уравнениеотносительно абсциссы x и найденное таким образом ее значение называем. В результате приходим к итерационной формуле,

Эта формула определяет двухпараметрический одношаговый метод, который называется полюсным методом Ньютона (идея этого метода предложена и опробована П.В.Вержбицким, 1989г.).

Теперь рассмотрим многомерный случай. Пусть задана нелинейная система

, функции в которой считаем достаточно гладкими. Совокупность всех «касательных гиперплоскостей» к гиперповерхностям, определяемым данными функциями в точке, можно описать векторно-матричным уравнением, где- n-мерный вектор, каждой компонентой которого служит вспомогательная переменная , входящая в уравнения гиперповерхностей.

Зададим n полюсов так, чтобы они не принадлежали одной гиперплоскости пространства. Через все эти полюсыи точку, определяемую известным приближениемк решению системы, проводим гиперплоскость, уравнение которой задаем условием равенства нулю определителя (n+1)-го порядка:

Выше приведенные векторно-матричное уравнение и скалярное уравнение, в принципе, уже определяют n-полюсный метод Ньютона для построения приближений к решению системы. Чтобы записать соответствующую линейную систему относительно поправок

, введем следующие обозначения. Положим

и образуем квадратную (n+1)-мерную матрицу следующей структуры:

Тогда на основе выше приведенныч векторно-матричного уравнения и скалярного уравнения имеем (n+1)-мерную систему уравнений относительно неизвестных

Из второго уравнения этой системы выражаем вспомогательную неизвестную :

, где , аесть алгебраические дополнения к элементампервой строки матрицы(что через соответствующие минорыэтой матрицы можно представить так:

Заменив в вышеуказанной (n+1)-мерной системе все компоненты вектора z найденным их значением, приходим к следующему линейному векторно-матричному уравнению относительно вектора-поправки

где

Вышеприведенной векторно-матричное уравнение вместе с является неявной формой n-полюсного метода Ньютона. Совокупности трех выше приведенных формул можно придать другой вид: , который удобно трактовать как явный метод Ньютона со своеобразной коррекцией матриц Якоби путем прибавления к ним формирующих по заданному правилу матриц. Как и в одномерном случае, для ускорения сходимости последовательности приближенийцелесообразно изменять в такт с изменением значений функций, и в самом простом случае есть смысл фиксировать матрицу, а векторбрать равным.